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高考数学分类专题复习之10 三角函数的图象与性质


第十、十一讲
★★★高考在考什么 【考题回放】

三角函数的图象与性质
?
4

1.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 数y? f(

处取得最小值,则函

(A)偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ? x) 是( D ) 4

3? ,0) 对称 2 3? ,0) 对称 (C)奇函数且它的图象关于点 ( 2 (D)奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称
(B)偶函数且它的图象关于点 ( 2. 定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数, f (x) 的最小正周期是 ? , 若 且当 x ? [0,

?
2

] 时,

f ( x) ? sin x ,则 f (
(A) ?

1 2

5? ) 的值为 3 1 (B) 2

( D ) (C) ?

3 2

(D)

3 2

3.函数 y = -x·cosx 的部分图象是( D )

4.① 存在 ? ? (0,

?
2

) 使 sin a ? cos a ?

② 存在区间(a,b)使 y ? cos x 为减函数而 sin x <0 ③ y ? tan x 在其定义域内为增函数 ④ y ? cos 2 x ? sin( ⑤ y ? sin | 2 x ?

1 3

?
2

? x) 既有最大、最小值,又是偶函数

?
6

| 最小正周期为 π

以上命题错误的为____________.①②③⑤ 5.把函数 y=cos(x+ 为

? 3

4? )的图象向右平移 φ 个单位,所得的图象正好关于 y 对称,则 φ 的最小正值 3

6.设函数 f(x)=asinω x+bcosω x(ω >0)的最小正周期为 π ,并且当 x= =4. (1)求 a、b、ω 的值; (2)若角?、β 的终边不共线,f(?)=f(β )=0,求 tan(?+β )的值. 2π 【专家解答】(1)由 =π ,ω >0 得 ω =2. ∴f(x)=asin2x+bcos2x.

π π 时,有最大值 f( ) 12 12

?

? a2 ? b2 ? 4 ? ? π ?a ? 2, 由 x= 时,f(x)的最大值为 4,得 ? ?? a 3 12 ?b ? 2 3. ? ? ? b?4 2 ?2 π π π (2)由(1)得 f(x)=4sin(2x+ ), 依题意 4sin(2α + )=4sin(2β + )=0. 3 3 3 π π π ∴sin(2α + )-sin(2β + )=0. ∴cos(α +β + )sin(α -β )=0 3 3 3 ∵α 、β 的终边不共线,即 α -β ≠kπ (k∈Z) 故 sin(α -β )≠0. ,
∴α +β =kπ +
3 π (k∈Z).∴tan(α +β )= . 3 6

★★★高考要考什么 【考点透视】 本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法:“五点法”和变 换作图(平移、对称、伸缩) ;三角函数的性质包括定义域、值域(最值) ,单调性、奇偶性和周期性. 【热点透析】 三角函数的图象和性质是高考的热点,在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象和性质结合起来
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本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型:
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1 2 3

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考查三角函数的图象和性质的基础题目,此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要
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对三角函数的性质灵活运用
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三角函数与其他知识相结合的综合题目,此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力
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在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强
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三角函数与实际问题的综合应用

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此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力,要注意数形结合思想在解题中的应用

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★★★突破重难点 【范例 1】右图为 y=Asin(?x+?)的图象的一段,求其解析式。 解析 法 1 以 M 为第一个零点,则 A= 3 ,

? ? 2 所求解析式为 y ? 3 sin(2x ? ? ) ? 2? 点 M( ,0) 在图象上,由此求得 ? ? ? 3 3 ? 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ? 2? ) 3 法 2. 由题意 A= 3 , ? ? 2 ,则 y ? 3sin(2x ? ? ) 7 7 ? 3 ? 3 sin( ? ? ? ) ? 图像过点 ( ? , 3) 12 6 7 7 ? 2? 2? ? 3 ? 3 sin( ? ? ? ) 即 ? ? ? ? ? 2k? . ? ? ? ? ? 2 k? . 取 ? ? ? . 6 6 2 3 3 2? ? 所求解析式为 y ? 3 sin(2 x ? ) 3
【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使 A 取正值. 2. 由图象求解析式 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 或由代数条件确定解析式时,应注意: (1) 振幅 A=

1 ( y max ? y min ) 2

(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为 (3) 确定 ? 值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.

1 T , 由此推出 ? 的值. 2

【范例 2】已知函数 f ( x) ? log1 (sin x ? cos x) ,
2

(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调区间;(3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期。 解析 (1)由题意得 sinx-cosx>0 即 2 sin( x ? 从而得 2k? ? x ?

?
4

) ? 0,

?
4

? 2k? ? ? ,

( ∴函数的定义域为 2k? ?
∵ 0 ? sin( x ?

?
4

,k? ? 2

1 ) ? 1 ,故 0<sinx-cosx≤ 2 ,所有函数 f(x)的值域是 [? ,?? ) 。 4 2 3? 5? k ,k? ? 2 ) ?Z (2)单调递增区间是 [2k? ? 4 4 ? 3? k ( 2 ) ?Z , 单调递减区间是 2k? ? ,k? ? 4 4
(3)因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称,故 f(x)是非奇非偶函数。 (4)∵ f ( x ? 2? ) ? log1 [sin(x ? 2? ) ? cos(x ? 2? )] ? f ( x)
2

?

5? k ) ?Z , 4

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π 。 【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质

cos · 1) 【范例 3】设函数 f ( x) ? a b ,其中向量 a ? (m, 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x, , x ? R ,且 y ? f ( x) 的图象经
过点 ? ,? . 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.

?π ?4

? ?

b 解:(Ⅰ) f ( x) ? a? ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x ,
由已知 f ?

π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ,得 m ? 1 . 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?, 4?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?

π? ? ? 当 sin ? 2 x ? ? ? ?1时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?

由 sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 3π ? ? ? ?1,得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ,k ? Z? . 4? 8 ? ?
2

【范例 4】设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t sin

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ? R , 2 2

其中 t ≤1 ,将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) . (I)求 g (t ) 的表达式;

, (II)讨论 g (t ) 在区间 (?11) 内的单调性并求极值.
本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数 的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.本小题满分 14 分. 解:(I)我们有

x x f ( x) ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 2 2

? sin 2 x ? 1 ? 2t sin ? 4t 2 ? t 2 ? 3t ? 4 ? sin 2 x ? 2t sin x ? t 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3

? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
2 由于 (sin x ? t ) ≥ 0 , t ≤1 ,故当 sin x ? t 时, f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ,即

g (t ) ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
(II)我们有 g ?(t ) ? 12t 2 ? 3 ? 3(2t ? 1)(2t ?1), ??? t ? 1. 列表如下:

t
g ?(t ) g (t )

?? ? ? ? ?1, ? 2? ?

?

1 2

? 1 ?? ?? , ? ? 2 2?

1 2
0
极小值 g ? ?

?1 ? 1? ? , ?2 ?

?
?

0
极大值 g ? ?

?
? 1? ? ? 2?

?
?1? ?2?
?

?

由此可见, g (t ) 在区间 ? ?1 ? , 极大值为 g ? ?

? ?

1? ?1 ? ? 1 1? ?1? 1? ? 和 ? , 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 g ? ? ? 2 , 2? ?2 ? ? 2 2? ?2?

? ?? ??4. ? 2?

【范例 5】 已知二次函数 f(x)对任意 x?R, 都有 f(1-x)= f(1+x)成立, 设向量 a ?(sinx, ,b ?(2sinx, 2)

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 1 ), c ? (cos2x,1), d ? (1,2),当 x? [0, π ]时,求不等式 f( a ? b )>f( c ? d )的解集. 2 (1 ? x) ? (1 ? x) ?1, 解析:设 f(x)的二次项系数为 m,其图象上两点为(1-x, y1 )、B(1+x, y2 )因为 2 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,所以 y1 ? y2 ,由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,若 m>0,则 x≥1
时,f(x)是增函数,若 m<0,则 x≥1 时,f(x)是减函数.

? ? ? ? ? 1 a ? b ? (sin x , 2) ? (2 sin x , ) ? 2 sin 2 x ? 1 ? 1 , c ? d ? (cos 2x ,1) ? (1 , 2) 2 ? cos 2 x ? 2 ? 1 , ? ? ? ? ? ∴ 当 m ? 0 时, f (a ? b) ? f (c ? d ) ? f (2sin 2 x ?1) ? f (cos 2x ?1) ? 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 0 π 3π ? cos 2 x ? 0 ? 2kπ ? ? 2 x ? 2kπ ? ,k ?Z. 2 2 π 3π ?x? ∵ 0 ? x ? π, ∴ . 4 4 π 3π ? x ? π. 当 m ? 0 时,同理可得 0 ? x ? 或 4 4 ? ? ? ? ? π 3π }; 综上 f (a ? b) ? f (c ? d ) 的解集是当 m ? 0 时,为 {x | ? x ? 4 4 π 3π ? x ? π} . 当 m ? 0 时,为 {x | 0 ? x ? ,或 4 4
∵ 【点晴】此题是三角函数与平面向量的综合问题。利用函数的单调性解不等式是该题的重点和难点. 【变式】试判断方程 sinx= 解析 方程 sinx=

x 实数解的个数. 100?

x x 实数解的个数等于函数 y=sinx 与 y= 的图象交点个数 100? 100? x ∵|sinx|≤1∴| |≤1, |x|≤100л 100?
当 x≥0 时,如右图,此时两线共有 100 个交点,因 y=sinx 与 y= 100л

x 都是奇函数,由对称性知当 x≥0 时,也有 100 个交点,原点是重 100?

复计数的所以只有 199 个交点。 【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时,要注意原点的特殊性.


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