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2011年广州市普通高中毕业班综合测试(二)-(数学理)word版


?

试卷类型:A

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 年广州市普通高中毕业班综合测试(



学(理科) 理科)
2011.4

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 参考公式:锥体的体积公式 V =

1 Sh , 其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的. 1.复数 z = a + bi ( a, b ∈ R ) 的虚部记作 Im ( z ) = b ,则 Im ?

? 1 ? ?= ? 2+i?
D. ?

A.

1 3

B.

2 5

C. ?

1 3

1 5

2.已知全集 U = A U B = {1, 2,3, 4,5, 6, 7} , A I ? B = {2, 4, 6} ,则集合 B = U A.{2, 4, 6} B.{1,3,5} C.{1,3,5, 7} D.{1, 2,3, 4,5, 6, 7}

(

)

3.设随机变量 ξ 服从正态分布 N ( 3, 4 ) ,若 P (ξ < 2a ? 3) = P ( ξ > a + 2 ) ,则 a 的值为 A.

7 3
3

B.

5 3
2

C.5

D.3

4.已知函数 f ( x ) = x + 2ax + A. 12 3 2 B. 16

1 x a

( a > 0 ) ,则 f ( 2 ) 的最小值为
C. 8 + 8a +

2 a

D. 12 + 8a +

1 a

5 . 已 知 f1 ( x ) = sin x + cos x , f n +1 ( x ) 是 f n ( x ) 的 导 函 数 , 即 f 2 ( x ) = f1′ ( x ) ,

f 3 ( x ) = f 2′ ( x ) ,…, f n +1 ( x ) = f n′ ( x ) , n ∈ N* ,则 f 2011 ( x ) =
A. ? sin x ? cos x B. sin x ? cos x C. ? sin x + cos x D. sin x + cos x

?

6.一条光线沿直线 2 x ? y + 2 = 0 入射到直线 x + y ? 5 = 0 后反射,则反射光线所在的直线方 程为 A. 2 x + y ? 6 = 0 B. x ? 2 y + 7 = 0 C. x ? y + 3 = 0 D. x + 2 y ? 9 = 0

7.三个共面向量 a 、 b 、 c 两两所成的角相等,且 a = 1 , b = 2 , c = 3 ,则 a + b + c 等 于 A. 3 B.6 C. 3 或 6 D.3 或 6

8.正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 、 F 分别在边 AB 、 BC 上,且 AE = 1 , BF =

此正方形沿 DE 、 DF 折起,使点 A 、 C 重合于点 P ,则三棱锥 P ? DEF 的体积是 A.

1 ,将 2

1 3

B.

5 6

C.

2 3 9

D.

2 3

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: 必做题( (一)必做题(9~13 题) 9.已知函数 f ( x ) = sin ? ω x + 距离的最小值为

? ?

π?

? (ω > 0 ) ,若函数 f ( x ) 图象上的一个对称中心到对称轴的 6?

3 2

π
3

,则 ω 的值为

10. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, x ≤ 0 时, f ( x ) = x ? x , 当 则当 x > 0 时, f ( x ) 的解析式为
1 2 2 3


n?2 n C n ?1 + 3n ?1 = 85 ,则 n 的值为

11.若Cn + 3C n + 3 C n + L + 3



12.如图 1 为某质点在 4 秒钟内作直线运动时,速度函数 v = v ( t ) 的图象,则该质点运动的总 路程 s = 厘米. 13.将正整数12分解成两个正整数的乘积有 1×12 , 2 × 6 , 3 × 4 三种,其中 3 × 4 是这三种分 解中,两数差的绝对值最小的,我们称 3 × 4 为12的最佳分解.当 p × q p ≤ q且p, q ∈ N* 是正整数 n 的最佳分解时,我们规定函数 f ( n ) = 关于函数 f ( n ) 有下列叙述: f ( 7 ) = ① 其中正确的序号为

(

)

p 3 ,例如 f (12 ) = . q 4

1 3 4 9 , f ( 24 ) = , f ( 28 ) = , f (144 ) = ② ③ ④ . 7 8 7 16

(填入所有正确的序号) .

?

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14~ 14. 几何证明选讲选做题 (几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题)在梯形 ABCD 中, AD 别在 AB 、 CD 上,且 EF

BC , AD = 2 , BC = 5 ,点 E 、 F 分


AD ,若

AE 3 = ,则 EF 的长为 EB 4

15.坐标系与参数方程选做题)设点 A 的极坐标为 ? 2, (坐标系与参数方程选做题)

? ?

π?

? ,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 6?

π
3

,则直线 l 的极坐标方程为 ...



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题 80 16. 本小题满分12分) . 本小题满分 分 (本小题满分 ( 如图2,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距12 海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔 船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. C
o



西

α
B

60o

A





17. 本小题满分12分) . 本小题满分 分 (本小题满分 ( 某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查. 瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能 力.某班学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能 力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人. 视觉 听觉 听觉 记忆 能力 偏低 中等 偏高 超常 偏低 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 偏高 5 3 0 1 超常 1

b
1 1

a
2

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听 觉记忆能力为中等或中等以上的概率为

2 . 5

(1)试确定 a 、 b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常 的学生的概率; (3)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人 数为 ξ ,求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ . 18. 本小题满分14分) . 本小题满分 分 (本小题满分 (

?

一个几何体是由圆柱 ADD1 A1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成,点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周 上, (主) 其正 视图、 (左) 侧 视图的面积分别为 10 和 12, 如图 3 所示, 其中 EA ⊥ 平面ABC ,

AB ⊥ AC , AB = AC , AE = 2 . (1)求证: AC ⊥ BD ; (2)求二面角 A ? BD ? C 的平面角的大小.
E C A1 O B D1 D D1
正 (主) 视图 图3

E

E

A

A1

O

A

A

D
侧(左)视图

19. 本小题满分14分) . 本小题满分 分 (本小题满分 ( 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n =

( n + 1) an ,且 a
2

1

= 1.

(1)求数列{an}的通项公式; ,使得 bk 、 bk +1 、 bk + 2 成等比数列.若存 (2)令 bn = ln an ,是否存在 k ( k ≥ 2, k ∈ N ? ) 在,求出所有符合条件的 k 值;若不存在,请说明理由. 20. 本小题满分 分) (本小题满分 . 本小题满分14分 (

x2 y 2 已知双曲线 C : 2 ? 2 = 1 ( a > b > 0 ) 和圆 O : x 2 + y 2 = b 2 (其中原点 O 为圆心) , a b
过双曲线 C 上一点 P ( x0 , y0 ) 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B . (1)若双曲线 C 上存在点 P ,使得 ∠APB = 90 ,求双曲线离心率 e 的取值范围;
o

(2)求直线 AB 的方程; (3)求三角形 OAB 面积的最大值. 21. 本小题满分14分) . 本小题满分 分 (本小题满分 ( 已知函数 f ( x ) = ax + x ln x 的图象在点 x = e ( e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k ∈ Z ,且 k <

f ( x) 对任意 x > 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 n > m ≥ 4 时,证明 mn n

(

) > ( nm ) .
m m n

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

?

数学(理科) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解 法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比 照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该 部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 A 6 B 7 C 8 B

小题, 小题, 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 题是选做题,考生只能选做一题. 题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 4 9.

3 2


10. f ( x ) = ? x ? x
3

2

11. 4

12. 11

13. ①③

14.

23 7


15

ρ sin ?

?π ? ?θ ? = 1 ?3 ?



ρ cos ?

?π ? +θ ? = 1 ?6 ?



ρ sin ? θ ?

? ?

4π 3

? ? =1 ?

3ρ cos θ ? ρ sin θ ? 2 = 0
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 80 16. 本小题满分 12 分) ( (本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力等. ) (1)依题意, ∠BAC = 120 , AB = 12 , AC = 10 × 2 = 20 , 解:
o

∠BCA = α .………………………2分 在△ ABC 中,由余弦定理,得 BC = AB + AC ? 2 AB × AC × cos ∠BAC ……………………4分
2 2 2

北 C

= 12 2 + 202 ? 2 × 12 × 20 × cos120o = 784 .
解得 BC = 28 . ………………………………………………………6分 所以渔船甲的速度为 西

α
B

BC = 14 海里/小时. 2 答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.…………………………………7分
o

60o

A





(2)方法1:在△ ABC 中,因为 AB = 12 , ∠BAC = 120 , BC = 28 , 方法1 方法

∠BCA = α ,
由正弦定理,得

AB BC = .…………………………………………9分 sin α sin120o

?

即 sin α =

AB sin120 = BC

o

12 ×

3 2 =3 3. 28 14

答: sin α 的值为

3 3 .……………………………………………………12 分 14

方法2: 方法 :在△ ABC 中,因为 AB = 12 , AC = 20 , BC = 28 , ∠BCA = α , 由余弦定理,得 cos α =

AC 2 + BC 2 ? AB 2 .………………………………………9分 2 AC × BC

20 2 + 282 ? 122 13 即 cos α = = . 2 × 20 × 28 14
因为 α 为锐角,所以 sin α = 1 ? cos α = 1 ? ?
2

3 3 ? 13 ? . ? = 14 ? 14 ?

2

答: sin α 的值为

3 3 .……………………………………………………12 分 14

17. 本小题满分12分) . 本小题满分 分 (本小题满分 ( (本小题主要考查概率与统计的概念、随机变量的分布列等基础知识,考查运算求解能力等. ) (1)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生 解: 共有 (10 + a ) 人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事 件 A, 则 P ( A) =

10 + a 2 = ,解得 a = 6 .………………………………………………2 分 40 5

所以 b = 40 ? (32 + a ) = 40 ? 38 = 2 . 答: a 的值为 6, b 的值为 2.………………………………………………………3 分 (2)由表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人. 方法 1:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , : 则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , 所以 P ( B ) = 1 ? P ( B ) = 1 ?

C3 124 123 32 = 1? = . 3 C 40 247 247

答: 从这 40 人中任意抽取 3 人, 其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的 学生的概率为

123 .……………………………………………………………6 分 247

方法 2:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B , :

?

所以 P ( B ) =

2 2 3 C1 C32 + C8 C1 + C8 123 8 32 = . C3 247 40

答: 从这 40 人中任意抽取 3 人, 其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的 学生的概率为

123 .……………………………………………………6 分 247
3

(3)由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 C40 ,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能 力偏高或超常的学生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k 位具有听觉记忆 能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为 C24 C16 ,………………………7 分 所以从 40 位学生中任意抽取 3 位, 其中恰有 k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或 超常的概率为 P (ξ = k ) =
3? C k C16 k 24 , ( k = 0,1, 2,3) …………………………8 分 C3 40 k 3? k

ξ 的可能取值为 0,1,2,3,………………………………………………9 分
3 2 C0 C16 14 C1 C16 72 24 24 = , P (ξ = 1) = = , 因为 P (ξ = 0) = 3 3 C 40 247 C40 247

P (ξ = 2) =
所以 ξ 的分布列为

C2 C1 C3 C0 552 253 24 16 = , P (ξ = 3) = 24 3 16 = , 3 C 40 1235 C 40 1235

ξ
P

0

1

2

3

14 247

72 247

552 1235

253 1235

……………………10 分

所以 Eξ = 0 ×

14 72 552 253 2223 9 +1 × +2 × +3 × = = . 247 247 1235 1235 1235 5 9 答:随机变量 ξ 的数学期望为 .…………………………………………12 分 5

人理解为可重复抽取,而采用二项分布求解 求解, 酌情给分) (若将抽取的 3 人理解为可重复抽取,而采用二项分布求解,可酌情给分) 18. 本小题满分14分) . 本小题满分 分 (本小题满分 ( (本小题主要考查空间线线、线面关系,二面角,三视图等知识,考查化归与转化数学思想方 法,以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. ) (1)证明:因为 EA ⊥ 平面ABC , AC ? 平面ABC ,所以 EA ⊥ AC ,即 ED ⊥ AC . 证明: 方法 1: : 证明 又因为 AC ⊥ AB , AB I ED = A ,所以 AC ⊥ 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD ,所以 AC ⊥ BD .………………………………………4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ⊥ AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 解 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

?

1 ? ?2rh + 2 r × 2 = 10, ? …………………………………………6 分 ? 1 ?2rh + × 2r × 2 = 12. ? ? 2 ?r = 2, 解得 ? ?h = 2.
所 以

E C A1 O B D1 D , A

BC = 4

AB = AC = 2 2 .…………………………………………………………………7 分
过点 C 作 CH ⊥ BD 于点 H ,连接 AH , 由(1)知, AC ⊥ BD , AC I CH = C ,所以 BD ⊥ 平面 ACH . 因为 AH ? 平面 ACH ,所以 BD ⊥ AH . 所以 ∠AHC 为二面角 A ? BD ? C 的平面角.………………………………9 分 由(1)知, AC ⊥ 平面 ABD , AH ? 平面 ABD , 所以 AC ⊥ AH ,即△ CAH 为直角三角形. 在 Rt △ BAD 中, AB = 2 2 , AD = 2 ,则 BD = 由 AB × AD = BD × AH ,解得 AH = 因为 tan ∠AHC =
o

AB 2 + AD 2 = 2 3 .

2 6 . 3

AC = 3 .………………………………………………………13 分 AH

所以 ∠AHC = 60 . 所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .………………………………14 分
o

(1)证明:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ⊥ AC ,所以 BC 为圆 O 的直 证明: 方法 2: : 证明 径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? 2rh + r × 2 = 10, ? ? 2 …………………………………………2 分 ? 1 ?2rh + × 2r × 2 = 12. ? ? 2

E C A1 O B D1 D A

?r = 2, 解得 ? ?h = 2.

所以 BC = 4 , AB = AC = 2 2 .……………………………………………3 分 以点 D 为原点, DD1 、 DE 所在的射线分别为 x 轴、 z 轴建立如图的空间直角坐标系

D ? xyz , 则 D ( 0, 0, 0 ) , D1 ( 4, 0, 0 ) , A ( 0, 0, 2 ) , B ( 2, 2, 2 ) , C ( 2, ?2, 2 ) ,

?

uuur uuu r AC = ( 2, ?2, 0 ) , DB = ( 2, 2, 2 ) .
…………………5 分

uuur uuu r 因为 AC DB = ( 2, ?2, 0 ) ( 2, 2, 2 ) = 0 ,
所以 AC ⊥ DB .

z E C A1 O B x D1 y D A

uuur

uuu r

uuu r (2)解:设 n = ( x, y, z ) 是平面 BCD 的法向量,因为 BC = ( 0, ?4, 0 ) , 解
所以 ?

所以 AC ⊥ BD .…………………………………………………9 分

?n ? ?n ?

uuu r BC = 0, ??4 y = 0, 即? uuu r DB = 0. ?2 x + 2 y + 2 z = 0.

取 z = ?1 ,则 n = (1, 0, ?1) 是平面 BCD 的一个法向量.……………………11 分 由(1)知, AC ⊥ BD ,又 AC ⊥ AB , AB I BD = B ,所以 AC ⊥ 平面 ABD . 所以 AC = ( 2, ?2, 0 ) 是平面 ABD 的一个法向量.………………………………12 分

uuur

uuur uuur n ? AC 2 1 因为 cos n, AC = = , uuur = 2 ×2 2 2 n ? AC
所以 n, AC = 60 .
o

uuur

而 n, AC 等于二面角 A ? BD ? C 的平面角, 所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .……………………………………14 分
o

uuur

(1)证明:因为 EA ⊥ 平面ABC , AC ? 平面ABC ,所以 EA ⊥ AC ,即 ED ⊥ AC . 证明: 方法 3: : 证明 又因为 AC ⊥ AB , AB I ED = A ,所以 AC ⊥ 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD , 所以 AC ⊥ BD .……………………………………………………………………4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ⊥ AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 解 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? ?2rh + 2 r × 2 = 10, ? …………………………………………6 分 ? ?2rh + 1 × 2r × 2 = 12. ? ? 2
解得 ?

E C A1 O B D1 D A

?r = 2, ?h = 2.

所以 BC = 4 , AB = AC = 2 2 .……………………………………………………7 分 以点 D 为原点, DD1 、 DE 所在的射线分别为 x 轴、 z 轴建立如图的空间直角坐标系

?

D ? xyz , 则 D ( 0, 0, 0 ) , D1 ( 4, 0, 0 ) , A ( 0, 0, 2 ) , B ( 2, 2, 2 ) , C ( 2, ?2, 2 ) ,

uuu r uuu r BC = ( 0, ?4, 0 ) , DB = ( 2, 2, 2 ) .
……………9 分 设 n = ( x, y, z ) 是平面 BCD 的法向量, z E C A1 O B x D1 y D A

uuu r ?n BC = 0, ??4 y = 0, ? 则 ? uuu 即? r ?n DB = 0. ?2 x + 2 y + 2 z = 0. ?
取 z = ?1 ,则 n = (1, 0, ?1) 是平面 BCD 的一个法向量.………11 分 由(1)知, AC ⊥ BD ,又 AC ⊥ AB , AB I BD = B , 所以 AC ⊥ 平面 ABD .

uuur 所以 AC = ( 2, ?2, 0 ) 是平面 ABD 的一个法向量.……………………………12 分 uuur uuur n ? AC 2 1 = , 因为 cos n, AC = uuur = 2 ×2 2 2 n ? AC
所以 n, AC = 60 .
o

uuur

而 n, AC 等于二面角 A ? BD ? C 的平面角, 所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .……………………………………14 分
o

uuur

19. 本小题满分14分) . 本小题满分 分 (本小题满分 ( (本小题主要考查等差数列、等比数列和不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能 力,以及函数与方程、化归与转化等数学思想. ) (1)解法 1:当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = 解 : 即

( n + 1) an ? nan?1 ,………………………2 分
2 2

an an ?1 = ( n ≥ 2 ) .………………………………………………………………4 分 n n ?1

所以数列 ?

a1 ? an ? ? 是首项为 = 1 的常数列.……………………………………………5 分 1 ?n?

所以

an = 1 ,即 an = n ( n ∈ N* ) . n

所以数列 {an } 的通项公式为 an = n n ∈ N* .………………………………………7 分 解法 2:当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = :

(

)

( n + 1) an ? nan?1 ,……………………………2 分
2 2

?



an n = ( n ≥ 2 ) .…………………………………………………………………4 分 an ?1 n ? 1 an an ?1 a a 3 2 n n ?1 × × L × 3 × 2 × a1 = × × L × × × 1 = n .…………5 分 2 1 an ?1 an ? 2 a2 a1 n ?1 n ? 2

所以 an =

因为 a1 = 1 ,符合 an 的表达式.………………………………………………………6 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an = n n ∈ N (2)假设存在 k k ≥ 2, m, k ∈ N
2

(

*

) .………………………………………7 分
k +1 、 k + 2

(

*

) ,使得 b 、 b
k

b

成等比数列,

则 bk bk + 2 = bk +1 .……………………………………………………………………………8 分 因为 bn = ln an = ln n (n≥2) , 所以
2 ? ln ( k 2 + 2k ) ? ? ln k + ln ( k + 2 ) ? ? = ln k ? ln(k + 2) < ? ? =? 2 2 ? ? ? ? ? ?

2

bk bk + 2

……………………11 分

? ln ( k + 1)2 ? 2 <? ? = ? ln ( k + 1) ? = bk2+1 .……………………13 分 ? ? 2 ? ? ? ?
这与 bk bk + 2 = bk +1 矛盾.
2

2

故不存在 k ( k ≥ 2, k ∈ N ? ) ,使得 bk 、 bk +1 、 bk + 2 成等比数列.……………………14 分 20. 本小题满分14分) . 本小题满分 分 (本小题满分 ( (本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证 能力,以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等. )

b c a 2 + b2 ?b? (1)因为 a > b > 0 ,所以 < 1 ,所以 e = = = 1 + ? ? < 2 .……1 分 解: a a a ?a?
2

由 ∠APB = 90 及圆的性质,可知四边形 PAOB 是正方形,所以 OP =
o

2b .
2

b 2 c a 2 + b2 6 ?b? 因为 OP = 2b ≥ a ,所以 ≥ ,所以 e = = = 1+ ? ? ≥ .3 分 a 2 a a 2 ?a?
故双曲线离心率 e 的取值范围为 ?
2 2 2

? 6 ? , 2 ? .…………………………………………4 分 ? ? 2 ?
2 2 2

(2)方法 1:因为 PA = OP ? OA = x0 + y0 ? b , 方法 所 以 以 点

P

为 圆 心 ,

PA

为 半 径 的 圆

P

的 方 程 为

?

( x ? x0 ) + ( y ? y0 )
2

2

= x0 2 + y0 2 ? b 2 .………5 分

因为圆 O 与圆 P 两圆的公共弦所在的直线即为直线 AB ,……………………………6 分

? x2 + y 2 = b2 , ? ………………………………7 分 所以联立方程组 ? 2 2 2 2 2 ?( x ? x0 ) + ( y ? y0 ) = x0 + y0 ? b . ?
消去 x , y 2 ,即得直线 AB 的方程为 x0 x + y0 y = b .………………………………8 分
2

2

方法 2:设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) ,已知点 P ( x0 , y0 ) , : 则 k PA =

y0 ? y1 y , kOA = 1 ( 其中x1 ≠ x0 , x1 ≠ 0 ) . x0 ? x1 x1 y0 ? y1 y1 × = ?1 .……………………………5 分 x0 ? x1 x1

因为 PA ⊥ OA ,所以 k PA kOA = ?1 ,即 整理得 x0 x1 + y0 y1 = x1 + y1 .
2 2

因为 x1 + y1 = b ,所以 x0 x1 + y0 y1 = b .……………………………………………6 分
2 2 2

2

因为 OA = OB , PA = PB ,根据平面几何知识可知, AB ⊥ OP . 因为 kOP =

y0 x ,所以 k AB = ? 0 .……………………………………………………7 分 x0 y0 x0 ( x ? x1 ) . y0

所以直线 AB 方程为 y ? y1 = ? 即 x0 x + y0 y = x0 x1 + y0 y1 .

所以直线 AB 的方程为 x0 x + y0 y = b .…………………………………………………8 分
2

方法 3:设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,已知点 P ( x0 , y0 ) , : 则 k PA =

y0 ? y1 y , kOA = 1 ( 其中x1 ≠ x0 , x1 ≠ 0 ) . x0 ? x1 x1 y0 ? y1 y1 × = ?1 .……………………………5 分 x0 ? x1 x1
y A

因为 PA ⊥ OA ,所以 k PA kOA = ?1 ,即 整理得 x0 x1 + y0 y1 = x1 + y1 .
2 2

因为 x1 + y1 = b ,所以 x0 x1 + y0 y1 = b .……6 分
2 2 2

2

P

这说明点 A 在直线 x0 x + y0 y = b 上. …………7 分
2

同理点 B 也在直线 x0 x + y0 y = b 上.
2

O B

x

所以 x0 x + y0 y = b 就是直线 AB 的方程. ……8 分
2

(3)由(2)知,直线 AB 的方程为 x0 x + y0 y = b ,
2

?

所以点 O 到直线 AB 的距离为 d =

b2 x0 2 + y0 2



因为 AB = 2 OA ? d = 2 b ?
2 2 2

2b x0 2 + y0 2 ? b 2 b4 = , x0 2 + y0 2 x0 2 + y0 2

所以三角形 OAB 的面积

b 1 S = × AB × d = 2

3

x0 2 + y0 2 ? b 2 x0 2 + y0 2

.……………………………………10 分

的三种方法: 以下给出求三角形 OAB 的面积 S 的三种方法:

x2 y2 方法 1:因为点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1 上, : a b
所以
2 x0 2 y0 2 b 2 x0 ? a 2b 2 2 ? 2 = 1 ,即 y0 = ( x02 ≥ a 2 ) . 2 2 a b a

设t =

? b2 ? x0 2 + y0 2 ? b 2 = ?1 + 2 ? x0 2 ? 2b 2 ≥ a 2 ? b 2 , ? a ?
b 3t .…………………………………………………………………………11 分 t 2 + b2

所以 S = 因为 S ′ =

?b3 ( t + b )( t ? b )

(t

2

+ b2 )

2



所以当 0 < t < b 时, S ′ > 0 ,当 t > b 时, S ′ < 0 . 所以 S =
2

b 3t 在 ( 0,b ) 上单调递增,在 ( b, +∞ ) 上单调递减.……………………12 分 t 2 + b2
2

当 a ? b ≤ b ,即 b < a ≤ 当 a ? b > b ,即 a >
2 2

2b 时, S最大值 =

b3 × b 1 2 = b ,……………………13 分 b2 + b2 2

2b 时, S最大值 =

(

b3 × a 2 ? b 2 a 2 ? b2
2

) +b

=
2

b3 a 2 ? b 2 . a2

综上可知, b < a ≤ 当 14 分 方法 2:设 t = :

1 b3 a 2 ? b 2 2b 时, 最大值 = b 2 ; a > 2b 时, 最大值 = S 当 S . ……… 2 a2

x0 2 + y0 2 ? b 2 ,则 S =

b 3t b3 = .……………………………11 分 b2 t 2 + b2 t+ t x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1 上 , 即 02 ? 02 = 1 , 即 a2 b a b

因 为 点 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线

?
2 b 2 x0 ? a 2b 2 ( x02 ≥ a 2 ) . a2

2 y0 =

? b2 ? 2 2 2 2 所以 t = x0 + y0 ? b = ?1 + 2 ? x0 ? 2b ≥ a ? b . ? a ?
2 2 2

令 g (t ) = t +

b2 b 2 ( t + b )( t ? b ) ,则 g ′ ( t ) = 1 ? 2 = . t t t2

所以当 0 < t < b 时, g ′ ( t ) < 0 ,当 t > b 时, g ′ ( t ) > 0 .

b2 所以 g ( t ) = t + 在 ( 0,b ) 上单调递减,在 ( b, +∞ ) 上单调递增.……………………12 分 t
当 a ? b ≤ b ,即 b < a ≤
2 2

2b 时, S最大值

b3 1 = = b 2 ,……………………13 分 2 b 2 b+ b

当 a ? b > b ,即 a >
2 2

2b 时, S最大值 =

b3 a 2 ? b2 + b2 a2 ? b2

=

b3 a 2 ? b 2 . a2

综上可知, b < a ≤ 当 14 分

1 b3 a 2 ? b 2 2b 时, 最大值 = b 2 ; a > 2b 时, 最大值 = S 当 S . ……… 2 a2

b3 t ? b 2 ?1? 1 = b3 ?b 2 ? ? + .…………………11 分 方法 3:设 t = x0 + y0 ,则 S = : t ?t? t
2
2 2

因 为 点 P ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线
2 y0 = 2 b 2 x0 ? a 2b 2 ( x02 ≥ a 2 ) . a2

x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1 上 , 即 02 ? 02 = 1 , 即 a2 b a b

所以 t = x0 + y0 = ?1 +
2 2

?

?

b2 ? 2 2 x ? b ≥ a2 . 2 ? 0 a ?
2 2

1 ? 1 ? 令 g ( u ) = ?b u + u = ?b ? u ? 2 ? + 2 , 2b ? 4b ?
2 2

所以 g ( u ) 在 ? ?∞,

? ?

1 ? ? 1 ? 上单调递增,在 ? 2 , +∞ ? 上单调递减.…………………12 分 2 ? 2b ? ? 2b ? 1 ? t ? 1? , a2 ? ? 1 ? 1 ? 2b 时 , ? g ( u ) ? max = g ? 2 ? = 2 ? ? ? 2b ? 4b
, 此 时

因为 t ≥ a ,所以 u = ∈ ? 0,



1 1 ≤ 2 2 2b a

, 即 b<a≤

?

S最大值 = b3 ×

1 1 2 = b . 2b 2
…………13 分



2 2 1 1 b3 a 2 ? b 2 ? 1 ? a ?b > 2 , a > 2b 时, g ( u ) ? max = g ? 2 ? = 即 ? , 此时 S最大值 = . ? ? 2b 2 a a4 a2 ?a ?

综上可知, b < a ≤ 当 14 分

1 b3 a 2 ? b 2 2b 时, 最大值 = b 2 ; a > 2b 时, 最大值 = S 当 S . ……… 2 a2

21. 本小题满分14分) . 本小题满分 分 (本小题满分 ( (本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力, 以及创新意识. ) (1)解:因为 f ( x ) = ax + x ln x ,所以 f ′ ( x ) = a + ln x + 1 .……………………………1 分 解 因为函数 f ( x ) = ax + x ln x 的图像在点 x = e 处的切线斜率为 3, 所以 f ′ ( e ) = 3 ,即 a + ln e + 1 = 3 . 所以 a = 1 .…………………………………………………………………………………2 分 (2)解:由(1)知, f ( x ) = x + x ln x , 解 所 以 k<

f ( x) x + x ln x 对 任 意 x >1 恒 成 立 , 即 k < 对 任 意 x >1 恒 成 x ?1 x ?1 x + x ln x , x ?1
x ? ln x ? 2

立.………………………3 分 令 g ( x) = 则 g′ ( x) =

( x ? 1)

2

,……………………………………………………………………4 分

令 h ( x ) = x ? ln x ? 2 ( x > 1) , 则 h′ ( x ) = 1 ?

1 x ?1 = >0, x x

所以函数 h ( x ) 在 (1, +∞ ) 上单调递增.……………………………………………5 分 因为 h ( 3 ) = 1 ? ln 3 < 0, h ( 4 ) = 2 ? 2 ln 2 > 0 , 所以方程 h ( x ) = 0 在 (1, +∞ ) 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ∈ ( 3, 4 ) . 当 1 < x < x0时,h( x) < 0 , 即

g ′( x) < 0 , 当

x > x0时,h( x) > 0 , 即

?

g ′( x) > 0 ,………………6 分
所以函数 g ( x ) = 所以

x + x ln x 在 (1, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , +∞ ) 上单调递增. x ?1
x0 (1 + ln x0 ) x0 (1 + x0 ? 2 ) = = x0 ∈ ( 3, 4 ) .…………………7 分 x0 ? 1 x0 ? 1

? g ( x ) ? min = g ( x0 ) = ? ?

所以 k < ? g ( x ) ? = x0 ∈ ( 3, 4 ) . ? ? min 故整数 k 的最大值是 3.…………………………………………………………………8 分 (3)证明 1:由(2)知, g ( x ) = 证明 : 所 以

n + n ln n m + m ln m > .……………………………………………………10 分 n ?1 m ?1
即 n ( m ? 1)(1 + ln n ) > m ( n ? 1)(1 + ln m ) . 整理,得

x + x ln x 是 [ 4, +∞ ) 上的增函数,……………………9 分 x ?1 n>m≥4 时 , 当

mn ln n + m ln m > mn ln m + n ln n + ( n ? m ) .………………………………………11 分
因为 n > m , 所以 mn ln n + m ln m > mn ln m + n ln n .……………………………12 分 即 ln n
mn

+ ln m m > ln m mn + ln n n .

即 ln n mn m m > ln m mn n n .…………………………………………………………13 分 所以

(

)

(

)

( mn ) > ( nm ) .………………………………………………………………………14 分
n m m n

证明 2:构造函数 :

f ( x ) = mx ln x + m ln m ? mx ln m ? x ln x ,………………………………………9 分
则 f ′ ( x ) = ( m ? 1) ln x + m ? 1 ? m ln m .………………………………………………10 分 因为 x > m ≥ 4 ,所以 f ′ ( x ) > ( m ? 1) ln m + m ? 1 ? m ln m = m ? 1 ? ln m > 0 . 所以函数 f ( x ) 在 [ m, +∞ ) 上单调递增.……………………………………11 分 因为 n > m , 所以 f ( n ) > f ( m ) . 所以

mn ln n + m ln m ? mn ln m ? n ln n > m 2 ln m + m ln m ? m2 ln m ? m ln m = 0 .…12 分
即 mn ln n + m ln m > mn ln m + n ln n . 即 ln n
mn

+ ln m m > ln m mn + ln n n .

?

即 ln n m
n 所以 mn

(

mn

m

) > ln ( m

mn

n n ) .……………………………………………………………13 分

(

) > ( nm ) .………………………………………………………………14 分
m m n


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