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2013年高考数学总复习 12-2 坐标系与参数方程测试 新人教B版

2013 年高考数学总复习 12-2 坐标系与参数方程但因为测试 新人教 B 版
1.(2011?北京海淀期中)在极坐标系下,已知圆 C 的方程为 ρ =2cosθ ,则下列各点 中,在圆 C 上的是( π A.(1,- ) 3 C.( 2, 3π ) 4 ) π B.(1, ) 6 D.( 2, 5π ) 4

[答案] A [解析] 将备选答案代入圆 C 的方程,因为 2cos(- π 1 )=2? =1,所以 A 成立. 3 2
? ?x=-1-t ?y=2+t ?

2.(2010?湖南文,4)极坐标方程 ρ =cosθ 和参数方程? 表示的图形分别是( A.直线、直线 C.圆、圆 [答案] D ) B.直线、圆 D.圆、直线

(t 为参数)所

[解析] 由 ρ =cosθ 得 ρ =ρ cosθ ,∴x +y -x=0.此方程所表示的图形是圆. 消去方程?
?x=-1-t ? ?y=2+t ?

2

2

2

中的参数 t 可得,x+y-1=0,此方程所表示的图形是直线.

3.(文)(2011?湖南十二校联考)若直线的参数方程为? 直线的倾斜角为( A.30° C.120° [答案] D [解析] 由直线的参数方程知,斜率 k= 斜角,所以该直线的倾斜角为 150°. (理)直线的参数方程为? A.40° C.140°
? ?x=tsin50°-1 ? ?y=-tcos50°

?x=1+3t ?y=2- 3t

(t 为参数),则

) B.60° D.150°

y-2 - 3t 3 = =- =tanθ ,θ 为直线的倾 x-1 3t 3

(t 为参数),则直线的倾斜角为( B.50° D.130°

)

[答案] C [解析] 将直线的参数方程变形得,?
? ?x=-1-tcos140° ? ?y=-tsin140°

,∴倾斜角为 140°.

4.(文)(2011?皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程 为?
?x=t ? ? ?y=t+1

(t∈R), 圆的参数方程为? )

?x=cosθ +1 ? ? ?y=sinθ

(θ ∈[0,2π )), 则圆心 C 到直线 l

的距离为( A.0 C. 2 [答案] C

B.2 D. 2 2

[解析] 化直线 l 的参数方程?
?x=cosθ +1 ? ? ?y=sinθ

? ?x=t ? ?y=t+1

(t∈R)为普通方程为 x-y+1=0,化圆的参

数方程?

(θ ∈[0,2π ))为普通方程为(x-1) +y =1,则圆心 C(1,0)到直线

2

2

l 的距离为

|1-0+1| 1 +? -1?
2

2

= 2.
? ?x=4t
2

(理)(2011?上海奉贤区摸底)已知点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线? 参数)上,则|PF|=( A.1 C.3 [答案] D ) B.2 D.4

?y=4t ?

(t 为

[解析] 将抛物线的参数方程化为普通方程为 y =4x,则焦点 F(1,0),准线方程为 x =-1,又 P(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知|PF|=3-(-1)=4. 5. (文)(2011?北京市西城区高三模拟)在极坐标系中, 过点(1,0)并且与极轴垂直的直 线方程是( ) B.ρ =sinθ D.ρ sinθ =1

2

A.ρ =cosθ C.ρ cosθ =1 [答案] C

[解析] 过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为 x=1,所以其极坐 标方程为 ρ cosθ =1,故选 C. (理)(2011?衡阳市联考)在极坐标系中,曲线 ρ cosθ +ρ sinθ =2(0≤θ <2π )与 θ

π = 的交点的极坐标为( 4 A.(1,1) C.( 2, π ) 4

) π B.(1, ) 4 π D.(- 2, ) 4

[答案] C π π [解析] 将 θ = 代入到 ρ cosθ +ρ sinθ =2 中得交点( 2, ). 4 4 [点评] 本题也可以先化为直角坐标方程求解, 但求出交点后还需要再化为极坐标, 不 如直接求解简便. 6.抛物线 x -2y -6x sinθ -9cos θ +8cosθ +9=0 的顶点的轨迹是(其中 θ ∈ R)( ) A.圆 C.抛物线 [答案] B [解析]
?x=3sinθ ? ? ? ?y=4cosθ
2 2

B.椭圆 D.双曲线

1 2 原方程变形为: y = (x -3sinθ ) +4cosθ .设抛物线的顶点为(x , y),则 2 ,消去参数 θ 得轨迹方程为 + =1.它是椭圆. 9 16

x2

y2

7. (文)极坐标系中, A 在曲线 ρ =2sinθ 上, B 在曲线 ρ cosθ =-2 上, AB| 点 点 则| 的最小值为________. [答案] 1 [解析] ρ =2sinθ ? ρ =2ρ sinθ ∴x +y -2y=0,即 x +(y-1 ) =1; ∵ρ cosθ =-2,∴x=-2, 易知圆心(0,1)到直线 x=-2 的距离为 2,圆半径为 1,故|AB|min=1. π 2 (理)(2011?安徽“江南十校”联考)在极坐标系中,直线 ρ sin(θ - )= 与圆 ρ 4 2 =2cosθ 的位置关系是________. [答案] 相离 [解析] 直线的直角坐标方程为 x-y+1=0,圆的直角坐标方程为(x-1) +y =1,其 圆心 C(1,0),半径 r=1.因为圆心到直线的距离 d= 2 = 2>1,故直线与圆相离. 2
2 2 2 2 2 2 2

8.(文)(2010?湖南师大附中)已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ cosθ =3,ρ =

π 4cosθ (ρ ≥0,0≤θ < ),则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为________. 2 π? ? [答案] ?2 3, ? 6? ? [解析] 化为直角坐标方程为 x=3 和 x +y =4x(y≥0),故交点为(3, 3),其极坐 π? ? 标为?2 3, ?. 6? ?
? ?ρ cosθ =3 可直接解? ?ρ =4cosθ ?
2 2

[点评]

?ρ =2 3 ? ,得? π ?θ = 6 ?

.

(理)(2010?广东文)在极坐标系(ρ ,θ )(0≤θ <2π )中,曲线 ρ (cosθ +sinθ )=1 与 ρ (sinθ -cosθ )=1 的交点的极坐标为__________. π [答案] (1, ) 2 [解析] 曲线 ρ (cosθ +sinθ )=1 化为直角坐标方程为 x+y=1, (sinθ -cosθ ) ρ =1 化为直角坐标方程为 y-x=1.联立方程组? π 对 应的极坐标为(1, ). 2 [点评] 可直接由两方程联立解出交点坐标,
?ρ cosθ +ρ sinθ =1 ? 由? ? ?ρ sinθ -ρ cosθ =1 ?ρ cosθ =0 ? 得,? ? ?ρ sinθ =1 ? ?x+y=1 ?y-x=1 ?

,得?

? ?x=0 ?y=1 ?

,则交点为(0,1),



π ∵ρ ≠0,∴cosθ =0,∴θ = +kπ 2 ∴sinθ =±1,∵ρ >0,∴sinθ =1, π ∴θ = +2nπ (n∈Z),ρ =1, 2

(k∈Z),

π 令 n=0 得,交点的一个极坐标为(1, ). 2 9.(文)直线 ? ________. [答案] 7 5
? ?x=1+4t ?y=-1-3t ? ?x=1+4t, ? ? ?y=-1-3t

(t 为参数)被曲线 ρ = 2cos(θ +

π )所截的弦长为 4

[解析] 由?

得直线方程为 3x+4y+1=0,

π ∵ρ = 2cos(θ + )=cosθ -sinθ , 4 ∴ρ =ρ cosθ -ρ sinθ ,∴x +y =x-y, 1 2 1 2 1 即(x- ) +(y+ ) = . 2 2 2 1 圆心到直线的距离 d= , 10 ∴弦长=2? 1 1 7 - = . 2 100 5
2 2 2

(理)(2011?安徽皖南八校联考)已知直线 l

?x=1+1t 2 ? 的参数方程是? 3 ?y= 2 t ?

(t 为参

数),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cosθ +4sinθ ,则直线 l 被圆 C 所截得的弦长等于________. [答案] 4 [解析] 依 题意得,直线 l 的普通方程是 y= 3(x-1),即 3x-y- 3=0;圆 C 的 直角坐标方程是 x +y =2x+4y,即(x-1) +(y-2) =5.圆心 C(1,2)到直线 l 的距离 d= | 3?1-2- 3| 3+1 =1,因此直线 l 被圆 C 所截得的弦长等于 2 ? 5?
2 2 2 2 2

-1 =4.

2

1 2 3 2 2 2 [点评] ∵( ) +( ) =1,∴可只将⊙C 方程化为普通方程 x +y -2x-4y=0, 2 2

?x=1+1t 2 ? 将? 3 ?y= 2 t ?
∴|t1-t2|= ?

代入得 t -2 3t-1=0,

2

∴t1+t2=2 3,t1t2=-1,

t1+t2?

2

-4t1t2=4,

∴直线 l 被⊙C 所截弦长为 4.

?x=-3t+2 ? 5 10.(文)(2010?吉林省调研)已知曲线 C :ρ =2sinθ ,曲线 C :? 4 ?y=5t ?
1 2

(t 为参数). (1)化 C1 为直角坐标方程,化 C2 为普通方程; (2)若 M 为曲线 C2 与 x 轴的交点,N 为曲线 C1 上一动点,求|MN|的最大值.

[解析] (1)曲线 C1 的方程化为 ρ =2ρ sinθ 又 x +y =ρ ,x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ 所以曲线 C1 的直角坐标方程 x +y -2y=0,
2 2 2 2 2

2

?x=-3t+2 ? 5 因为曲线 C 的参数方程是? 4 ?y=5t ?
2

,消去参数 t 得曲线 C2 的普通方程 4x+

3y-8=0. (2)在曲线 C2 的方程中,令 y=0 得 x=2, 即 M 点的坐标为(2,0), 又曲线 C1 为圆,其圆心坐标为 C1(0,1),半径 r=1, 则|MC1|= 5, ∴|MN|≤|MC1|+r= 5+1,|MN|的最大值为 5+1. ( 理 )(2010? 哈 师 大 附 中 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 :

?x=1+4t ? 5 ? 3 ?y=-1-5t ?

(t 为参数),若以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C

π 的极坐标方程为 ρ = 2cos(θ + ),求直线 l 被曲线 C 所截的弦长. 4 4 ?x=1+5t ? 将方程? 3 ?y=-1-5t ?

[解析]

(t 为参数)化为普通方程得,3x+4y+1=0,

π? ? ?1 1? 2 2 将方程 ρ = 2cos?θ + ?化为普通方程得,x +y -x+y=0,它表示圆心为? , ?, 4? ? ?2 2? 半径为 2 1 的圆,则圆心到直线的距离 d= , 2 10
2 2

弦长为 2 r -d =2

1 1 7 - = . 2 100 5

11.(文)(2011?广东理,14)已知两曲线参数方程分别为?

?x= 5cosθ ?y=sinθ

(0≤θ <π )

?x=5t2 ? 和? 4 ?y=t ?

(t∈R),它们的交点坐标为________.

? 2 5? [答案] ?1, ? 5 ? ?
[解析] ?

?x= 5cosθ ?y=sinθ

(0≤θ ≤π ) 化为普通方程为 +y =1(0≤y≤1), 5

x2

2

?x=5t2 ? 而? 4 ?y=t ?

5 2 化为普通方程为 x= y , 4

? 5 +y =1? ? 由? 5 ?x=4y ?
2 2

x2

0≤y≤1?

?x=1 ? 得? 2 5 ?y= 5 ?



? 2 5? 即交点坐标为?1, ?. 5 ? ?

( 理 )(2011? 西 安 检 测 ) 已 知 直 线

?x=1- 22t ? l:? ?y=1+ 22t ?

(t 为 参 数 ) 与 圆 C :

?x=1+ 2cosθ ? ?y=1+ 2sinθ
[答案] 2

(θ 为参数),它们的公共点个数为________个.

[解析] 直线 l 的普通方程为 x+y-2=0,⊙C 的圆心(1,1),半径 r= 2,圆心 C 在 直线 l 上,∴l 与⊙C 相交. 12.(文)(2011?咸阳模拟)若直线 3x+4y+m=0 与圆? 没有公共点,则实数 m 的取值范围是________. [答案] (-∞,0)∪(10,+∞) [解析] 由条件知,圆心 C(1,-2)到直线 3x+4y+m=0 的距离大于圆的半径 1, ∴ |3-8+m| >1,∴m<0 或 m>10. 5
?x=2t ? ? ?y=1+4t ? ?x=1+cosθ ? ?y=-2+sinθ

(θ 为参数)

? (理)已知直线 l 的参数方程:

(t 为参数), 曲线 C 的极坐标方程: =2 2 ρ

π? ? sin?θ + ?,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长为________. 4? ? [答案] 2 30 5

[分析] 可将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解; 也可将曲线 C 的方程化为 直角坐标方程后,将 l 方程代入利用 t 的几何意义求解. [解析] 将直线 l 的参数方程化为普通方程为 y=2x+1,将圆 C 的极坐标方程化为普 通方程为(x-1) +(y-1) =2,从圆方程中可知:圆心 C(1,1),半径 r= 2,所以圆心 C 到直线 l 的距离 d= |2?1-1+1| 2 +? -1?
2 2 2 2



2

< 2=r.所以直线 l 与圆 C 相交. 5

所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r -d =2
2 2

4 2 30 2- = . 5 5
?x=8t , ? 的参数方程为? ? ?y=8t,
2 2 2 2

13.(2011?天津理,11)已知抛物线 C

(t 为参数),若斜率

为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点,且 与圆(x-4) +y =r (r>0)相切,则 r=________. [答案] 2
?x=8t ? 的参数方程? ? ?y=8t
2

[解析] 根据抛物线 C

,得出 y =8x,得出抛物线焦点坐标为 2

2

(2,0),所以直线方程:y=x-2,利用圆心到直线距离等于半径,得出 r=

= 2. 2

14 . (2011? 课 标 全 国 文 , 23) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
?x=2cosα , ? ? ? ?y=2+2sinα .

→ → (α 为参数).M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2.

(1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ = 与 C1 的异于极点的 3 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. [解析] (1)设 P(x,y),则由条件知 M( , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

x y

?x=2cosα , ?2 ?y ?2=2+2sinα . ?

即?

? ?x=4cosα , ? ?y=4+4sinα .

从而 C2 的参数方程为?

? ?x=4cosα , ? ?y=4+4sinα .

(α 为参数)

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ =4sinθ ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =8sinθ . π π 射线 θ = 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ 1=4sin =2 3, 3 3 π π 射线 θ = 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ 2=8sin =4 3. 3 3 所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3. 1 π 15.(文)(2011?大连市模拟)已知直线 l 经过点 P( ,1),倾斜角 α = ,圆 C 的极坐 2 6 π 标方程为 ρ = 2cos(θ - ). 4 (1)写出直线 l 的参数方程,并 把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.

[解析]

(1) 直 线 l

?x=1+tcosπ , ? 2 6 的参数方程为? π ?y=1+tsin 6 , ?

(t 为 参 数 ) , 即

?x=1+ 23t, ? 2 ? 1 ?y=1+2t. ?

(t 为参数).

π 由 ρ = 2cos(θ - )得 ρ =cosθ +sinθ , 4 1 2 1 2 1 2 所以 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ ,得(x- ) +(y- ) = . 2 2 2

?x=1+ 23t ? 2 (2)把? 1 ?y=1+2t ?
1 1 2 得 t + t- =0. 2 4

1 2 1 2 1 代入(x- ) +(y- ) = 中 2 2 2

1 由根与系数的关系得 t1t2=- , 4 1 由参数 t 的几何意义得:|PA|?|PB|=|t1t2|= . 4

(理)(2010?南京调研)已知直线 l 的参数方程为?

? ?x=4-2t ? ?y=t-2

(t 为参数), 是椭圆 + P 4

x2

y2=1 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值.
[解析] 直线 l 的参数方程为?
?x=4-2t ? ? ?y=t-2

(t 为参数)故直线 l 的普通方程为 x+2y=0

因为 P 为椭圆 +y =1 上任意一点, 4 故可设 P(2cosθ ,sinθ )其中 θ ∈R. 因此点 P 到直线 l 的距离是 π 2 2|sin? θ + ? 4 |2cosθ +2sinθ | d= = 2 2 1 +2 5 |

x2

2

π 2 10 所以当 θ =kπ + ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5

1. (2010?延边州质检)直线? 得的弦长为( A.2 7 C.4 7 [答案] A [解析] 将直线?
? ?x=3cosα ?y=3sinα ? ?x=1+2t ? ? ?y=1-2t

?x=1+2t ? ? ?y=1-2t

(t 为参数)被圆?

?x=3cosα ? ? ?y=3sinα

(α 为参数)截

) B. 7 D.2

化为普通方程得 x+y=2,

将圆?

化为普通方程得 x +y =9.

2

2

|0+0-2| 圆心 O 到直线的距离 d= = 2, 2 2 1 +1 所以弦长 l=2 R -d =2 7. 2.圆 ρ = 2(cosθ -sinθ )的圆心的一个极坐标是( )
2 2

? π? A.?1, ? 4? ?
π? ? C.? 2, ? 4? ?

? 7π ? B.?1, ? 4 ? ? ? D.? 2, ?
7π ? 4 ? ?

[答案] B [解析] 圆方程化为 x +y = 2x- 2y, 圆心? 7π 2? ? 2 ,- ?,∴ρ =1,tanθ =-1,∴θ = ,故选 B. 4 2 ? ?2 )
2 2

3.将曲线 y=sin3x 变为 y=2sinx 的伸缩变换是(

?x=3x′ ? A.? 1 ?y=2y′ ?
C.?
?x=3x′ ? ? ?y=2y′

?x′=3x ? B.? 1 ?y′=2y ?
D.?
?x′=3x ? ? ?y′=2y

[答案] D π? ? 4.在极坐标系下,直线 ρ cos?θ - ?= 2与曲线 ρ = 2的公共点个数为( 4? ? A.0 C.2 [ 答案] B [分析] 讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系, 交点个数等问题, 一般是化为直角坐 标方程求解.对于熟知曲线形状、位置的曲线方程,也可以直接画草图,数形结合讨论. π? ? [解析] 方程 ρ cos?θ - ?= 2化为 ρ cosθ +ρ sinθ =2, 4? ? ∴x+y=2,方程 ρ = 2,即 x +y =2,显然直线与圆相切,∴选 B. 5.已知点 P(x,y)满 足(x-4cosθ ) +(y-4sinθ ) =4(θ ∈R),则点 P(x,y)所在区 域的面积为( A.36π C.20π [答案] B [解析] 圆心坐标为(4cosθ , 4sinθ ), 显然圆心在以原点为圆心、 半径等于 4 的圆上, 圆(x-4cosθ ) +(y-4sinθ ) =4(θ ∈R)绕着上述圆旋转一周得到的图形是一个圆环,圆 环的外径是 6,内径是 2,∴选 B. 6.(2011?宝鸡质检)直线?
? ?x=2t+1 ? ?y=t-1
2 2 2 2 2 2

)

B.1 D.2 或 0

) B.32π D.16π

5 2 2 2 ,(t 为参数)过圆 x +y -2ax+ay+ a -1=0 4

的圆心,则圆心坐标为________. 3 3 [答案] ( ,- ) 2 4

[解析] 由题意知,圆心 C(a,- )在直线 2

a

?x=2t+1 ? ? ? ?y=t-1

?a=2t+1 ? 上,∴? a ?-2=t-1, ?

?a=3 ? 2 解之得? 1 ? ?t=4



3 3 ∴圆心 C 的坐标为( ,- ). 2 4 π π 7.(2011?广州)设点 A 的极坐标为(2, ),直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ,则 6 3 直线 l 的极坐标方程为________. π [答案] 填 ρ cos(θ + )=1、 3ρ cosθ -ρ sinθ -2=0、 6 π 4π ρ sin( -θ )=1、ρ sin(θ - )=1 中任意一个均可 3 3 π [解析] ∵点 A 的极坐标为(2, ),∴点 A 的平面直角坐标为( 3,1),又∵直线 l 6 过点 A 且与极轴所成的角为 π π , ∴直线 l 的方程为 y-1=(x- 3)tan , 3x-y-2=0, 即 3 3 π )=1 或 6

∴直线 l 的极坐标方程为 3ρ cosθ -ρ sinθ -2=0,可整理得 ρ cos(θ + π 4π ρ sin( -θ )=1 或 ρ sin(θ - )=1. 3 3

[点评] 一般地,在极坐标系下,给出点的坐标,曲线的方程,讨论某种关系或求某些 几何量时,通常都是化为直角坐标(方程)求解.如果直接用极坐标(方程)求解,通常是解一 个斜三角形. 8.(2011?深圳调研)在极坐标系中,设 P 是直线 l:ρ (cosθ +sinθ )=4 上任一点,

Q 是圆 C:ρ 2=4ρ cosθ -3 上任一点,则|PQ|的最小值是________.
[答案] 2-1

[解析] 直线 l 方程化为 x+y-4=0, ⊙C 方程化为 x +y -4x+3=0, 即(x-2) +y =1. |2+0-4| 圆心 C(2,0)到直线 l 的距离 d= = 2, 2 ∴|PQ|min= 2-1. 9.(2010?新课标全国文)已知直线 C1 : ?
? ?x=1+tcosα , ?y=tsinα , ?
2 2 2 2

(t 为参数),圆 C2 :

? ?x=cosθ , ? ? ?y=sinθ ,

(θ 为参数).

π (1)当 α = 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线. π 2 2 [解析] (1)当 α = 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x +y =1. 3 联立方程组?

?y= 3? x-1? , ?x2+y2=1,

1 3 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),( ,- ). 2 2

(2)C1 的普通方程为 xsinα -ycosα -sinα =0.

A 点坐标为(sin2α ,-cosα sinα ),
故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为

?x=1sin α , ? 2 ? 1 ?y=-2sinα cosα , ?
2

(α 为参数),

1 2 2 1 消去参数得 P 点轨迹的普通方程为(x- ) +y = , 4 16 1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆. 4 4