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2013届高三数学(文)一轮复习:2.4 二次函数与幂函数(广东专用版)


二次函数与幂函数
一、选择题 1 1.设 α∈{-1,1,2,3},则使 y=xα 的定义域为 R,且为奇函数的所有 α 的 值为( ) B.-1,1

A.1,3 C.-1,3 D.-1,1,3

2.(2012· 湛江质检)已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: x f(x) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是( A.[-4,4] B.[0,4] D.(0, 2] ) ) 1 1 1 2 2 2

C.[- 2, 2]

3.若 f(x)=x2-ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是( A.a≤-2 B.-2<a<2 C.a>2 或 a<-2 D.1<a<3

4. 已知函数 y=ax2+bx+c, 如果 a>b>c, a+b+c=0, 且 则它的图象是(

)

?g?x?+x+4,x<g?x?, 5.(2012· 汕头模拟)设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=? ?g?x?-x,x≥g?x?.
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则 f(x)的值域是(

) B.[0,+∞)

9 A.[-4,0]∪(1,+∞)

9 9 C.[-4,+∞) D.[-4,0]∪(2,+∞) 二、填空题 6.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式 是________. 7.若函数 y=mx2 +x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是 ________. 8.已知 f(x)=x2-x+a,若 f(-m)<0,则 f(m+1)的值与 0 的大小关系是 ________. 三、解答题 9.已知二次函数的对称轴为 x=- 2,截 x 轴上的弦长为 4,且过点(0,- 1),求函数的解析式.

?cx+1,0<x<c 9 10.已知函数 f(x)=? 4c 2c 满足 f(c2)=8. ?3x +x ,c≤x<1 (1)求常数 c 的值; (2)解不等式:f(x)<2.

11.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). ?f?x?,x>0, (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? 求 F(2) ?-f?x?,x<0, +F(-2)的值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围.

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答案及解析
1. 【解析】 1 ∵y=x-1= x的定义域不是 R, 1 y=x2= x的定义域不是 R, 而 y=x 与 y=x3 的定义域为 R,且为奇函数, ∴α 的值为 1,3. 【答案】 2. 【解析】 A 由图表知, 2 1α 1 =( ) ,∴α= . 2 2 2

1 1 ∴f(x)=x2,由|x|2≤2,得-4≤x≤4. 【答案】 3. 【解析】 A ∵f(x)=x2-ax+1 有负值

∴Δ=a2-4>0,则 a>2 或 a<-2. 【答案】 4. 【解析】 C ∵a>b>c,且 a+b+c=0,

得 a>0,c<0(用反证法). ∴f(0)=c<0,图形开口向上,∴只能是 D. 【答案】 5. 【解析】 D 由 x<g(x),得 x>2 或 x<-1;

由 x≥g(x),得-1≤x≤2.

??x+1?2+7?x<-1或x>2?, ? 2 4 ∴f(x)=? 1 9 ??x-2?2-4?-1≤x≤2?, ?
1 7 由 f(x)=(x+2)2+4(x<-1 或 x>2),得 f(x)>2. 1 9 9 由 f(x)=(x-2)2-4(-1≤x≤2),得-4≤f(x)≤0. 9 因此 f(x)>2 或-4≤f(x)≤0. 9 ∴函数 f(x)的值域为[-4,0]∪(2,+∞).
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【答案】 6. 【答案】 7. 【解析】

D 1 y=2(x-2)2-1 m=0 时,函数在给定区间上是增函数;

1 m≠0 时,函数是二次函数,对称轴为 x=-2m≤-2, 1 1 由题知 m>0,∴m≤4.综上 0≤m≤4. 【答案】 8. 【解析】 1 0≤m≤4 ∵f(-m)<0,∴m2+m+a<0,

∴f(m+1)=(m+1)2-(m+1)+a=m2+m+a<0. 【答案】 9. 【解】 f(m+1)<0 ∵二次函数的对称轴为 x=- 2,

可设所求函数为 f(x)=a(x+ 2)2+b,(a≠0), 又∵f(x)截 x 轴上的弦长为 4, ∴f(x)过点(- 2+2,0)和(- 2-2,0), f(x)又过点(0,-1), ? 1 ?a= ?4a+b=0 ∴? ,? 2 ?2a+b=-1 ?b=-2 ? 1 ∴f(x)=2(x+ 2)2-2. 10. 【解】 (1)依题设 0<c<1,∴c2<c.



9 1 ∴f(c2)=c3+1=8,∴c=2.

?1x+1,0<x<1, ?2 2 (2)由(1)知 f(x)=? 1 ?3x2+x,2≤x<1. ?
1 1 ①当 0<x<2时,f(x)<2?2x+1<2, 1 ∴0<x<2.

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1 ②当2≤x<1 时,f(x)<2?3x2+x<2, 1 2 解之得2≤x<3, 2 综合①、②知 f(x)<2 的解集为(0,3). 11. 【解】 b (1)由已知 c=1,a-b+c=0,且-2a=-1,

解得 a=1,b=2.∴f(x)=(x+1)2.
2 ??x+1? ,x>0, ∴F(x)=? 2 ?-?x+1? ,x<0.

∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. (2)由题意得 f(x)=x2+bx, 原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立, 1 1 即 b≤ x-x 且 b≥-x -x 在(0,1]上恒成立. 1 又当 x∈(0,1]时,x-x 的最小值为 0, 1 - x-x 的最大值为-2, ∴-2≤b≤0. 故实数 b 的取值范围是[-2,0].

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