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江西省赣州市十二县(市)重点中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题


赣州市十二县(市)重点中学 2014 届高三上学期期中考试 数学(文)试题
命题学校:定南中学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的. 于( A ) B ⒈已知全集 U ? R ,集合 A ? x | ?2 ≤ x ≤ 3 , B ? ? x | x ? ?1或x ? 4? ,那么集合 A ? (CU B ) 等

?

?

[?1,3]

? x | x ≤ 3或x ≥ 4?
B.2
2

C. [?2,?1)
2 2

D. [?2,4) )

2.若 (a ? 2i ) i ? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则 a ? b ? ( A.0 C.

5 2

D.5 )

3.设 a ?R ,则 “直线 y ? a x ? 1 与直线 y ? x ? 1 平行”是“ a ? 1 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( A.3 B.4 C.5 D.6 )

5.已知函数 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

3? ? .. ? ( x ? R ) ,下面结论错误的是( 2 ?

A.函数 f (x) 的最小正周期为 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线

B.函数 f (x) 是偶函数

x?

? 4 对称

D.函数 f (x) 在区间 ?0,

2 6.设曲线 y ? x ? 1 在点 ? x, f ( x) ? 处的切线的斜率为 g ( x ) ,则函数 y ? g ( x)cos x 的部分图象可以

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

为(



7. 若两个非零向量 a , 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | , 则向量 a ? b 与 a 的 b 夹角为( ) A.

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? 6

B.

? 3

C



2? 3

·1·

D.

5? 6
( )

8.某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是 (A) 2 5 (B) 2 6 (C) 2 7 (D) 4 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点 P ,满 a 2 b2 足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( )
9.设 F1 , F2 分别为双曲线 A.

5 3

B .

4 3

C.

5 4

D.

5 2

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 {x} ,即 2 2 {x} ? m .在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题: 1 1 ① y ? f ( x) 的 定 义 域 是 R , 值 域 是 ( ? , ] ;② 点 (k , 0) 是 y ? f ( x) 的 图 像 的 对 称 中 心 , 其 中 2 2 1 3 k ? Z ;③函数 y ? f ( x) 的最小正周期为 1;④ 函数 y ? f ( x) 在 (? , ] 上是增函数.则上述命题中 2 2
10.给出定义:若 m ? 真命题的序号是 ( ) A.①④ B.①③ C.②③ D.②④

第Ⅱ卷
注意事项:须用黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试卷上作答,答案无效。 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.已知向量 a ? (1, m) , b ? (m, 2) , 若 a // b , 则实数 m 等于

?

?

?

?

3 12 . 在 区 间 ? -3,? 上 随 机 取 一 个 数 x , 使 得 函 数
f ? x ? ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 有意义的概率为
13.运行右面框图输出的 S 是 254,则①应为
·2·

y?0 ? y ?1 ? 14.实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,则 的取值范围是 x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.

?a,a-b≤1, ? 15. 对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 f(x)=(x2-2)?(x-x2),x∈R,若函 ? ?b,a-b>1. 数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是_________

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所科研单位 A、B、C 的相关人 员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人) : 科研单位 相关人数 抽取人数 A B C 16 12 8

x
3

y

(1)确定 x 与 y 的值; (2)若从科研单位 A、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自科研单位 A 的概率.

17. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 值为1 (1)求 m 的值,并求 f (x) 的单调递增区间;

?

) ? sin(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? m ,若 f ( x) 的最大 3 3

?

(2)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边 a 、 b 、 c ,若 f ( B ) ? 角形的形状.

3 ? 1 ,且 3a ? b ? c ,试判断三

18. (本小题满分 12 分)已知四棱锥 E-ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60° ,ABEC=2,AE=BE
·3·

= 2,O 为 AB 的中点. (1)求证:EO⊥平面 ABCD;(2)求点 D 到平面 AEC 的距离.

19. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的公差 d 大于 0,且 a3 , a5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,

数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , S n ? (3)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

1 ? bn ?n ? N ? ? . 2 (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;(2)记 cn ? an ? bn ,求证: cn ?1 ? cn ;

20. (本小题满分 13 分)已知抛物线 C1 : y ? 8 x 与双曲线 C2 :
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共焦点 a 2 b2

F2 ,点 A 是曲线 C1 , C2 在第一象限的交点,且 AF2 ? 5 .
(1)求双曲线 C2 的方程;

3x 相切,圆 N : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 .过 点 P (1, 3) 作互相垂直且分别与圆 M 、圆 N 相交的直线 l1 和 l 2 ,设 l1 被圆 M 截得的弦长为 s ,l 2 被 s 圆 N 截得的弦长为 t ,问: 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. t
(2)以双曲线 C2 的另一焦点 F1 为圆心的圆 M 与直线 y ?

·4·

(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ,g ( x) ? a ( x 2 ? x )(a ? 0, a ? R ) ,h( x) ? f ( x ) ? g ( x ) 21.

(1)若 a ? 1 ,求函数 h( x) 的极值; (2)若函数 y ? h( x ) 在 [1, ??) 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (3)在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在不同的两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,使线段 AB 的中点的 横坐标 x0 与直线 AB 的斜率 k 之间满足 k ? f ?( x0 ) ?若存在,求出 x0 ;若不存在,请说明 理由.

·5·

2013—2014 学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考 高三文科数学答案

三.解答题

x 3 y ????????5 分 ? ? ,解得 x ? 4 , y ? 2 . 16 12 8 (2)记从科研单位 A 抽取的 4 人为 a1 , a2 , a3 , a4 ,从科研单位 C 抽取的 2 人为 c1 , c2 ,则从科研单位
16.(1)依题意得, A、C 抽取的 6 人中选 2 人作专题发言的基本事件有:

{a1 , a2 },{a1 , a3},{a1 , a4 },{a1 , c1},{a1 , c2}, {a2 , a3},{a2 , a4 },{a2 , c1},{a2 , c2 }, {a3 , a4 },{a3 , c1},{a3 , c2 },{a4 , c1},{a4 , c2 },{c1 , c2 }, 共 15 种. ????????8 分 记“选中的 2 人都来自科研单位 A”为事件 M ,则事件 M 包含的基本事件有: {a1 , a2 },{a1 , a3},{a1 , a4 },{a2 , a3},{a2 , a4 },{a3 , a4 }, 共 6 种. ????????11 分 6 2 2 则 P( M ) ? ????????12 分 ? .所以选中的 2 人都来自科研单位 A 的概率为 15 5 5 17 解:(1) f (x)=sin2x+ 3 cos2x-m

·6·

18.(1)证明:连接 CO. ∵AE=EB= 2,AB=2,∴△ AEB 为等腰直角三角形. ????????1 分 ∵O 为 AB 的中点,∴EO⊥AB,EO=1. ????????2 分 又∵四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, ∴△ ACB 是等边三角形, ∴CO= 3. ????????3 分 又 EC=2,∴EC2=EO2+CO2,∴EO⊥CO. ????????4 分 又 CO? 平面 ABCD,EO ? 平面 ABCD,∴EO⊥平面 ABCD. ????????6 分 (2)解:设点 D 到平面 AEC 的距离为 h. 7 ∵AE= 2,AC=EC=2,∴S△ AEC= . ????????8 分 2 ∵S△ADC= 3,E 到平面 ACB 的距离 EO=1,VD-AEC=VE-ADC, ???????9 分 2 21 ∴S△ AEC· △ ADC· h=S EO,∴h= , ????????11 分 7 2 21 ∴点 D 到平面 AEC 的距离为 . ????????12 分 7
19. (1)因为 a3 , a5 是方程 x ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,且数列 ?an ? 的公差 d
2

? 0 ,所以 a3 ? 5, a5 ? 9

a5 ? a3 ?2 5?3 所以 an ? a5 ? ? n ? 5 ? d ? 2n ? 1 .
公差 d ? 又当 n ? 1 时,有 b1 ? S1 ?

????????1 分 ????????2 分

1 ? b1 1 ,所以 b1 ? . 2 3 b 1 1 当 n ? 2 时,有 bn ? S n ? S n ?1 ? ? bn ?1 ? bn ? ,所以 n ? ? n ? 2 ? . ????3 分 2 bn ?1 3 1 1 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3
所以 bn ?

1 ?1? ?? ? 3 ?3?

n ?1

?

1 . 3n
·7·

????????4 分

2n ? 1 2n ? 1 , cn ?1 ? n ?1 , n 3 3 2n ? 1 2n ? 1 4 ?1 ? n ? 所以 cn ?1 ? cn ? n ?1 ? ? ? 0, 3 3n 3n ?1 所以 cn ?1 ? cn . 2n ? 1 (3)因为 cn ? an ? bn ? , 3n 1 3 5 2n ? 1 则 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ?? ? ,① 3 3 3 3n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ?? ? n ? n ?1 ,② 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 2 2n ? 1 由①-②,得 Tn ? ? 2 ? 3 ?? ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 , 3 3 ? 3 ?3 3 n ?1 整理,得 Tn ? 1 ? n . 3 2 20 解: (1)∵抛物线 C1 : y ? 8 x 的焦点为 F2 (2, 0) ,
(2)由(1)知 cn ? an ? bn ? ∴双曲线 C2 的焦点为 F1 (?2, 0) 、 F2 (2, 0) ,
2 设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y ? 8 x 上,且 AF2 ? 5 ,

????????5 分 ????????7 分 ????????8 分 ????????9 分

????????10 分

????????11 分 ????????12 分

?????????????1 分

2 由抛物线的定义得, x0 ? 2 ? 5 ,∴ x0 ? 3 ,∴ y0 ? 8 ? 3 ,∴ y0 ? ?2 6 ,??????3 分

∴ | AF1 |?

(3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 ,

???????????????4 分

又∵点 A 在双曲线 C2 上,由双曲线定义得:

2a ?| 7 ? 5 |? 2 ,∴ a ? 1 , ∴双曲线 C2 的方程为: x 2 ?
(2)

y2 ? 1. 3

???????6 分

s 为定值.下面给出说明. t 2 2 2 设圆 M 的方程为: ( x ? 2) ? y ? r , ∵圆 M 与直线 y ? 3 x 相切,
∴圆 M 的半径为 r ?

2 3 1? ( 3 )
2

? 3 ,故圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 .

?????7 分

显然当直线 l1 的斜率不存在时不符合题意,

??????????????????8 分

设 l1 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? 3 ? k ? 0 ,

1 ( x ? 1) ,即 x ? ky ? 3k ? 1 ? 0 , k | 3k ? 3 | ∴点 F1 到直线 l1 的距离为 d1 ? , 1? k 2 | 3k ? 1| 点 F2 到直线 l 2 的距离为 d 2 ? , ??????????????????10 分 1? k 2
设 l 2 的方程为 y ? 3 ? ?
·8·

? 3k ? 3 ? 6 3k ? 6k 2 ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? ,???????11 分 ?2 ? 1? k 2 ? ? 1? k 2 ? ? ? 3k ? 1 ? 2 3k ? 2k 2 直线 l 2 被圆 N 截得的弦长 t ? 2 1 ? ? , ? 1? k 2 ? ? 2 ? 1? k 2 ? ?

2

2

??????12 分

s 6 3k ? 6k 2 6( 3k ? k 2 ) ? ? 3 , 故 为定值 3 . ??????13 分 2 2 t 2 3k ? 2k 2( 3k ? k ) 21.解: (1) y ? h( x ) 的定义域为 (0, ?? ) ………………………………………………1 分
s ? t
h ?( x ) ?

故 x ? (0,1) h ?( x ) ? 0, h( x ) 单调递增; x ? (1, ?? ) h ?( x ) ? 0, h( x ) 单调递减, …………………3 分 h( x ) 取得极大值 h(1) ? 0 ,无极小值。 ……………………………4 分 x ? 1 时, (2) h( x ) ? ln x ? a( x 2 ? x ) , h ?( x ) ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 1 ? ? , x x

…………………………………………2 分

若函数 y ? h( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递增, 则 h ?( x ) ?

1 ? a(2 x ? 1) , x

1 …………………………………5 分 ? a(2 x ? 1) ? 0 对 x ? 1 恒成立 x 1 1 1 1 ,只需 a ? ( ………………6 分 )max 2 a? x ? ? 2 2x ? x 2 x ? 1 x(2 x ? 1) 2 x ? x

故 a ? 1 , a 的取值范围为 ?1, ?? ? (3)假设存在,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,

x ? 1 时, 2 x 2 ? x ? 1 ,则 0 ? 2x

2

? 1 ? 1 ? 1,? 2 ? ? 1, ?x ? 2x ? x ?max

………7 分

…………………………………8 分

x ln 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 x2 k? ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 1 2 f ?( x0 ) ? ? x0 x1 ? x2

………………………9 分 …………………………………………10 分
x1 2( x1 ? x2 ) ? ? x2 x1 ? x2 2( x1 ? 1) x2 x1 ?1 x2

由 k ? f ?( x0 )

x ln 1 得 x2 ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2

,整理得 ln

………11 分

x1 (t ? 1)2 2(t ? 1) ?0 , u(t ) ? ln t ? t ? 1 (0 ? t ? 1) ,…12 分, u ?(t ) ? t (t ? 1)2 x2 ? u (t ) 在 (0,1) 上单调递增, …………………13 分 ? u (t ) ? u (1) ? 0 ,故 k ? f ?( x0 ) ? 不存在符合题意的两点。 …………………………14 分
令t ?

·9·


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