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江苏省口岸中学2014-2015学年度第一学期高二期末模拟

*启用前绝密*

江苏省口岸中学 2014-2015 学年度第一学期高二期末模拟
数学卷 2015.01
....... 一、填空题:本大题共 14 小题,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.命题“?x∈N,x2≠x”的否定是 ▲ . ▲ .

2.在平面直角坐标系 xOy 中,焦点为 F(5,0)的抛物线的标准方程是 3.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 3,圆心角为 为 ▲ . ▲ .

2? 的扇形,则此圆锥的体积 3

x+1 4.记函数 f(x)= x 的导函数为 f ?(x),则 f ?(1)的值为

5.已知直线 l⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有 下面 四个命题:其中正确命题序号 有 ▲ .

① ? ∥ ? ? l⊥m;② ? ⊥ ? ? l∥m;③l∥m ? ? ⊥ ? ;④l⊥m ? ? ∥ ? . 6.记命题 p 为“若?=?,则 cos?=cos?” ,则在命题 p 及其逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数是 ▲ .

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 x±2y=0,则 该双曲线的离心率为 ▲ .
D1 A1 D A (第 8 题图) B E B1 C C1

8.(文)已知 a,b∈R,a+bi=(1+2i)(1-i) (i 为虚数单位), 则 a+b 的值为 ▲ .

(理)如图,已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是矩形, ?? AB=4,AA1=3,?BAA1=60?,E 为棱 C1D1 的中点,则 AB ? AE =



. ▲ .

9.已知函数 f(x)=ex-ax 在区间(0,1)上有极值,则实数 a 的取值范围是 ? 10. “a=1”是“函数 f(x)=x+acosx 在区间(0,2)上为增函数”的 ▲

条件(在“充

要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分又不必要” 中,选择适当的一种填空) .
1

11.已知圆柱的体积为 16? cm3,则当底面半径 r=



cm 时,圆柱的表面积最小.

x2 y2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 4 + 3 =1 的左焦点为 F,直线 x-y-1=0, x-y+1=0 与椭圆分别相交于点 A,B,C,D,则 AF+BF+CF+DF= ▲ .
y

13.定义在 R 上的函数 y=f(x)的图像经过坐标原点 O,且它的导函数 y=f ?(x) 的图像是如图所示的一条直线,则 y=f(x)的图像一定不经过第 14.已知 A 是曲线 C1:y= ▲ 象限.

O

x

(第 13 题图)

a (a>0)与曲线 C2:x2+y2=5 的一个公共点.若 C1 在 A 处 x-2 ▲ .

的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥底面 ABCD , PD ? DC , P E 是 PC 的中点,作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F . (1)证明: PA ∥平面 EDB ; (2)证明: PB ⊥平面 EFD .
E F

D

C B

16. (本题满分 14 分)

A

(文)已知 m∈R,设 p:复数 z1=(m-1)+(m+3)i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点 在第二象限,q:复数 z2=1+(m-2)i 的模不超过 10. (1)当 p 为真命题时,求 m 的取值范围; (2)若命题“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围. (理)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2,AA1=a,E,F 分别为 AD,CD 的中 点.
A1 D1 B1 D E F B (第 16 题图) C A C1

(1)若 AC1⊥D1F,求 a 的值; (2)若 a=2,求二面角 E-FD1-D 的余弦值.
2

17. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-2x-3 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 x+y+a=0 与圆 C 交于 A,B 两点,且 AB=2,求实数 a 的值. 18. (本题满分 16 分) 已知 A、B 两地相距 200km,一只船从 A 地逆水行驶到 B 地,水速为 6(单位:km/h) , 船在静水中的速度为 v(单位: km/h, 6 ? v ? 20 ). 若船每小时的燃料费与其在静水中 的速度的立方成正比, 当 v=8 时每小时的燃料费用为 1024 元, 为了使全程燃料费最省, 船的实际航行速度为多少?并求全程燃料费用最小值. 19. (本题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中 a≥0. (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性.

20. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 的顶点 B、C 的坐标为 B(-2,0),C(2,0),直线 AB, 1 AC 的斜率乘积为-4,设顶点 A 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)设曲线 E 与 y 轴负半轴的交点为 D,过点 D 作两条互相垂直的直线 l1,l2,这两条 直线与曲线 E 的另一个交点分别为 M,N.设 l1 的斜率为 k(k≠0),△DMN 的面积 S 为 S,试求 的取值范围. ∣k∣

3

江苏省口岸中学 2014-2015 学年度第一学期高二期末模拟 数学参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) 1.?x∈N,x2=x 6.2 11.2 2.y2=20x 5 7. 2 12.8 3.4 8.14 13.1 4.-1 9.(1,e) 14.2 5.6 10.充分不必要. 2015.01

二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解(1)因为复数 z1=(m-1)+(m+3)i 在复平面内对应的点在第二象限,
?m-1<0, 所以? ?m+3>0.

解得-3<m<1,即 m 的取值范围为(-3,1). (2)由 q 为真命题,即复数 z2=1+(m-2)i 的模不超过 10, 所以 12+(m-2)2≤ 10,解得-1≤m≤5. 由命题“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题
?p为真命题, 得? 或 ?q为假命题,

?????? 6 分

?????? 8 分

?p为假命题, ?-3<m<1, ?m≤-3或m≥1, ? 所以? 或? q 为真命题. m <- 1 或 m > 5 , ? ? ?-1≤m≤5,

即-3<m<-1 或 1≤m≤5. 所以 m 的取值范围为(-3,-1)∪[1,5]. ?????? 14 分

16.解 (1)曲线与 y 轴的交点是(0,-3).令 y=0,得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x =3. 即曲线与 x 轴的交点是(-1,0),(3,0). 设所求圆 C 的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ?????? 2 分

?9-3E+F=0, ? 则?1-D+F=0, 解得 D=-2,E=2,F=-3. ?9+3D+F=0, ?
所以圆 C 的方程是 x2+y2-2x+2y-3=0. (2)圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=( 5)2, 所以圆心 C(1,-1),半径 r= 5. |1+(-1)+a| |a| 圆心 C 到直线 x+y+a=0 的距离 d= = . 2 2 |a| 所以( )2+12=( 5)2,解得 a=±2 2 . 2
4

?????? 6 分

?????? 8 分 1 由于 d2+(2AB)2=r2, ?????? 14 分

17.解

如图,以 D 为坐标原点,DA 所在直线为 x 轴,
z D1 B F
1

DC 所在直线为 y 轴,DD1 所在直线为 z 轴,建立坐标系. (1)由题意得 A(2,0,0),D1(0,0,a),C1(0,2,a),F(0,1,0). A1 故AC1=(-2,2,a),D1F=(0,1,-a).
? ? ? ?

C1

D

?? 3 分
x A

E

C

y

B ( 第 17 题 图)

因为 AC1⊥D1F,所以AC1·D1F=0,即(-2,2,a)·(0,1,-a)=0. 从而 2-a2=0,又 a>0,故 a= 2.

?????? 7 分

(2)平面 FD1D 的一个法向量为 m=(1,0,0). 设平面 EFD1 的一个法向量为 n=(x,y, z) , 因为 E(1,0,0),a=2,故 EF =(-1,1,0),D1F=(0,1,-2). 由 n⊥ EF ,n⊥D1F,得-x+y=0 且 y-2z=0,解得 x=y=2z. 故平面 EFD1 的一个法向量为 n=(2,2,1). ?????? 12 分
? ? ? ?

(1,0,0)·(2,2,1) 2 m· n 因为 cos<m,n>=|m|·|n|= =3,且二面角 E-FD1-D 的大小为 1×3 锐角, 2 所以二面角 E-FD1-D 的余弦值为3. ?????? 14 分

3 18.设每小时的燃料费用为 y1 ,比例常数为 k (k ? 0) ,则 y1 ? kv ,当 v ? 8 时, y1 ? 1024

?
设全程燃料费为 y ,由题意,得:

1024 ? k ? 83

? k ? 2 ???????????????????????????4 分

y ? y1 ?

200 400v3 ? (6 ? v ? 20) ??????????????????????8 分 v?6 v?6

? y? ?

800v 2 (v ? 9) (v ? 6)2

令 y? ? 0 ,得 v ? 9 当 6 ? v ? 9 时, y? ? 0 ;当 9 ? v ? 20 时, y? ? 0

? 当 v ? 9 时, ymin ? 97200
故当 v ? 9 km/h 时,全程燃料费用最小,且为 97200 元.?????????16 分 19.解(1)当 a=0 时,f(x)=-2x+4lnx, 4 从而 f ′ (x)=-2+x ,其中 x>0.
5

?????? 2 分

所以 f ′ (1)=2. 又切点为(1,-2), 所以所求切线方程为 y+2=2(x-1),即 2x-y-4=0. (2)因为 f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx, 4 2ax2-(4a+2)x+4 2(ax-1)(x-2) 所以 f ′ (x)=2ax-(4a+2)+ x = = ,其中 x>0. x x 2(x-2) ①当 a=0 时,f ′ (x)=- x ,x>0. 由f′ (x)>0 得,0<x<2,所以函数 f(x)的单调增区间是(0,2);单调减区间是(2,+∞); ?????? 8 分 1 1 1 ②当 0<a<2时,因为a>2,由 f ′ (x)>0,得 x<2 或 x>a. 1 1 所以函数 f(x)的单调增区间是(0,2)和(a,+∞);单调减区间为(2,a); ?????? 10 分 (x-2)2 1 ③当 a=2时,f ′ (x)= x ≥0,且仅在 x=2 时,f ′ (x)=0, 所以函数 f(x)的单调增区间是(0,+∞); 1 1 1 ④当 a>2时,因 0<a<2,由 f ′ (x)>0,得 0<x<a或 x>2, 1 1 所以函数 f(x)的单调增区间是(0,a)和(2,+∞);单调减区间为(a,2). 综上, 当 a=0 时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞); 1 1 1 当 0<a<2时,f(x)的单调增区间是(0,2)和(a,+∞),减区间为(2,a); 1 当 a=2时,f(x)的单调增区间是(0,+∞); 1 1 1 当 a>2时,f(x)的单调增区间是(0,a)和(2,+∞),减区间为(a,2). ?????? 16 分 y y 20.解(1)设顶点 A 的坐标为(x,y),则 kAB= ,k = , ???? 2 分 x+2 AC x-2 1 y y 1 因为 kAB?kAC=-4,所以 ? =-4, x+2 x-2 x2 2 所以曲线 E 的方程为 4 +y =1(x≠±2) . (2)曲线 E 与 y 轴负半轴的交点为 D(0,-1).
6

?????? 4 分

x2 2 即 4 +y =1. (或 x2+4y2=4). ?????? 6 分

x2 2 8k 4k2-1 因为 l1 的斜率存在, 所以设 l1 的方程为 y=kx-1,代入 4 +y =1, 得 M( , ), 1+4k2 1+4k2 从而 DM= 8∣k∣ 1+k2 8k 2 4k2-1 2 ( ) +( +1 ) = . ?????? 10 分 1+4k2 1+4k2 1+4k2

8 1+k2 1 用-k代 k 得 DN= . 4+k2 1 8∣k∣ 1+k2 8 1+k2 所以△DMN 的面积 S=2? ? 1+4k2 4+k2 32(1+k2)∣k∣ = . (1+4k2)(4+k2) 32(1+k2) S 则 = , ∣k∣ (1+4k2)(4+k2) 1 因为 k≠0 且 k≠±2,k≠±2,令 1+k2=t, 5 则 t>1,且 t≠4,t≠5, S 32t 32t 32 从而 = = 2 = 9, ∣k∣ (4t-3)(t+3) 4t +9t-9 9+4t- t 9 9 11 9 91 因为 4t- t >-5, ,且 4t- t ≠- 5 ,4t- t ≠ 5 . 9 9 34 9 136 所以 9+4t- t >4 且 9+4t- t ≠ 5 ,9+4t- t ≠ 5 , 从而 即 S S 80 S 20 <8 且 ≠17, ≠17, ∣k∣ ∣k∣ ∣k∣ ?????? 16 分 ?????? 12 分

S 20 20 80 80 ∈(0,17)∪(17,17)∪(17,8). ∣k∣

7


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