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山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学试题2013.5


山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟 理科数学
2013.5 本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类 填写在答题卡上和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ 卷

(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.复数

i3 (i 是虚数单位)的实部是 1 ? 2i
2 5
(B) ?

(A)

2 5

(C)

1 5

(D) ?

1 5

2.集合 M ? ?2,log3 a? , N ? ?a, b?, 若 M ? N ? ?1? ,则 M∪N= (A) ?0,1, 2? (B) ?0,1,3? (C) ?0,2,3?

(D) ?1, 2,3?
开始

3.某商品的销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)存在线性相关 关系,根据一组样本数据 ( xi , yi )(i ? 1, 2,…,n) ,用最小二乘

? 法建立的回归方程为 y ? ?10 x ? 200, 则下列结论正确的是 (A)y 与 x 具有正的线性相关关系 (B)若 r 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数,则 r ? ?10 (C)当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件 (D)当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件左右
4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a ? (2,0), b ? 1, 则 a ? 2b ? (A) 3 (B) 2 3 (C)4 5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是 (A)11 (B)12 (C)13 6.函数 y ? e
sin x

x ? 0, y ? 1, z ? 2

z ? x? y

y?z
x? y

(D)12 (D)14

z≤10 否 输出 z



(? ≤x≤π) 的大致图象为 π

第 5 题图 结束

(A)

(B)

(C)

(D)

7.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆) , 则该几何体的表面积为 π π (A) 92 ? 14 (B) 82 ? 14 π π (C) 92 ? 24 (D) 82 ? 24 π π 8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(?>0) 的最小正周期为 4 ,则 6 (A)函数 f ( x ) 的图象关于点( , 0 )对称

2 6 4 正视图 4 第 7 题图 侧视图

π 3

5 π (B)函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 对称 俯视图 3 π (C)函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位后,图象关于原点对称 3 (D)函数 f ( x ) 在区间 (0,π ) 内单调递增

9.双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p>0) 相交于 A,B 两点, 2 a b
(B) 1 ? 2 (C) 2 2 (D) 2 ? 2

公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为 (A) 2
2 10.若集合 A ? x x ? 5 x ? 4<0 ; B ? x x ? a <1 , 则“ a ? (2,3) ”是“ B ? A ”的

?

?

?

?

(A)充分不必要条件 (C)充要条件 11.若函数 f ( x) ? ? 最大值是 (A)4 (B) 2 2

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1 ax e (a>0, b>0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,则 a ? b 的 b
(C)2 (D) 2

12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,当 ?1≤x<1 时,

f ( x) ? x3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,则 a 取值范围是 1 1 ( ( ( ? (A) 0, ]? 5, ??) (B) 0, ) [5, ??) 5 5 1 1 1 1 ( , ] ? 5, 7) ( ( , ) [5, 7) ? (C) (D) 7 5 7 5

2013 年高考模拟试题

理科数学
2013.5

第Ⅱ 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上. 13.若 tan( ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? ? . π 14.某地政府调查了工薪阶层 1000 人的 频率/组距 月工资收入, 并把调查结果画成如图所示的频 率分布直方图, 为了了解工薪阶层对月工资收 0.05 入的满意程度,要用分层抽样方法从调查的 0.04 1000 人中抽出 100 人作电话询访, (30,35] 则 (百元)月工资收入段应抽出 人. 0.02

?3x ? a( x≥0), 15.已知奇函数 f ( x) ? ? ? g ( x)( x<0),
则 g (?2) 的值为 .

0.01 10 15 20 25 30 35 40 月工资(百元) 第 14 题图
2 2

16. 在区间 [?1,1] 上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0 有两不相等实根的概 率为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A ? (Ⅰ)求 B 和 C; (Ⅱ)若 a ? 2 2 ,求△ABC 的面积.

π π π , b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4

18. (本小题满分 12 分) 某校 50 名学生参加智力答题活动, 每人回答 3 个问题, 答对题目个数及对应人数统计结果见 下表: 答对题目 个数 人数 0 5 1 10 2 20 3 15

根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从 50 名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率; (Ⅱ)从 50 名学生中任选两人,用 X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求随机变 量 X 的分布列及数学期望 EX. 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)求 p 的值及数列 ?an ? 的通项公式; 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an?1 ? an ? p ? 3n ( n ?N , p 为常数) a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列. ,
*

(Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

4 n2 ,证明: bn ≤ . 9 an

20. (本小题满分 12 分) 如图, 已知矩形 ABCD 中, AB=2AD=2, 为 CD 的中点, AO 将三角形 AOD 折起, DB= 3 . O 沿 使 D (Ⅰ)求证:平面 AOD⊥ABCO; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.
D O C O C

21. (本小题满分 12 分)
2 2

A

B

A

B

x y 第 20 题图 3 ,且椭圆 C ? 2 ? 1(a>b≥1) 的离心率e ? 2 2 a b 上一点 N 到点 Q(0,3)的距离最大值为 4,过点 M(3,0)的直线交椭圆 C 于点 A、B.
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 的取值范围.
??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标原点) ,当 AB < 3 时,求实数 t

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ln x, g ( x) ? ln x ? x ? 1, h( x) ? (Ⅰ)求函数 g ( x) 的极大值. (Ⅱ)求证:存在 x0 ? (1, ??) ,使 g ( x0 ) ? g ( ) ; (Ⅲ)对于函数 f ( x ) 与 h( x) 定义域内的任意实数 x,若存在常数 k,b,使得 f ( x)≤kx ? b 和

1 2 x . 2

1 2

h( x)≥kx ? b 都成立,则称直线 y ? kx ? b 为函数 f ( x) 与 h( x) 的分界线.试探究函数 f ( x) 与 h( x)
是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出 k,b 的值;若不存在,请说明理由.

2013 年高考模拟试题

数学试题(理)参考答案及评分标准

2013.5

说明: 一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容参照评分标准酌情赋分. 二、当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度,可 视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确答案应得分数的一半;如果后继部分 的解答有较严重的错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(B) 5.(C) 6.(D) 7.(A) 8.(C) 9.(B) 10.(A) 11.(D) 12.(A) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. ?

4 5

14. 15

15.-8

16.

1 4

三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)由 b sin( ? C) ? c sin(

π ? B) ? a, 用正弦定理得 4 π π sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A. ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 分 ) 4 4

π 4

∴ sin B sin(

2 2 2 2 2 cos C ? sin C ) ? sin C ( cos B ? sin B) ? , 2 2 2 2 2
?????????????(2 分)

即 sin B cos C ? cos B sin C ? 1, ∴ sin( B ? C ) ? 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 3 分 ) ∵ 0<B, C< π , ∴ ? π <B ? C< π , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 )

3 4

3 4

3 4

π .??????????????????????(5 分) 2 π 3 又 A ? ,∴ B ? C ? π , 4 4 5 π 解 得 B ? π, C ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6 分 ) 8 8 5 π (Ⅱ)由(Ⅰ) B ? π , C ? ,由正弦定理, 8 8
∴ B?C ?

5 2 2 ? sin π 8 ? 4sin 5π. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 ) π 8 sin 4 1 1 5 π s C i s? ? ? ? ? ( 9 分 ) in ∴ △ A B C 的 面 积 S ? a b i n ? ? 2 2? 4 s πn 2 2 8 8 5 π π π ?4 2 sin π si? n 4 2 cos sin 8 8 8 8 π ? 2 2 sin ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 2 分 ) 4 a sin B 得 b? ? sin A
18.解(Ⅰ)记“两人答对题目个数之和为 4 或 5”为事件 A,则
2 1 1 1 1 C20 ? C10C15 ? C20C15 ???????????????(3 分) 2 C50

P( A) ?
?

190 ? 150 ? 300 128 ? ,?????????????(5 分) 25 ? 49 245 128 即两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率为 ????????(6 分) 245
(Ⅱ)依题意可知 X 的可能取值分别为 0,1,2,3. 则 P( X ? 0) ?
2 2 2 C52 ? C10 ? C20 ? C15 350 2 ? ? , ?????????(7 分) 2 C50 1225 7

P( X ? 1) ?

1 1 C5C 1 0? C 11 0 1? C C 2 0 1 1 5 C 20 1 550 22 ? ? , ????????(8 分) 2 C50 1225 49

1 1 C5C 2 0? C 11 0 1 1 5 250 10 C P( X ? 2) ? ? ? , ????????????(9 分) 2 C50 1225 49 1 1 C5C15 75 3 ? ? . ????????????????(10 分) 2 C50 1225 49

P( X ? 3) ?

从而 X 的分布列为: X P 0 1 2 3 ????(11 分) 3 49 51 . ?????(12 分) 49

22 10 49 49 2 22 10 3 ? ? 2 ? ? ? 3 ? X 的 数 学 期 望 EX ? 0 ? ? 1 7 49 49 49
19.解: (Ⅰ)由 a1 ? 3, an?1 ? an ? p ? 3n , 得 a2 ? 3 ? 3 p, a3 ? a2 ? 9 p ? 3 ? 12 p. ∵ a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列, ∴ a1 ? a3 ? 2(a2 ? 6),

2 7

即 3 ? 3 ? 12 p ? 2(3 ? 3 p ? 6), 得 p ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 )

依题意知, an ?1 ? an ? 2 ? 3n , 当 n≥2 时, a2 ? a1 ? 2 ? 31,

a3 ? a2 ? 2 ? 32 ,
?

an ? an?1 ? 2 ? 3n?1.
相加得 an ? a1 ? 2(31 ? 32 ? …? 3n?1 ), ∴ an ? a1 ? 2 ?

3 ? (1 ? 3n?1 ) ? 3n ? 3, 1? 3

∴ an ? 3n (n≥2). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) 又 a1 ? 3 适 合 上 式 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 5 分 ) 故 an ? 3n. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6 分 )

n2 (Ⅱ)证明:∵ an ? 3 , ∴ bn ? n . 3
n

∵ bn ?1 ? bn ?

(n ? 1)2 n2 ?2n2 ? 2n ? 1 ? n ? (n ? N* ). n ?1 n ?1 3 3 3

? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 )

若 ?2n ? 2n ? 1 0, 则 n> <
2

1? 3 , 2

即 当 n≥2 时 , 有 bn?1<bn . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 0 分 ) 又 因 为 b1 ?

1 4 , b2 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 1 分 ) 3 9

故 bn ≤ . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 2 分 ) (Ⅱ)法二:要证 bn ?
n

4 9

n2 4 ≤ , 3n 9
2

只 要 证 4 ? 3 ≥9n .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 分 ) 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,左边=12,右边=9,不等式成立; 当 n ? 2 时,左边=36,右边=36,不等式成立.??????????(8 分)

k ② 假 设 当 n ? k( k ?N*且 ≥ 2 )时 , 4 ? 3 ≥ 9 成 立 . ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 ) k
k 2

则当 n ? k ? 1 时,左边=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2, 2 要证 3×9k2≥9(k+1),

2 只要正 3k2≥(k+1), 即证 2k2-2k-1≥0.??????????????????????( 10 分)

而 当 k﹥

1? 3 , 即 k ? N* 且 k≥2 时 , 上 述 不 等 式 成 立 . ? ? ? ? ? ? ( 1 1 分 ) 2
*

由①②可知,对任意 n?N ,所证不等式成立.??????????(12 分) 20. (Ⅰ)∵在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 中点, ∴△AOD,△BOC 为等腰直角三角形, ∴ ∠ AOB=90?,即 OB⊥OA.??????????????????( 1 分) 取 AO 中点 H,连结 DH,BH,则 OH=DH= 在 Rt△BOH 中,BH2=BO2+OH2=

2 , 2

5 , 2

在△BHD 中,DH2+BH2= (

2 2 5 ) ? ? 3, 又 DB2=3, 2 2

∴ D H 2 + B H 2 = D B 2 , ∴ D H ⊥ B H . ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 ) 又 DH⊥OA, OA∩BH=H ?????????????????(3 分) ∴D H ⊥ 面 A B C O , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) 而 DH∈平面 AOD,???????????????????(5 分) ∴平面 AOD⊥平面 ABCO. ????????????????(6 分) (Ⅱ)解:分别以直线 OA,OB 为 x 轴和 y 轴,O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 B(0, 2,0) , A( 2,0,0) , D(

2 2 2 2 , , 0) . , 0, ) , C (? 2 2 2 2

∴ AB ? (? 2, 2,0), AD ? (?

??? ?

????

? 2 2 ??? 2 2 ,0, ), BC ? (? ,? ,0). ? ? ( 7 分 ) 2 2 2 2
z D

设平面 ABD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),

??? ? ? ?n ? AB ? 0, ?? 2 x ? 2 y ? 0, ? 由 ? ???? 得? 2 2 x? z ? 0, ?n ? AD ? 0, ?? ? ? 2 2
即 x ? y , x ? z , 令 x ? 1, 则 y ? z ? 1 ,
x A

O H

C

B y

取 n ? (1,1,1). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 ) 设 ? 为直线 BC 与平面 ABD 所成的角,

??? ? BC ? n 2 6 则 sin ? ? ??? ? ? . ???????????????(11 分) ? 3 3 BC ? n
即直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为

6 . ?????????(12 分) 3

21.解: Ⅰ)∵ e ? (
2

c2 a 2 ? b 2 3 ? ? , ∴ a2 ? 4b2 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 分 ) a2 a2 4

x2 y 2 则椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, 即 x2 ? 4 y 2 ? 4b2 . 4b b
设 N ( x, y ), 则
2 N Q ? ( x? 0 2 ? ( y ? 3 ) ? ) 2 2 4 ? 4 ? ( ? 23 )? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 ) b y y ?

? ?3 y 2 ? 6 y ? 4b 2 ? 9 ? ?3( y ? 1) 2 ? 4b 2 ? 12
当 y ? ?1 时 , NQ 有 最 大 值 为
2

4b2 ? 1 2? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 3 分 ) ,
x2 ? y2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) 4

解 得 b2 ? 1, ∴ a ? 4 , 椭 圆 方 程 是

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y), AB 方程为 y ? k ( x ? 3),

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 2 ? ? y ? 1, ?4
整 理 得 (1? 4 k
2

) 2 ? 2 k 2 x? 3 k2 ? x 4 6

4 .????????????(5 分) ? 0
2

2 4 2 2 由 ? ? 24k k ?16(9k ?1)(1 ? 4k )>0 ,得 k < .

1 5

x1 ? x2 ?

24k 2 36k 2 ? 4 , x1 ? x2 ? . ???????????????(6 分) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

∴ OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y), 则 x ? ( x1 ? x2 ) ?

??? ??? ? ?

1 t

24k 2 , t (1 ? 4k 2 )

1 1 ?6k y ? ( y1 ? y2 ) ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 6k ? ? . ?????????(7 分) t t t (1 ? 4k 2 )

由点 P 在椭圆上,得

(24k 2 )2 144k 2 ? 2 ? 4, t 2 (1 ? 4k 2 )2 t (1 ? 4k 2 )2

化 简 得 3 6k 2 ? t 2 (1 4 2 ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 ) ? k ) 又由 AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 < 3,

2 2 即 (1 ? k ) ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? <3, 将 x1 ? x2 , x1 x2 代入得 ? ?

? 242 k 4 4(36k 2 ? 4) ? (1 ? k 2 ) ? ? <3, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 ) 2 2 1 ? 4k 2 ? ? (1 ? 4k ) ?
化简,得 (8k 2 ? 1)(16k 2 ? 13)>0, 则 8k ? 1>0, k >
2 2

1 ,?????????????????????(10 分) 8

∴ <k < ②
2

1 8

1 5

36k 2 9 ? 9? , 由①,得 t ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2

联 立 ② , 解 得 3<t 2< 4 ,∴ ?2<t<? 3 或 2 2 . 解 : Ⅰ ) g ?( x) ? (

3<t<2. ? ? ? ? ? ? ( 1 2 分 )

1 1? x ?1 ? ( x>0). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 分 ) x x

1; 令 g ?( x)>0, 解得 0<x<
令 g ?( x)<0, 解 得 x>1 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 ) ∴ 函 数 g ( x) 在 ( 0 , 1 ) 内 单 调 递 增 , 在 (1, ??) 上 单 调 递 减 . ? ? ? ? ? ( 3 分 ) 所 以 g ( x) 的 极 大 值 为 g (1) ? ?2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) 在(0,1)内单调递增,在 (1, ??) 上单调递减,

1 2 1 ∴ ? (1) ? g (1) ? g ( )>0, 2
令 ? ( x) ? g ( x) ? g ( )

??????????????????(5 分)

1, 取 x? ? e> 则

? (e) ? g (e) ? g ( ) ? ln e ? (e ? 1) ? ln ? ( ? 1)

1 2

1 2

1 2

3 ? ?e ? ln 2 ? <0. 2

????????????(6 分)

故存在 x0 ? (1,e), 使 ? ( x0 ) ? 0, 即存在 x0 ? (1, ??), 使 g ( x0 ) ? g ( ). ??????????????????(7 分) (说明: x? 的取法不唯一,只要满足 x?>1, 且 ? ( x?)<0 即可) (Ⅱ)设 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ?

1 2

1 2 x ? e ln x( x>0) 2

e x 2 ? e ( x ? e)( x ? e) 则 F ?( x) ? x ? ? ? x x x
则当 0<x< e 时, F ?( x)<0 ,函数 F ( x) 单调递减; 当 x> e 时, F ?( x)>0 ,函数 F ( x) 单调递增. ∴x?

e 是函数 F ( x) 的极小值点,也是最小值点,
1 e) . ? ? ? ( 9 分 ) 2

∴ F ( x)min ? F ( e ) ? 0. ∴ 函 数 f ( x ) 与 h( x ) 的 图 象 在 x ?

e 处有公共点( e ,

设 f ( x ) 与 h( x) 存在“分界线”且方程为 y ? 令函数 u ( x ) ? kx ?

1 e ? k ( x ? e) , 2

1 e?k e 2 1 2 1 ①由 h( x) ≥ u ( x) ,得 x ≥kx ? e ? k e 在 x ? R 上恒成立, 2 2
即 x ? 2kx ? e ? 2k e≥0 在 x ? R 上恒成立,
2

∴ ?=4k 2 ? 4(?e ? 2k e)≤0 , 即 4(k ? e)2≤0 , ∴k?

e , 故 u ( x) ?

e x?

1 e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 1 分 ) . 2

②下面说明: f ( x)≤u ( x) ,

1 e( x>0) 恒成立. 2 1 设 V ( x) ? e ln x ? e x ? e 2
即 e ln x≤ e x ? 则 V ?( x) ?

e e ? ex ? e? x x

∵当 0<x< e 时, V ?( x)>0 ,函数 V ( x) 单调递增, 当 x> e 时, V ?( x)<0 ,函数 V ( x) 单调递减,

∴当 x ?

e 时, V ( x) 取得最大值 0, V ( x)≤V ( x)max ? 0 . 1 ∴ e ln x≤ e x ? e( x>0) 成 立 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 3 分 ) 2 1 1 综合①②知 h( x)≥ e x ? e, 且 f ( x)≤ e x ? e, 2 2 1 故函数 f ( x ) 与 h( x) 存在“分界线” y ? e x ? e , 2 1 此 时 k ? e ,b ? ? e . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 4 分 ) ? 2

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