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上海高一数学常用三角函数复习大全


上海高一数学常用三角函数公式大全

一、基本概念
1. 角度弧度 a. 正角(顺时针转),负角(逆时针转),零角 b. 360 = 2? c. 弧度计算: ? = ; 想想通过扇形面积求弧度怎么求? 2. 任意角的三角比 a. = 2 + 2 ≥ 0


b. sin ? = c. sec ? =

cos ? =
csc ? =



tan ? = cot ? =



与上面定义互为倒数

二、诱导公式(不用背,记住规律,想想就知道答案)
公式一:
设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )=sinα (k∈Z) tan(2kπ +α )=tanα (k∈Z) cos(2kπ +α )=cosα (k∈Z) cot(2kπ +α )=cotα (k∈Z)

公式二:
设α 为任意角,π +α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )=-sinα tan(π +α )=tanα cos(π +α )=-cosα cot(π +α )=cotα

公式三:
任意角α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )=-sinα tan(-α )=-tanα cos(-α )=cosα cot(-α )=-cotα

公式四:
利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )=sinα tan(π -α )=-tanα cos(π -α )=-cosα cot(π -α )=-cotα

公式五:
利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )=-sinα tan(2π -α )=-tanα cos(2π -α )=cosα cot(2π -α )=-cotα

公式六:

π /2±α 及 3π /2±α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π /2+α )=cosα tan(π /2+α )=-cotα sin(π /2-α )=cosα tan(π /2-α )=cotα sin(3π /2+α )=-cosα tan(3π /2+α )=-cotα sin(3π /2-α )=-cosα tan(3π /2-α )=cotα (以上 k∈Z) cos(π /2+α )=-sinα cot(π /2+α )=-tanα cos(π /2-α )=sinα cot(π /2-α )=tanα cos(3π /2+α )=sinα cot(3π /2+α )=-tanα cos(3π /2-α )=-sinα cot(3π /2-α )=tanα

注意:在做题时,将 a 看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于π /2*k ±α (k∈Z)的三角函数值,
①当 k 是偶数时,得到α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

(奇变偶不变) 然后在前面加上把α 看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π -α )=sin(4?π /2-α ),k=4 为偶数,所以取 sinα 。 当α 是锐角时, 2π -α ∈(270°, 360°), sin(2π -α )<0, 符号为 “-” 。 所以 sin(2π -α )=-sinα 上述的记忆口诀是:奇变偶不变,符号看象限。 (理解,并练习) 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正 弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.(要求理解并能说明为什么)
这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”. 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦 还有一种按照函数类型分象限定正负: 函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 .........+..........+..........—..........—........ 余弦 .........+..........—..........—..........+........ 正切 .........+..........—..........+..........—........ 余切 .........+..........—..........+..........—........

三、同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式(理解记忆,不能死记硬背) 倒数关系: tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 商的关系: sinα /cosα =tanα =secα /cscα cosα /sinα =cotα =cscα /secα 平方关系:(知道如何证明自然就记住了) sin^2(α )+cos^2(α )=1 1+tan^2(α )=sec^2(α ) 1+cot^2(α )=csc^2(α )

四、两角和公式
(后面公式的基础很重要,正反两个方向都要记住,并能灵活应用)
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB (可通过上面的公式推导下面的公式,试试看) tanA ? tanB tan(A+B) = 1 - tanAtanB tanA ? tanB tan(A-B) = 1 ? tanAtanB cotAcotB - 1 cot(A+B) = cotB ? cotA cotAcotB ? 1 cot(A-B) = cotB ? cotA

四、倍角/半角公式
倍角公式(利用两角和公式证明) 2tanA tan2A = Sin2A=2SinA?CosA 1 ? tan 2 A Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA ? ? tan3a = tana?tan( +a)?tan( -a) 3 3 半角公式(怎么证明?一定要知道,条件要知道,根据 A 的大小可正可负) sin(
A A 1 ? cos A 1 ? cos A )= cos( )= 2 2 2 2 A A 1 ? cos A 1 ? cos A )= cot( )= 2 2 1 ? cosA 1 ? cosA A 1 ? cos A sin A )= = 2 sin A 1 ? cos A

tan( tan(

万能公式 (要求能证明) a a a 2 tan 1 ? (tan ) 2 2 tan 2 cosa= 2 tana= 2 sina= a 2 a 2 a 1 ? (tan ) 1 ? (tan ) 1 ? (tan ) 2 2 2 2

四、和差化积/积化和差
和差化积 (要求能证明) a?b a?b a?b a?b sina+sinb=2sin cos sina-sinb=2cos sin 2 2 2 2 a?b a?b a?b a?b cosa+cosb = 2cos cos cosa-cosb = -2sin sin 2 2 2 2 sin( a ? b) tana+tanb= cos a cos b 积化和差 (要求能证明) 1 sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b) 2 1 sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2

cosacosb =

1 [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2

五、其它变换
(灵活应用上述公式,重要,要求能够证明,不要求死记)

a?sina+b?cosa= (a 2 ? b 2 ) ?sin(a+c) [其中 tanc=

b ] a

a?sin(a)-b?cos(a) = 1+sin(a) =(sin

(a 2 ? b 2 ) ?cos(a-c) [其中 tan(c)=

a ] b

a a +cos )2 2 2 a a 1-sin(a) = (sin -cos )2 2 2

六、正余弦定理和解斜三角形
1. 面积公式:? = 2. 正弦定理:
3.
sin 1 2

sin = =
sin

1 2

sin =
sin

1 2

sin
sin

=

sin

or

=

=

sin

= 2

余弦定理:
a. b. c. 2 = 2 + 2 ? 2 cos cos = 2 = 2 + 2 ? 2 cos 2 = 2 + 2 ? 2 cos
2 + 2 ? 2 2 2 + 2 ? 2 2 2 + 2 ? 2 2

cos =

cos =

七、三角函数
侧重理解,掌握,不要死记硬背
1. 正弦函数 = sin ; 余弦函数 = cos a. 定义域:(-?,+?) b. 值域:[-1, 1];最大最小值 i. 取最大(小)值时的集合 ii. 取 0 值时的集合 c. 性质: i. 周期性,周期:2k ( ∈ , ≠ 0); 最小正周期:2? ii. 奇偶性:正弦函数为奇函数;余弦函数为偶函数 iii. 单调区间(长度为?的区间) iv. 图像,根据区间 ?π,π 的图像做平移即可。 2. 正切函数(余切函数) 下面以正切为例 a. 定义域,注意有些点没有 ∈ , ≠ + 2 , ∈ b. 值域:(-?,+?) c. 周期性:为周期,也是最小正周期 d. 奇偶性:奇函数 e. 正切函数在( ? 2 , + 2 ) ( ∈ )上是增函数;余切函数反之


3. 求函数 = sin ? + ? (??0)的: ? 定义域:(-?,+?) ? 值域:[-A, A] ? ? ? 是周期函数.周期T=
2

( ∈ , ≠ 0); 最小正周期:
?

2 | |

伸缩和平移:y = A sin ?x + ? =A sin ?(x + ?) (??0) 正弦波的一些概念 o A 为振幅 (表示强度) o f=
1

= 2 是频率(周期的倒数,表示每单位时间(秒)内循



环往复震动多少次) o 相位:? + ?(在一个循环周期中的位置) o 初相:? (零时间点时的相位)


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