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[广州一模]2009年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(数学理)


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试卷类型: 试卷类型:A 2009 年广州市普通高中毕业班综合测试 一) 年广州市普通高中毕业班综合测试(一



学 (理 科) 理

2009.3

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在"考生号"处填涂考生号.用黑色字迹钢笔或签字笔将自 己所在的市,县/区,学校,以及自己的姓名和考生号,试室号,座位号填写在答题卡上. 用 2B 将试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做的题号对应的信息点,再作答.漏涂,错涂,多 涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 参考公式: 锥体的体积 V=

1 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)P(B). 小题, 一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的 选择题: 四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.函数 f(x)=sin2x 的最小正周期为 A.π B. 2π C. 2π D. 4π 2.已知 z=i(1+i)(i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进 行统计,其频率分布直方图如图 1 所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元 ,则 11 时至 12 时的销售额为 A. 6 万元 B. 8 万元 C. 10 万元 D. 12 万元 4.已知 A(-1,a),A(a,8)两点的直线 与直线 2x-y+1=0 平行,则 a 的值为 A.-10 B. 17 C. 5 D.2 5.阅读图 2 的程序框图(框图中的赋值 频率/组 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0

9 10 111213 14 时间 图1

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符号"="也可以写成"←"或":="), 若输出的 S 的值等于 16,那么在程序框 图中的判断框内应填写的条件是 A.i>5 B.i> 6 C.i> 7 D.i> 8 2 6.已知 p:关于 x 的不等式 x +2ax-a>0 的 解集是 R,q:-1<a<0,则 p 是 q 的那么 A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 n 7.在(1-x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 中, 若 2a2+an-5=0, 则自然数 n 的值是 A.7 B.8 C.9 D.10 8.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为

开始 S=1 i=1 S=S+i i=i+1 否 是 输出S 结束 图2

1 A. 8

1 B. 4

3 C. 4

7 D. 8

小题, 小题, 二,填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题, 填空题: 每小题 5 分,满分 30 分. (一) 必做题 (9~12 题) 一 9.若 log2(a+2)=2,则 3a= 10. 若 . 5



a

0

xdx = 1 ,则实数 a 的值是_________.

5

5

5

11.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) 如图 3 所示,则该几何体的侧面积为_______cm2. 12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N* 都有 Sn =

8 正(主)视图

8 侧(左)视图

2 1 a n ,且 1<Sk<9,则 a1 的值 3 3
8 俯视图 图3

为______,k 的的值为________.

(二)选做题 (13~15 题,考生只能从中选做两题) 选做题 考生只能从中选做两 从中选做 13. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρsin(θ+

π )=2 被圆 4

ρ=4 截得的弦长为 . 14. (几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O(O 为圆心)的切线,切点为 A, 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 PO 交圆 O 于 B,C 两点,AC = 3 ,∠PAB=300,则线段 PB 的长为 .

15. (不等式选讲选做题) 已知 a,b,c∈R,且 a+b+c=2,a2+2b2+3c2=4, 不等式选讲选做 不等式选讲选做题 则 a 的取值范围为_____________. 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或推证过程. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或推证过程 16.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB=

3 . 5

(1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

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17.(本小题满分 12 分) 甲,乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次, 击中目标得 2 分,未击中目标得 0 分.若甲,乙两名同学射击的命中率分别 为

3 9 和 p ,且甲,乙两人各射击一次所得分数之和为 2 的概率为 ,假设 5 20

甲,乙两人射击互不影响. (1)求 p 的值; (2) 记甲,乙两人各射击一次所得分数之和为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC, AB⊥AC,D,E,F 分别是棱的中点,连接 DE,DF,EF. (1)求证: 平面 DEF⊥平面 ABC; (2)若 PA=BC=2, 当三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时, 求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值.. P

D E A

F

C

19. (本小题满分 12 分) 某车间有 50 名工人, 要完成 150 件产品的生产任务, 每件产品由 3 个 A 型零件和 1 个 B 型 B 零件配套组成. 每个工人每小时能加工 5 个 A 型零件或者 3 个 B 型零件,现在把这些工人 分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一中型号的零件.设加工 A 型零 件的工人人数为 x 名(x∈N*) (1)设完成 A 型零件加工所需时间为 f(x)小时,写出 f(x)的解析式; (2)为了在最短时间内完成全部生产任务,x 应取何值?

20 (本小题满分 14 分) 已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M:(x-2)2+x2=64 相内切 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l: y=kx+m(其中 k, m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点 B, 与双曲线 D, 交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l,使得向量

x 2 y2 =1 4 12

DF + BE = 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

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21. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且 a1=1. (1)求数列{ an}和{bn}的通项公式; (2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和, 问是否存在常数 λ, 使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, 若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由.

2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)参考答案
一,选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算 共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 小题, 主要考查基本知识和基本运算 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 D

小题, 二,填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算 本大题共 7 小题,每小 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 主要考查基本知识和基本运算 题为选做题,考生只能选做两 题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题为选做题,考生只能选做两题. 第 12 题的第一个空 2 分,第二个空 3 分. 9.9 ;10.

2 ;11. 80; 12.-1,4; 13. 4 3 ;

14.1. 15. [

2 , 2] 11

小题, 解答须写出文字说明, 过程和演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤 解答题: 16.(本小题满分 12 分) (本题主要考查正弦定理,余弦定理,同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算求解 本题主要考查正弦定理 等基础知识, 本题主要考查正弦定理,余弦定理,同角三角函数的基本关系等基础知识 能力) 能力 已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB=

3 . 5

(1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值. 解:(1) ∵cosB=

3 >0,且 0<B<π, 5 4 2 ∴sinB= 1 cos B = . 5 a b 由正弦定理得 = , sinA sinB 4 2× asinB 5 = 2. sinA = = b 4 5 1 (2) ∵S△ABC= acsinB=4, 2

……2 分 ……4 分

……6 分 ……8 分

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1 4 × 2 × c × = 4 , ∴c=5. 2 5
2

……10 分

由余弦定理得 b2=a2+c -2accosB, ∴b =

a 2 + c2 2accosB = 22 + 52 2 × 2 × 5 ×

3 = 17 .……14 分 5

17.(本小题满分 12 分) 甲,乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次, 击中目标得 2 分,未击中目标得 0 分.若甲,乙两名同学射击的命中率分别 为

3 9 和 p ,且甲,乙两人各射击一次所得分数之和为 2 的概率为 ,假设 5 20

甲,乙两人射击互不影响. (1)求 p 的值; (2) 记甲,乙两人各射击一次所得分数之和为ξ,求ξ的分布列和数学期望. (本题主要考查概率,随机变量的分布列及其数学期望等基础知识,考查运算求解能力 本题主要考查概率 等基础知识, 能力) 本题主要考查概率,随机变量的分布列及其数学期望等基础知识 考查运算求解能力 解:(1)设"甲射击一次,击中目标"为事件 A,"乙射击一次,击中目标"为事件 B,"甲 射击一次,未击中目标"为事件 A ,"乙射击一次,未击中目标"为事件 B ,则

3 2 P(A) = ,P(A) = ,P(B) = p,P(B) = 1 p, 5 5
……1 分

3 2 9 p= , 5 5 20 3 3 解得 p = ,故 p 的值为 . 4 4
依题意得 (1 p) + (2)ξ的取值分别为 0,2,4.

……3 分 ……5 分 ……6 分 ……8 分

2 1 1 P(ξ = 0) = P(AB) = P(A) P(B) = × = , 5 4 10 9 P(ξ = 2) = , 20 3 3 9 P(ξ = 4) = P(AB) = P(A) P(B) = × = , 5 4 20
∴ξ的分布列为 ξ P 0 2 4

……10 分

1 10

9 20

9 20
……12 分 ……14 分

∴Eξ= 0 ×

1 9 9 27 + 2× + 4× = . 10 20 20 10

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC, AB⊥AC,D,E,F 分别是棱 PA,PB,PC 的中点,连接 DE,DF,EF. (1)求证: 平面 DEF‖平面 ABC; (2)若 PA=BC=2, 当三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时, 求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值.. (本题主要考查空间中的线面的位置关系,空间的角,几何体体积等基础知识,考查空间想 本题主要考查空间中的线面的位置关系 等基础知识, 本题主要考查空间中的线面的位置关系,空间的角,几何体体积等基础知识 考查空间想
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象能力,推理论证能力和运算求解能力) 象能力,推理论证能力和运算求解能力 证能力和运算求解能力 证明:∵D,E 分别是棱 PA,PB 的中点, P ∴DE 是△PAB 的中位线,∴DE‖AB, ∵DE 平面 PAB,AB 平面 PAB, ∴DE‖平面 PAB, ……2 分 D F ∵DE∩DF=D,DE 平面 DEF, E DF 平面 DEF, A C ∴平面 DEF‖平面 ABC. ……4 分 (2)求三棱锥 P-ABC 的体积的最大值,给出如下两种解法: 解法 1:由已知 PA⊥平面 ABC, AC⊥AB,PA=BC=2, B ∴AB2 +AC2 =BC2=4, ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V =

1 1 1 × PA × S△ ABC = × PA × × AB × AC 3 3 2
……6 分

1 1 AB2 + AC2 1 BC 2 2 = × 2 × AB × AC ≤ × = × = . 6 3 2 3 2 3
当且仅当 AB=AC 时等号成立,V 取得最大值,其值为 解法 2:设 AB=x,在△ABC 中, AC = ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V =

2 ,此时 AB=AC= 2 . 3

BC2 AB2 = 4 x 2 (0<x<2),

1 1 1 × PA × S△ ABC = × PA × × AB × AC 3 3 2
……6 分

1 = x 4 x2 3
=

1 1 4x 2 x 4 = (x 2 2) 2 + 4 , 3 3

∵ 0<x<2 , 0<x2<4 , ∴ 当 x2=2 , 即 x = AB=AC= 2 .

2 时,V 取得最大值,其值为
……8 分

2 ,此时 3

求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值..,给出如下两种解法: 解法 1:作 DG⊥EF,垂足为 G,连接 AG, ∵PA⊥平面 ABC,平面 ABC‖平面 DEF,∴P A⊥平面 DEF, ∵EF 平面 DEF,∴ P A⊥EF. ∵DG∩PA=D,∴EF⊥平面 PAG,AG 平面 PAG,∴EF⊥AG, ∴∠AGD 是二面角 A-EF-D 的平面角. ……10 分 在 Rt△EDF 中,DE=DF= P

1 2 AB = , 2 2

EF =
D E A G F

1 1 BC = 1 ,∴ DG = . 2 2

在 Rt△ADG 中,
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C

B

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AG = AD 2 + DG 2 = 1+

1 5 = , 4 2

1 DG 5 = 2 = . ∴ ∠AGD = AG 5 5 2
∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

5 . 5

……14 分

解法 2:分别以 AB,AC,AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),D(0,0,1),E(

2 ,0,1), 2
……9 分 P z

F(0,

2 2 2 2 ,1). ∴ AE = ( , 1), = ( 0, EF , ,. 0) 2 2 2 2

设 n = (x,y,z) 为平面 AEF 的法向量,

n AE = 0 则 , n EF = 0
B 2 x+z = 0 x ,令 x = 2 ,则 y = 2 ,z=-1, 即 2 2 x + 2 y = 0 2 2 ∴ n = ( 2,2, 1) 为平面 AEF 的一个法向量. ∵平面 DEF 的一个法向量为 DA = (0, , 1) , 0 ∴ cos < n, DA >=

D E A

F

C y

……11 分

n, DA 1 5 = = , | n || DA | ( 2) 2 + ( 2)2 + (1)2 × 1 5
……13 分

而 n 与 DA 所成角的大小等于二面角 A-EF-D 的平面角的大小.

∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

5 . 5

……14 分

19. (本小题满分 12 分) 某车间有 50 名工人, 要完成 150 件产品的生产任务, 每件产品由 3 个 A 型零件和 1 个 B 型 零件配套组成. 每个工人每小时能加工 5 个 A 型零件或者 3 个 B 型零件,现在把这些工人 分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一中型号的零件.设加工 A 型零
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件的工人人数为 x 名(x∈N*) (1)设完成 A 型零件加工所需时间为 f(x)小时,写出 f(x)的解析式; (2)为了在最短时间内完成全部生产任务,x 应取何值? (本题主要考查函数最值,不等式,导数及其应用等基础知识,考查分类与整合的数学思想 本题主要考查函数最值, 本题主要考查函数最值 不等式,导数及其应用等基础知识, 方法,以及运算求解和应用意识) 方法,以及运算求解和应用意识 解:(1) 生产 150 件产品,需加工 A 型零件 450 个,则完成 A 型零件加工所需时间

f(x) =

450 90 = (x∈N*,且 1≤x≤49). 5x x

……2 分

(2) 生 产 150 件 产 品 , 需 加 工 B 型 零 件 150 个 , 则 完 成 B 型 零 件 加 工 所 需 时 间

g(x) =

150 50 = (x∈N*,且 1≤x≤49). 3(50 x) 50 x 90 50 1 ≥ ,解得 1 ≤ x ≤ 32 , x 50 x 7

……4 分设完成全部生产任

务所需时间 h(x)小时,则 h(x)为 f(x)与 g(x)的较大者, 令 f(x)≥g(x),则

所以,当 1≤x≤32 时,f(x)>g(x);当 33≤x≤492 时,f(x)<g(x).

90 x , (x ∈ N *,且1 ≤ x ≤ 32) 故 h(x) = 50 , ∈ N *,且33 ≤ x ≤ 49) (x 50 x
当 1≤x≤32 时, h′(x) =

……6 分

90 < 0 ,故 h(x)在[1,32]上单调递减, x2 90 45 则 h(x)在[1,32]上的最小值为 h(32) = = (小时); ……8 分 32 16
当 33≤x≤49 时, h′(x) =

50 > 0 ,故 h(x)在[33,49]上单调递增, (50 x) 2 50 50 = (小时); ……10 分 50 33 17

则 h(x)在[33,49]上的最小值为 h(33) =

∵h(33)> h(32),∴h(x)在[1,49]上的最小值为 h(32), ∴x=32. 答:为了在最短时间内完成全部生产任务,x 应取 32. ……12 分 20 (本小题满分 14 分) 已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M:(x-2)2+x2=64 相内切 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l: y=kx+m(其中 k, m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点 B, 与双曲线 D, 交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l,使得向量

x 2 y2 =1 4 12

DF + BE = 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
(本题主要考查圆,椭圆,直线等基础知识和数学探究,考查数形结合,类与整的数学思想 本题主要考查圆,椭圆,直线等基础知识和数学探究,考查数形结合,类与整的数学思想 本题主要考查圆 数形结合 方法,以及推理论证能力 运算求解能力 创新意识) 推理论证能力, 能力和 方法,以及推理论证能力,运算求解能力和创新意识 2 2 解:(1)圆 M:(x-2) +x =64,圆心 M 的坐标为(2,0),半径 R=8.
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∵|AM|=4<R,∴点 A(-2,0)在圆 M 内, 设动圆 C 的半径为 r,圆心为 C,依题意得 r= |CA|,且|CM|=R-r, 即|CM+|CA|=8>|AM|, ……3 分 ∴圆心 CD 的轨迹是中心在原点,以 A,M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆, 设其方程为

x 2 y2 + = 1 (a>b>0),则 a=4,c=2, a 2 b2 x 2 y2 + = 1. 16 12
……5 分

∴b2=a2-c2=12,∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为

y = kx + m (2)由 x 2 y 2 消去 y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0, =1 + 16 12
设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2= △1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0.

8km . 3 + 4k 2
① ……7 分

y = kx + m 由 x 2 y2 消去 y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0, =1 4 12
设 E(x3,y3),F(x4,y4),则 x3+x4= △2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0.

2km . 3 k2
② ……9 分

∵ DF + BE = 0 ,∴ (x4-x2 )+ (x3-x1) =0,即 x1+x2= x3+x4, ∴

8km 2km 4 1 = ,∴2km=0 或 = , 2 2 2 3 + 4k 3 k 3 + 4k 3 k2
……11 分

解得 k=0 或 m=0, 当 k=0 时,由①,②得 2 3 < m < 2 3 , ∵m∈Z,∴m 的值为-3,-2,-1,0,1,2,3; 当 m=0 时,由①,②得 3 < m <

3,

∵k∈Z,∴k=-1,0,1. ∴满足条件的直线共有 9 条. ……14 分 21. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且 a1=1. (1)求证:数列{ an-

1 n ×2 }是等比数列; 3

(2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和, 问是否存在常数 λ, 使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, 若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. (本题主要考查数列的通项公式,数列前 n 项和,不等式等基础知识,考查化归与转化,分 本题主要考查数 项和,不等式等基础知识 考查化归与转化 等基础知识, 化归与转化, 本题主要考查 列的通项公式,
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类与整合,特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力,运算求解能力和 类与整合,特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力,运算求解能力和抽象概括能 的数学思想方法 推理论证能力 能力 力) (1)证法 1:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根, 证法

a n + a n+1 = 2n ∴ b n = a n a n +1
由 an+an+1=2n,得 a n+1 × 2 是首项为 a1

……2 分

1 3

n+1

1 1 = (a n × 2n ) ,故数列 {a n × 2n } 3 3
……4 分

2 1 = ,公比为-1 的等比数列. 3 3

证法 2:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根, ∴

a n + a n+1 = 2n b n = a n a n +1

……2 分

1 1 1 a n+1 × 2 n+1 2n a n × 2n+1 (a n × 2 n ) 3 3 3 ∵ = = = 1 , 1 1 1 a n × 2n a n × 2n a n × 2n 3 3 3 1 n 2 1 故数列 {a n × 2 } 是首项为 a1 = ,公比为-1 的等比数列. 3 3 3
……4 分 (2)解:由(1)得 a n × 2 =
n

1 3

1 1 × (1)n ,即 a n = [2n (1) n ] , 3 3

∴ b n = a n a n +1 =

1 n [2 (1) n ] × [2n +1 (1) n+1 ] 9

1 = [2 2n+1 (2) n 1] ……6 分 9 1 ∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an= [(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n] 3 1 (1)n 1 = [2 2n+1 2 ], 3 2
要使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, ∈ 都成立, 即 [2 ……8 分

1 9

2n +1

λ (1) n 1 (2) n 1] [22n +1 2 ] > 0 (*) 对任意 n∈N*都成立. 3 2 1 9
2n +1

①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [2 即

λ + 2 n 1] [22n +1 1] > 0 , 3

1 n+1 λ (2 1)(2n + 1) (2 n+1 1) > 0 , 9 3 1 n ∵2n+1-1>0,∴ λ < (2 + 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3

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当且仅当 n=1 时, (2 + 1) 有最小值 1,∴λ<1.
n

1 3

……10 分

①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [2 即

1 9

2n +1

λ + 2 n 1] [22n +1 1] > 0 , 3

1 n+1 λ (2 1)(2n + 1) (2 n+1 1) > 0 , 9 3 1 n ∵2n+1-1>0,∴ λ < (2 + 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n ……10 分 当且仅当 n=1 时, (2 + 1) 有最小值 1,∴λ<1. 3 1 2n+1 n λ ②当 n 为正偶数时,由(*)式得 [2 2 1] [22n+1 2] > 0 , 9 3 1 n+1 2λ n n (2 1) > 0 , 即 (2 + 1)(2 1) 9 3 1 n+1 ∵2n-1>0,∴ λ < (2 + 1) 对任意正偶数 n 都成立. 6 1 n +1 当且仅当 n=2 时, (2 + 1) 有最小值 1.5,∴λ<1.5. ……12 分 6
综上所述,存在常数 λ,使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,λ 的取值范围是(-∞, 1). ……14 分

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