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2016新课标三维人教A版数学必修2 4.1 圆的方程


圆的方程
4.1.1 圆的标准方程

预习课本 P118~120,思考并完成以下问题 1.确定圆的几何要素有哪些?

2.圆的标准方程是什么?

3.点与圆的位置关系有哪几种?怎样去判断?

[新知初探]
1.圆的标准方程 (1)圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称 为圆的半径. (2)确定圆的要素是圆心和半径,如图所示.

(3)圆的标准方程:圆心为 A(a,b),半径长为 r 的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 当 a=b=0 时,方程为 x2+y2=r2,表示以原点为圆心、半径为 r 的圆. 2.点与圆的位置关系 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心 A(a,b),半径为 r.设所给点为 M(x0,y0), 则 位置关系 判断方法 几何法 │MA│=r?点 M 在圆 A 上 │MA│<r?点 M 在圆 A 内 │MA│>r?点 M 在圆 A 外 代数法 点 M(x0,y0)在圆上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2 点 M(x0,y0)在圆内?(x0-a)2+(y0-b)2<r2 点 M(x0,y0)在圆外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2

点在圆上 点在圆内 点在圆外

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2 一定表示圆( ) )

(2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此圆的半径一定是 a( 答案:(1)× (2)× ) B.在圆内 D.不确定

2.点 P(m,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( A.在圆外 C.在圆上 解析:选 A ∵m2+25>24, ∴点 P 在圆外.

3.经过原点,圆心在 x 轴的负半轴上,半径为 2 的圆的方程是________________. 解析:圆心是(-2,0),半径是 2,所以圆的方程是(x+2)2+y2=4. 答案:(x+2)2+y2=4

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求圆的标准方程

[典例] 求经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上的圆的方程. [解] [法一 待定系数法]

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, a +b =r , ? ? 2 2 2 则有??a-1? +?b-1? =r , ? ?2a+3b+1=0,
2 2 2

a=4, ? ? 解得?b=-3, ? ?r=5.

∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. [法二 几何法]

由题意知 OP 是圆的弦,其垂直平分线为 x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心,
?2x+3y+1=0, ?x=4, ? ? ∴由? 得? ? ? ?x+y-1=0, ?y=-3,

即圆心坐标为(4,-3),半径 r= 42+?-3?2=5. ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C(a, b)及半径 r, 其求解的方法: 一是待定系数法, 如法一,建立关于 a,b,r 的方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接求得 圆心坐标和半径,如法二.一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化 较为简捷.

[活学活用]
已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外 接圆的方程. 解:法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 因为 A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的标准方程, ?0-a? +?5-b? =r , ? ? 2 2 2 于是有??1-a? +?-2-b? =r , ? ??-3-a?2+?-4-b?2=r2. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn
2 2 2

a=-3, ? ? 解得?b=1, ? ?r=5. 故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25. 1 3? 法二:因为 A(0,5),B(1,-2),所以线段 AB 的中点的坐标为? ?2,2?,直线 AB 的斜率 kAB= -2-5 1 3 1 x- ?,即 x-7y+10=0. =-7,因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- = ? 2 7? 2? 1-0

同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x+y+5=0.
?x-7y+10=0, ? 由? 得圆心的坐标为(-3,1), ?2x+y+5=0 ?

又圆的半径长 r= ?-3-0?2+?1-5?2=5, 故所求圆的标准方程是(x+3)2+(y-1)2=25.

点与圆的位置关系

[典例]

已知圆 C 的圆心为 C(-3,-4),且过原点 O,求圆 C 的标准方程,并判断点

M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆 C 的位置关系. [解] 因为圆 C 过原点 O ,圆心为 C( - 3 ,- 4) ,所以圆 C 的半径长 r = |OC| =

?-3-0?2+?-4-0?2=5,因此圆 C 的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25. 因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点 M1(-1,0)在圆 C 内;因为(1+3)2+(-1+4)2 =25,所以点 M2(1,-1)在圆 C 上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点 M3(3,-4) 在圆 C 外. 判断点与圆的位置关系的方法 (1)确定圆的方程:化为(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)将点的坐标代入代数式(x-a)2+(y-b)2,比较代数式的值与 r2 的大小关系. (3)下结论:若(x-a)2+(y-b)2=r2,表示点在圆上;若 (x-a)2+(y-b)2>r2,表示点在 圆外;若(x-a)2+(y-b)2<r2,表示点在圆内. 此外, 也可以利用点与圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系来判断. 当 d>r 时, 点在圆外; 当 d=r 时,点在圆上;当 d<r 时,点在圆内.

[活学活用] 已知 M(2,0),N(10,0),P(11,3),Q(6,1)四点,试判断它们是否共圆,并说明理由. 解:设 M,N,P 三点确定的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

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?2-a? +b =r , ? ? 2 2 2 ∴??10-a? +b =r , ? ??11-a?2+?3-b?2=r2,

2

2

2

a=6, ? ? 解得?b=3, ? ?r2=25.

∴过点 M,N,P 的圆的方程为(x-6)2+(y-3)2=25. 将点 Q 的坐标(6,1)代入方程左端,得(6-6)2+(1-3)2=4<25, ∴点 Q 不在圆(x-6)2+(y-3)2=25 上, ∴M,N,P,Q 四点不共圆. 与圆有关的最值问题

y [典例] 已知实数 x,y 满足方程(x-2)2+y2=3.求x的最大值和最小值. [解] y 原方程表示以点(2,0)为圆心,以 3为半径的圆,设x=k,即 y=kx, |2k-0| k2+1 = 3,解得 k=± 3.

当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值和最小值,此时 y 故 的最大值为 3,最小值为- 3. x

[一题多变]
1.[变设问]在本例条件下,求 y-x 的最大值和最小值. 解:设 y-x=b,即 y=x+b, |2-0+b| 当 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值和最小值,此时 = 3, 2 即 b=-2± 6. 故 y-x 的最大值为-2+ 6, 最小值为-2- 6. 2.[变设问]在本例条件下,求 x2+y2 的最大值和最小值. 解:x2+y2 表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,它在原点与圆心所在 直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为 2,故(x2+y2)max=(2+ 3)2=7+4 3, (x2+y2)min=(2- 3)2=7-4 3.

与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: (1)形如 u= y-b 形式的最值问题, 可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题. x-a 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

a l (2)形如 l=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线 y=-bx+b截距的最值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平 方的最值问题.

层级一

学业水平达标
) B.两个圆 D.两个半圆

1.方程|x|-1= 1-?y-1?2所表示的曲线是( A.一个圆 C.半个圆 解析:选 D

2 2 ? ??|x|-1? +?y-1? =1, 由题意,得? ?|x|-1≥0, ?

2 2 ? ??x-1? +?y-1? =1, 即? ?x≥1 ?



2 2 ? ??x+1? +?y-1? =1, ? 故原方程表示两个半圆. ?x≤-1, ?

2.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆的方程 是( ) A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 解析:选 A 直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得直径长为 2 13,则半径长 为 13,所以所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=13. 3.已知点 A(-4,-5),B(6,-1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是( A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x-1)2+(y+3)2=29 C.(x+1)2+(y-3)2=116 D.(x-1)2+(y+3)2=116 |AB| 1 解析: 选 B 圆心为线段 AB 的中点(1, -3), 半径为 = ?6+4?2+?-1+5?2= 29, 2 2 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29.故选 B. 4. 已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心, 且与直线 x+y+1=0 垂直, 则 l 的方程是( ) )

A.x+y-2=0 C.x+y-3=0

B.x-y+2=0 D.x-y+3=0

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解析:选 D 圆 x2+(y-3)2=4 的圆心为点(0,3).因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直, 所以直线 l 的斜率 k=1.由点斜式得直线 l 的方程是 y-3=x-0,化简得 x-y+3=0.故选 D. 5.若实数 x,y 满足(x+5)2+(y-12)2=142,则 x2+y2 的最小值为( A.2 C. 3
2 2

)

B.1 D. 2

解析:选 B x +y 表示圆上的点(x,y)与(0,0)间距离的平方,由几何意义可知最小值为 14- 52+122=1. 6.若点 P(-1, 3)在圆 x2+y2=m2 上,则实数 m=________. 解析:∵P 点在圆 x2+y2=m2 上, ∴(-1)2+( 3)2=4=m2, ∴m=± 2. 答案:± 2 7.圆心为直线 x-y+2=0 与直线 2x+y-8=0 的交点,且过原点的圆的标准方程是 __________________.
?x-y+2=0, ? 解析:由? 可得 x=2,y=4,即圆心为(2,4),从而 r= ?2-0?2+?4-0?2 ? 2 x + y - 8 = 0 , ?

=2 5,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20. 答案:(x-2)2+(y-4)2=20 8.与圆(x-2)2+(y+3)2=16 同圆心且过点 P(-1,1)的圆的方程为________________. 解 析 : 因 为 已 知 圆 的 圆 心 为 (2 , - 3) , 所 以 所 求 圆 的 圆 心 为 (2 , - 3) . 又 r = ?2+1?2+?-3-1?2=5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 答案:(x-2)2+(y+3)2=25 9.求圆心在 x 轴上,且过 A(1,4),B(2,-3)两点的圆的方程. 解:设圆心为(a,0), 则 ?a-1?2+16= ?a-2?2+9,所以 a=-2. 半径 r= ?a-1?2+16=5, 故所求圆的方程为(x+2)2+y2=25. 10.求过点 A(-1,3),B(4,2),且在 x 轴,y 轴上的四个截距之和是 4 的圆的标准方程. 解 : 设 圆 的 标 准 方 程 为 (x - a)2 + (y - b)2 = r2. 把 点 A , B 的 坐 标 代 入 , 得
2 2 2 ? ??-1-a? +?3-b? =r , ? 消去 r2,得 b=5a-5.① 2 2 2 ??4-a? +?2-b? =r . ?

令 x=0,则(y-b)2=r2-a2,y=b± r2-a2, ∴在 y 轴上的截距之和是 2b.

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令 y=0,则(x-a)2=r2-b2,x=a± r2-b2, ∴在 x 轴上的截距之和是 2a. ∴2a+2b=4,即 a+b=2.② 7 5 ①代入②,得 a= ,∴b= . 6 6 7?2 ? 5?2 169 ∴r2=? ?-1-6? +?3-6? = 18 . 7?2 ? 5?2 169 ∴圆的标准方程为? ?x-6? +?y-6? = 18 .

层级二
A.在圆内 C.在圆外

应试能力达标
) B.在圆上 D.不确定

1.点 P(a,10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2 的位置关系是(

解析:选 C ∵(a-1)2+(10-1)2=81+(a-1)2>2,∴点 P 在圆外. 2.若直线 y=ax+b 经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1 的圆心位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
2

)

解析:选 D 由题意,知(-a,-b)为圆(x+a) +(y+b)2=1 的圆心.由直线 y=ax+b 经过第一、二、四象限,得到 a<0,b>0,即-a>0,-b<0,故圆心位于第四象限. 3.设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则|PQ|的最小 值为( A.6 C.3 解析:选 B ) B.4 D.2 画出已知圆,利用数形结合的思想求解.如图,

圆心 M(3,-1)与定直线 x=-3 的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6. 因为圆的半径为 2,所以所求最短距离为 6-2=4. 4.已知圆 C 与圆(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程为( A.(x+1)2+y2=1 C.x2+(y+1)2=1 B.x2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1 )

解析:选 C 由已知圆(x-1)2+y2=1 得圆心 C1(1,0),半径长 r1=1.设圆心 C1(1,0)关于 直线 y=-x 对称的点为(a,b), ?-1?=-1, ?a-1· 则? a+1 b ?- 2 =2, b
? ?a=0, 解得? ?b=-1. ?

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所以圆 C 的方程为 x2+(y+1)2=1. 5 .若圆 C 与圆 M : (x + 2)2 + (y - 1)2 = 1 关于原点对称,则圆 C 的标准方程是 ________________. 解析:圆(x+2)2+(y-1)2=1 的圆心为 M(-2,1),半径 r=1,则点 M 关于原点的对称点 为 C(2,-1),圆 C 的半径也为 1,则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1. 答案:(x-2)2+(y+1)2=1 6.已知圆 O 的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则点 M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为 ________. 解析: 由题意, 知点 M 在圆 O 内, MO 的延长线与圆 O 的交点到点 M(2,3)的距离最大, 最大距离为 ?2-3?2+?3-4?2+5=5+ 2. 答案:5+ 2 7.已知圆 C 的圆心为 C(x0,x0),且过定点 P(4,2). (1)求圆 C 的标准方程. (2)当 x0 为何值时,圆 C 的面积最小?求出此时圆 C 的标准方程. 解:(1)设圆 C 的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=r2(r≠0). ∵圆 C 过定点 P(4,2), ∴(4-x0)2+(2-x0)2=r2(r≠0). ∴r2=2x2 0-12x0+20. ∴圆 C 的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=2x2 0-12x0+20.
2 (2)∵(x-x0)2+(y-x0)2=2x2 0-12x0+20=2(x0-3) +2,

∴当 x0=3 时,圆 C 的半径最小,即面积最小. 此时圆 C 的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2.

8.已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4,直线 l:14x+8y-31=0,求圆 C1 关于直线 l 对称 的圆 C2 的方程. 解:设圆 C2 的圆心坐标为(m,n). 7 因为直线 l 的斜率 k=- , 圆 C1: (x+3)2+(y-1)2=4 的圆心坐标为(-3,1), 半径 r=2, 4 n-1 4 ? ?m+3=7, 所以,由对称性知? -3+m 1+n ? ?14× 2 +8× 2 -31=0,
? ?m=4, 解得? ?n=5. ?

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所以圆 C2 的方程为(x-4)2+(y-5)2=4.

4.1.2

圆的一般方程

预习课本 P121~123,思考并完成以下问题 1.圆的一般方程是什么?有什么特点?

2.方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件是什么?

3.已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径?

4.圆的标准方程与一般方程怎样相互转化?

[新知初探]
圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念: 当 D2+E2-4F>0 时,二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径: D E? 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为? ?- 2 ,- 2 ?, 1 半径长为 D2+E2-4F. 2 [点睛] 圆的一般方程表现出明显的代数结构形式, 其方程是一种特殊的二元二次方程,

圆心和半径长需要代数运算才能得出,且圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中 D,E, F 为常数)具有以下特点: (1)x2,y2 项的系数均为 1; (2)没有 xy 项; (3)D2+E2-4F>0.

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[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程 x2+y2+x+1=0 表示圆( ) )

(2)方程 2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆( 答案:(1)× (2)√ )

2.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( A.(2,3) C.(-2,-3)

B.(-2,3) D.(2,-3)

-4 6 解析:选 D 圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标为?- ,- ?,即(2,-3). 2? ? 2 3.若方程 x2+y2+ax+ay+a=0 表示圆,则 a 的取值范围是________________. 解析:若方程 x2+y2+ax+ay+a=0 表示圆,则 2a2-4a>0,∴a2-2a>0,∴a<0 或 a>2. 答案:(-∞,0)∪(2,+∞)

圆的一般方程的辨析

[典例] 若方程 x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0 表示圆,求: (1)实数 m 的取值范围; (2)圆心坐标和半径. [解] (1)据题意知

D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 即 4m2+4-4m2-20m>0, 1 解得 m< , 5 1? 故 m 的取值范围为? ?-∞,5?. (2)将方程 x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0 写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径 r= 1-5m.

判断二元二次方程与圆的关系时,一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,当 它具备圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆.此时有两种途径:一是看 D2+E2-4F 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

是否大于零;二是直接配方变形,看方程等号右端是否为大于零的常数.

[活学活用]
1.若方程 x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是________. 解析:法一:方程 x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0,即为(x+a)2+(y+a)2=1-a,它 表示圆,需满足 1-a>0,故 a<1. 法二:要使方程 x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,需满足(2a)2+(2a)2-4(2a2+ a-1)>0,解得 a<1. 答案:(-∞,1) 2.已知曲线 C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0. 求证:当 m≠2 时,曲线 C 是一个圆,且圆心在一条直线上. 证明:∵D=-4m,E=2m,F=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2. 又 m≠2,∴(m-2)2>0,∴D2+E2+4F>0, 即曲线 C 是一个圆.
? ?x=2m, 设圆心坐标为(x,y),则由? 消去 m,得 x+2y=0,即圆心在直线 x+2y=0 上. ?y=-m ?

求圆的一般方程 [典例] 已知一圆过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3,求圆 的方程. [解] [法一 待定系数法]

设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将 P,Q 的坐标分别代入上式,
?4D-2E+F+20=0, ① ? 得? ? ?D-3E-F-10=0, ②

令 x=0,得 y2+Ey+F=0, ③ 由已知|y1-y2|=4 3,其中 y1,y2 是方程③的两根. ∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48. D=-2, ? ? 联立①②④解得,?E=0, ? ?F=-12 D=-10, ? ? 或?E=-8, ? ?F=4.

故所求方程为 x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0. [法二 几何法] 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

由题意得线段 PQ 的中垂线方程为 x-y-1=0. ∴所求圆的圆心 C 在直线 x-y-1=0 上,设其坐标为(a,a-1). 又圆 C 的半径长 r=|CP|= ?a-4?2+?a+1?2. ①

由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3,而圆心 C 到 y 轴的距离为|a|. ∴r2=a2+ r2= 37. 故所求圆的方程为(x-1)2+y2=13 或(x-5)2+(y-4)2=37.

?4 3?2, 2 解得 a1=1, a2=5, ∴r1= 13, ? 2 ? 代入①并将两端平方得 a -6a+5=0,

利用待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,一般采 用圆的标准方程,再用待定系数法求出 a,b,r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法 求出常数 D,E,F.

[活学活用]
求圆心在直线 2x-y-3=0 上,且过点(5,2)和(3,-2)的圆的一般方程. 解:设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, D E - ,- ?. 则圆心为? 2? ? 2 ∵圆心在直线 2x-y-3=0 上, D E - ?-?- ?-3=0.① ∴2×? ? 2 ? ? 2? 又∵点(5,2)和(3,-2)在圆上, ∴52+22+5D+2E+F=0. ② 32+(-2)2+3D-2E+F=0. ③ 解①②③组成的方程组,得 D=-4,E=-2,F=-5. ∴所求圆的一般方程为 x2+y2-4x-2y-5=0. 代入法求轨迹方程

[典例] 上.

已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心 C 在直线 l:x-y+1=0

(1)求圆 C 的方程; (2)线段 PQ 的端点 P 的坐标是(5,0),端点 Q 在圆 C 上运动,求线段 PQ 的中点 M 的轨 迹方程. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

[解]

3 1? (1)设点 D 为线段 AB 的中点,直线 m 为线段 AB 的垂直平分线,则 D? ?2,-2?.

1 又 kAB=-3,所以 km= , 3 所以直线 m 的方程为 x-3y-3=0.
? ?x-3y-3=0, 由? 得圆心 C(-3,-2), ?x-y+1=0 ?

则半径 r=|CA|= ?-3-1?2+?-2-1?2=5, 所以圆 C 的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. (2)设点 M(x,y),Q(x0,y0). 因为点 P 的坐标为(5,0), 5 , ?x=x + 2 所以? y +0 ?y= 2 ,
0 0

? ?x0=2x-5, 即? ?y0=2y. ?

又点 Q(x0,y0)在圆 C:(x+3)2+(y+2)2=25 上运动, 所以(x0+3)2+(y0+2)2=25, 即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25. 整理得(x-1)2+(y+1)2= 25 . 4

25 即所求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2= . 4

用代入法求轨迹方程的一般步骤

[活学活用] 已知△ABC 的边 AB 长为 4,若 BC 边上的中线为定长 3,求顶点 C 的轨迹方程. 解:以直线 AB 为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴建立坐标系(如 则 A(-2,0),B(2,0),设 C(x,y),BC 中点 D(x0,y0). 图),

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x =x , ?2+ 2 ∴? 0+y ? 2 =y .
0 0



∵|AD|=3,∴(x0+2)2+y2 ② 0=9. 将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36. ∵点 C 不能在 x 轴上,∴y≠0. 综上,点 C 的轨迹是以(-6,0)为圆心,6 为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点. 轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).

层级一
A.(2,3) C.(2,-3)
2 2

学业水平达标
) B.(-2,3) D.(-2,-3)

1.圆 x2+y2-4x+6y+3=0 的圆心坐标是(

解析: 选 C 将 x +y -4x+6y+3=0 配方, 得(x-2)2+(y+3)2=10, 故圆心坐标为(2, -3).故选 C. 2.将圆 x2+y2-2x-4y+4=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 ) B.x+y+3=0 D.x-y+3=0

解析:选 C 要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A、B、 C、D 四个选项中,只有 C 选项中的直线经过圆心,故选 C. 3.方程 x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0 表示的图形为( A.以(a,b)为圆心的圆 C.点(a,b) )

B.以(-a,-b)为圆心的圆 D.点(-a,-b)

解析:选 D 原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0,
? ? ?x+a=0, ?x=-a, ∴? 即? ∴表示点(-a,-b). ?y+b=0, ? ? ?y=-b.

4. 如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线 y=x 对称, 则必有( ) B.D=F D.D=E=F

A.D=E C.E=F

D E? 解析:选 A 由 D2+E2-4F>0 知,方程表示的曲线是圆,其圆心? ?- 2 ,- 2 ?在直线 y =x 上,故 D=E. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

5.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心, 5为半 径的圆的方程为(
2 2

) B.x2+y2+2x+4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0

A.x +y -2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0

解析:选 C 直线(a-1)x-y+a+1=0 可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0,
? ?-x-y+1=0, 由? 得 C(-1,2). ?x+1=0 ?

∴圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5, 即 x2+y2+2x-4y=0. 6.设 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程是 ________. 解析:设 P(x,y)是轨迹上任一点, 圆(x-1)2+y2=1 的圆心为 B(1,0), 则|PA|2+1=|PB|2, ∴(x-1)2+y2=2. 答案:(x-1)2+y2=2 7.已知圆 C:x2+y2-2x+2y-3=0,AB 为圆 C 的一条直径,点 A(0,1),则点 B 的坐 标为________. 解析: 由 x2+y2-2x+2y-3=0 得, (x-1)2+(y+1)2=5, 所以圆心 C(1, -1). 设 B(x0,
?x0+0=2, ?x0=2, ? ? y0),又 A(0,1),由中点坐标公式得? 解得? 所以点 B 的坐标为(2,- ? ? ?y0+1=-2, ?y0=-3,

3). 答案:(2,-3) 8.圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d=________. 解析:圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心坐标为?-

?

-2 -4? ,即(1,2),故圆心到 ,- 2 2 ?

|3×1+4×2+4| 15 直线 3x+4y+4=0 的距离 d= = =3. 5 32+42 答案:3 9.当实数 m 的值为多少时,关于 x,y 的方程(2m2+m-1).x2+(m2-m+2)y2+m+2 =0 表示的图形是一个圆? 解:要使方程(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0 表示的图形是一个圆,需满足 2m2+m-1=m2-m+2,得 m2+2m-3=0, 所以 m=-3 或 m=1. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

3 ①当 m=1 时,方程为 x2+y2=- ,不合题意,舍去; 2 ②当 m=-3 时,方程为 14x2+14y2=1,即 x2+y2= 半径的圆. 1 14 ,表示以原点为圆心,以 为 14 14

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综上,m=-3 时满足题意. 10.点 A(2,0)是圆 x2+y2=4 上的定点,点 B(1,1)是圆内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 的中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段 PQ 的中点的轨迹方程. 解:(1)设线段 AP 的中点为 M(x,y), 由中点公式得点 P 坐标为 P(2x-2,2y). ∵点 P 在圆 x2+y2=4 上,∴(2x-2)2+(2y)2=4, 故线段 AP 的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设线段 PQ 的中点为 N(x,y), 在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|. 设 O 为坐标原点,连接 ON,则 ON⊥PQ, ∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, ∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4, 故线段 PQ 的中点的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0.

层级二
A.(-∞,-1) C.(-∞,-1)∪(3,+∞)

应试能力达标
) B.(3,+∞) 3 - ,+∞? D.? ? 2 ?

1.已知方程 x2+y2-2x+2k+3=0 表示圆,则 k 的取值范围是(

解析:选 A 方程可化为:(x-1)2+y2=-2k-2,只有-2k-2>0,即 k<-1 时才能表 示圆. 2.若圆 C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0 过坐标原点,则实数 m 的 值为( ) B.-2 或-1 D.1

A.2 或 1 C.2

解析:选 C ∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0 表示圆,∴[-2(m-1)]2 +[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆 C 过原点,∴2m2-6m+4=0,∴m=2 或 m=1(舍去),∴m=2. 3.已知动点 M 到点(8,0)的距离等于点 M 到点(2,0)的距离的 2 倍,那么点 M 的轨迹方 程是( ) B.x2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16

A.x2+y2=32 C.(x-1)2+y2=16

解析:选 B 设 M(x,y),则 M 满足 ?x-8?2+y2=2 ?x-2?2+y2,整理得 x2+y2=16. 4.圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2的点共有( A.1 个 B.2 个 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

C.3 个 解析:选 C ∵圆心(-1,-2),r=

D.4 个 1 4+16+12=2 2, 2 2 = 2. 2

∴圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= ∴共有 3 个点.

5.已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称图形,则 a-b 的取值范 围是________. 解析:由题意知,直线 y=2x+b 过圆心,而圆心坐标为(-1,2),代入直线方程,得 b =4,圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5-a,所以 a<5,由此,得 a-b<1. 答案:(-∞,1) 6 .如果圆的方程为 x2 + y2 + kx + 2y + k2 = 0 ,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为 ________. 1 1 解析:∵r= k2+4-4k2= 4-3k2,∴当 k=0 时,r 最大,此时圆的面积最大,圆 2 2 的方程可化为 x2+y2+2y=0,即 x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1). 答案:(0,-1) 7.设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为两边作平行四边 形 MONP,求点 P 的轨迹. x y? 解: 如图所示, 设 P(x, y), N(x0, y0), 则线段 OP 的中点坐标为? ?2,2?, x0-3 y0+4? 线段 MN 的中点坐标为? ? 2 , 2 ?.由于平行四边形的对角线互相平 分,
?x0=x+3, ? x x0-3 y y0+4 故 = , = ,从而? 2 2 2 2 ?y0=y-4. ?

又点 N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 9 12 21 28 当点 P 在直线 OM 上时,有 x=- ,y= 或 x=- ,y= . 5 5 5 5 9 12? ? 21 28? 因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4,除去点? ?-5, 5 ?和点?- 5 , 5 ?.

8. 已知圆 C: x2+y2+Dx+Ey+3=0, 圆心在直线 x+y-1=0 上, 且圆心在第二象限, 半径长为 2,求圆的一般方程. D E? D E 解:圆心 C? ?- 2 ,- 2 ?,∵圆心在直线 x+y-1=0 上,∴- 2 - 2 -1=0,即 D+E= -2.① 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

又∵半径长 r= ∴D2+E2=20.②

D2+E2-12 = 2, 2

? ? ?D=2, ?D=-4, 由①②可得? 或? ?E=-4 ? ? ?E=2.

D 又∵圆心在第二象限,∴- <0,即 D>0. 2
?D=2, ? 则? ?E=-4. ?

故圆的一般方程为 x2+y2+2x-4y+3=0.

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