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高中数学三角函数、平面向量、不等式、数列、概率统计测试题


?? ? 1.已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期;
? ?? (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

2.在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a

2

? b2 ? 2ab ? c2 .

(1)求 C ;

(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5

3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; 2 cos 2
(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

4.设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b .求x的值;

(II)设函数 f ? x ? ? a b, 求f ? x ?的最大值.

5.正项数列{an}的前项和{an}满足:

2 sn ? (n 2 ? n ? 1) sn ? (n 2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an;

bn ?
(2)令

n ?1 5 Tn ? 2 2 * T (n ? 2) a ,数列{bn}的前 n 项和为 n .证明:对于任意的 n ? N ,都有 64

6.(2013 年大纲卷)等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =a2 2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,



?an ? 的通项式.

3 1 7.设不等式|x-2|<a(a∈N*)的解集为 A,且 2 ∈A, 2 ? A.
①求 a 的值; ②求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.

8.

已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值.

9.一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 在取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数 学期望.

10. 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五

1 2 局甲队获胜的概率是 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 3 .假设各局比赛结果相互独
立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分、对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2, 则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 X 的分布列及数学期望.

1.

2.
【答案】

由题意得

A? B 3 cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos ? A ? C ? ? ? ,得 2 5 3 ? ?cos ? A ? B ? ? 1? ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos B ? ? 5 , 3 即 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? , 5 3 3 则 cos ? A ? B ? B ? ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 3 4 ? ?? ? 由 cos A ? ? 5 ,0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 ,
3.【答案】解:

? ? ? 由 2cos2

由正弦定理,有

a b b sin A 2 ? ,所以, sin B ? . ? sin A sin B a 2

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ? 根据余弦定理,有 4 2

?
4

.

?

?

2

? 3? ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? 5?

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去).

故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ? 4.

2 2

5.【答案】(1)解:由 S n ? ( n ? n ? 1) S n ? (n ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .
2 2 2

2

由于 ?an ? 是正项数列,所以 S n ? 0, S n ? n 2 ? n . 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n . 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?…? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 ? ?

?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? . ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64

6.

7. 福建

8.辽宁 9.天津 10.山东


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