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【2014青岛市一模第2套】山东省青岛市2014届高三3月统一质量检测 数学(理) Word版含解析


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山东省青岛市高三 3 月统一质量检测考试(第二套) 数学(理科)试卷
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. 复数 A. ?1

2i ( i 是虚数单位)的虚部为( 1? i
B. i

) C. 1 D. 2

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? x ? 0 , B ? ?x | ln x ? 0? ,则 (CU A)
2

?

?

B ?(

)

A. (0,1]

B. (??,0)

(1, ??)

C. ?

D. (0,1)

3.某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取一个容量为 200 人 的样本,则高中二年级被抽取的人数为( A. 28 【答案】 D 【解析】 试题分析:由已知,样 本 容 量 为 400 ? 320 ? 280 ? 1000 ,所以,高中二年级被抽取的人数为 B. 32 ) C. 40 D. 64

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200 ? 320 ? 64 ,选 D . 1000
考点:分 层 抽 样

4.曲线 y ? x3 ? 2 x 在 (1, ?1) 处的切线方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0

) D. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? y ? 2 ? 0

5.设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 a / / b, a / /? , 则 b / /? C.若 ? ? ? , a ? ? , 则 a / /? B.若 ? ? ? , a / /? , 则 a ? ? D.若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则 ? ? ?

)

?x ? 2 y ? 0 ? 6.设 z ? x ? y, 其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 12 ,则 z 的最小值为( ?0 ? y ? k ?
A. ?3 【答案】 B B. ?6 C. 3 D. 6

)

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【解析】 试题分析:画出可行域及直线 x ? y ? 0 ,如图所示. 平移直线 x ? y ? 0 ,当其经过点 A(k , k ) 时,

zmax ? 2k ? 12, 当直线经过点 B(?2k , k ) 时, zmin ? k , 所以, k ? 6 , zmin ? ?6 .

考点:简单线性规划

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,若 x1 , x2 ? (?

? ?

, ) ,且 6 3

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? (

)

A. 1

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

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考点:正弦型函数

8.在实验室进行的一项物理实验中, 要先后实施 6 个程序, 其中程序 A 只能出现在第一或最后一步, 程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 ) D. 144 种

9.函数 f ( x) ? ln( x ? 2) 的图象大致是(
2

)

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10.如图,从点 M ( x0 , 4) 发出的光线,沿平行于抛物线 y 2 ? 8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点 P ,经抛 物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点 Q ,再经抛物线反射后射向直线 l : x ? y ? 10 ? 0 上的点 N ,经直 线反射后又回到点 M ,则 x0 等于( )

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

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第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11.已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1, k ? ,若 a ? b ,则实数 k ? ______;

2 2 12.圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ?

;

【答案】 3 【解析】 试题分析:由已知圆心为 (1, 2) ,由点到直线的距离公式得, d ? 考点:圆的方程,点到直线的距离公式.

| 3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 | 32 ? 42

? 3.

13.如图是某算法的程序框图,若任意输入 [1,19] 中的实数 x ,则输出的 x 大于 49 的 概率为 ;

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14.已知 x, y 均为正实数,且 xy ? x ? y ? 3 ,则 xy 的最小值为__________; 【答案】 9 【解析】 试题分析:因为 x, y 均为正实数,所以 x ? y ? 2 xy , xy ? x ? y ? 3 可化为 xy ? 2 xy ? 3 , 即 所以 xy ? 3, xy ? 9, 故当且仅当 x ? y 时, xy 取得最小值 9 . ( xy ? 3)( xy? 1)? 0, 考点:基本不等式的应用,一元二次不等式解法.

15.如果对定义在 R 上的函数 f ( x ) ,对任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x) 为“ H 函数”.给出
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? ?ln x x ? 0 下列函数① y ? ? x3 ? x ? 1 ;② y ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ;③ y ? e x ? 1 ;④ f ( x) ? ? . 0 x ? 0 ? ?
以上函数是“ H 函数”的所有序号为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin( 2 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 2 3 , f ( ) ? 若 3 sin( A ? C) ? 2 cosC ,求 b 的大小.

?

1 ) , sin x) , n ? (1 , sin x) , f ( x ) ? m ? n ? . 6 2 A 2 1 , 2

? 3? ? ? , k ? Z . (Ⅱ) 4 2 . 【答案】 (Ⅰ) f ( x) 递减区间是 ? k? ? , k? ? 4 4 ? ? ?
【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用平面向量的坐标运算及三角函数公式,将 f ( x) 化简为 减区间.

3 sin 2 x ,确定得到 f ( x) 递 2

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17.(本小题满分 12 分)袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个都是白球的概率为

5 .现 12

甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取?,每次摸取 1 个球,取出的球不放回,直到其 中有一人取到白球时终止.用 X 表示取球终止时取球的总次数. (Ⅰ)求袋中原有白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E ( X ) .

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(Ⅱ)由题意, X 的可能取值为 1, 2,3, 4 . 由古典概型概率的计算公式,计算可得分布列为:

X
P

1
2 3

2
1 4

3
1 14

4
1 84

进一步应用期望的计算公式,即得所求.

C n2 试题解析:(Ⅰ)设袋中原有 n 个白球,则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为 2 ?2 分 C9
由题意知
2 Cn 5 ? ,化简得 n2 ? n ? 30 ? 0 . 2 C9 12

解得 n ? 6 或 n ? ?5 (舍去)????????5 分 故袋中原有白球的个数为 6 ????????6 分 (Ⅱ)由题意, X 的可能取值为 1, 2,3, 4 .

2 3? 6 1 ? ; ; P ( X ? 2) ? 3 9?8 4 3? 2 ? 6 1 3 ? 2 ? 1? 6 1 P ( X ? 3) ? ? ; P ( X ? 4) ? ? . 9 ? 8 ? 7 14 9 ? 8 ? 7 ? 6 84 P( X ? 1) ?
所以取球次数 X 的概率分布列为:

X
P

1
2 3

2
1 4

3
1 14

4
1 84

?????10 分

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所求数学期望为 E ( X ) ? 1?

2 1 1 1 10 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? ???????12 分 3 4 14 84 7

考点:简单组合应用问题,古典概型概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.

18.(本题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD ,

E 、 F 分别为 BD 、 PD 的中点, EA ? EB =AB ? 1 , PA ? 2 .
(Ⅰ)证明: PB ∥面 AEF ; (Ⅱ)求面 PBD 与面 AEF 所成锐角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ) cos n1 , n2

?

n1 ? n2 n1 n2

?

11 . 19

【解析】 试题分析: (Ⅰ)(Ⅰ) 利用三角形中位线定理,得出 EF ∥ PB . (Ⅱ)利用平几何知识,可得一些线段的长度及 BA ? AD ,进一步以 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴建立坐标系,

得到 PB ? (1,0, ?2), PD ? (0, 3, ?2), AE ? ( ,

1 3 3 ,0), AF ? (0, ,1) , 2 2 2

确定面 PBD 与面 AEF 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) : 由?

? 2 3 ? x1 ? 2 z1 ? 0 ,1) ; ,可得令 n1 ? (2, 3 3 y ? 2 z ? 0 ? ? 1 1

? 3 y ?z ?0 ? n ?n 11 3 ? 2 2 2 ) ,进一步得到 cos n1 , n2 ? 1 2 ? . 由又 ? ,可得令 n2 ? (? 3,1, ? 19 2 n1 n2 ?1 x ? 3 y ? 0 2 2 ? ?2 2
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所以 B(1,0,0), D(0, 3,0), P(0,0, 2), F (0,

3 1 3 ,1), E ( , ,0) 2 2 2 1 3 3 ,0), AF ? (0, ,1) ???8 分 2 2 2

则 PB ? (1,0, ?2), PD ? (0, 3, ?2), AE ? ( ,

设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分别是面 PBD 与面 AEF 的法向量 则?

? 2 3 ? x1 ? 2 z1 ? 0 ,令 n1 ? (2, ,1) 3 ? ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0

? 3 y ?z ?0 ? 3 ? 2 2 2 又? ,令 n2 ? (? 3,1, ? ) ?????11 分 2 1 3 ? x ? y2 ? 0 2 ? ?2 2
所以 cos n1 , n2

?

n1 ? n2 n1 n2

?

11 ?????12 分 19

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考点:直线与平面、平面与平面垂直,二面角的定义,空间向量的应用.

19.(本小题满分 12 分)在数列 ?an ? (n ? N? ) 中,其前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? n ? n2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

?n ? 2a n , n ? 2k ? 1 ? (Ⅱ)设 bn ? ? 1 ( k 为正整数),求数列 ?bn ?的前 2 n 项和 T2 n . , n ? 2k ? 2 ? n ? 2n
【答案】(Ⅰ ) an ? 1 ? n .(Ⅱ) T2 n ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据 2Sn ? n ? n2 ,计算 an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 ? n

20 24n ? 20 n ? ? . 2n 9 9?2 4(n ? 1)

(n ? 2)

验证当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 0 ,明确数列 ?an ? 是 a1 ? 0 为首项、公差为 ? 1 的等差数列即得所求.

?n ? 21? n , n ? 2k ? 1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知: bn ? ? 1 ? n ( n ? 2) , n ? 2 k ?
利用“裂项相消法” 、 “错位相减法”求和. 试题解析:(Ⅰ)由题设得: 2Sn ? n ? n2 ,所以 2Sn ?1 ? n ? 1 ? (n ? 1)2 (n ? 2) 所以 an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 ? n

(n ? 2) ?????2 分

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 0 ,数列 ?an ? 是 a1 ? 0 为首项、公差为 ? 1 的等差数列 故 an ? 1 ? n .?????5 分
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20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? e ? 1 ? x .
x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时,这样的区间称为函数的保值区间.设

g ( x) ? ( f ?( x) ? 1)( x2 ?1) ,试问函数 g ( x) 在 (1, ??) 上是否存在保值区间?若存在,请求出一个保值区间;
若不存在,请说明理由. 【答案】 (Ⅰ) f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0 . (Ⅱ)函数 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上不存在保值区间,证明见解析. 【解析】

0) ; 试题分析: (Ⅰ)求导数,解 f ?( x) ? 0 得函数的减区间 (??,
解 f ?( x) ? 0 ,得函数的增区间 (0, ??) . 确定 f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0 . 也可以通过“求导数、求驻点、研究函数的单调区间、确定极值(最值) ” .

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21.(本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 D :

x2 y2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆 D 于 2 3 a b

A , B 两点, F1 到直线 AB 的距离为 3 ,连接椭圆 D 的四个顶点得到的菱形面积为 4 .
(Ⅰ)求椭圆 D 的方程;

0) (Ⅱ) 已知点 M( ? 1, , 设 E 是椭圆 D 上的一点, 过 E 、M 两点的直线 l 交 y 轴于点 C ,若 CE ? ? EM ,
求 ? 的取值范围; (Ⅲ)作直线 l1 与椭圆 D 交于不同的两点 P , Q ,其中 P 点的坐标为 (?2,0) ,若点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平 分线上一点,且满足 NP ? NQ ? 4 ,求实数 t 的值.

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

2 x2 2 14 ? ? ? 或 ? ? ?2 ; ? y2 ? 1; (Ⅱ) (Ⅲ) 满足条件的实数 t 的值为 t ? ?2 2 或 t ? ? . 3 4 5

试题分析: (Ⅰ)设 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0), (c,0) ,其中 c ? 0 由题意得 AB 的方程为: y ? 3( x ? c) 根据 F1 到直线 AB 的距离为 3 ,可求得 c ? 3 ,

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将a ?b ? c ? 3与
2 2 2

1 ? 2a ? 2b ? 4 联立即可得到 a ? 2, b ? 1. 2

(Ⅱ)设 E ( x1 , y1 ) , C (0, m) ,由 CE ? ? EM 可得 x1 ? ?

?

m2 ?

2 (3? ? 2)( ? ? 2) ? 0 ,即可解得 ? ? ? 或 ? ? ?2 . 4 3

1? ?

, y1 ?

m ,代人椭圆 D 的方程得 1? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 D 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

设 E ( x1 , y1 ) , C (0, m) ,由于 CE ? ? EM ,所以有 ( x1, y1 ? m) ? ? (?1 ? x1,? y1 )

? x1 ? ?

?
1? ?

, y1 ?

m ?????7 分 1? ?

(?
又 E 是椭圆 D 上的一点,则 所以 m ?
2

?
1? ? 4

)2

(3? ? 2)( ? ? 2) ?0 4

m 2 ?( ) ?1 1? ?

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解得: ? ? ?

2 或 ? ? ?2 3

?????9 分

(Ⅲ)由 P(?2,0) , 设 Q( x1 , y1 ) 根据题意可知直线 l1 的斜率存在,可设直线斜率为 k ,则直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) 把它代入椭圆 D 的方程,消去 y ,整理得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0

4k 16k 2 2 ? 8k 2 , 则 , y1 ? k ( x1 ? 2) ? x ? 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2k 8k 2 所以线段 PQ 的中点坐标为 (? ) , 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2
由韦达定理得 ? 2 ? x1 ? ?

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