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2014年高中数学 1.1.2余弦定理特色训练 新人教A版必修5


正弦定理、余弦定理特色训练
1.在不等边△ABC 中,a 为最大边,如果 a ? b ? c ,求 A 的取值范围。
2 2 2

a 2 tan A 2.在△ABC 中,若 2 ? ,试判断△ABC 的形状。 tan B b

3.在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC ?

3 ,求

a ?b?c 的值。 sin A ? sin B ? sin C

1

4.在△ABC 中, c ?

6 ? 2 ,C=30°,求 a+b 的最大值。

5.在△ABC 中,已知 a=2,b= 2 2 ,C=15°,求 A。

2

6.在△ABC 中, ? cos A ? b cos B ,判断△ABC 的形状。

3

正弦定理、余弦定理易错题训练答案 1.错解:∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ,∴b 2 ? c 2 ? a 2 ? 0 。则

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ? 0 ,由于 cosA 在(0°,180°)上为减函数 2bc

且 cos90° ? 0,∴A ? 90° 又∵A 为△ABC 的内角,∴0°<A<90°。 辨析:错因是审题不细,已知条件弱用。题设是 a 为最大边,而错解中只把 a 看做是三角形 的 普通一条边,造成解题错误。 正解:由上面的解法,可得 A<90°。 又 ∵a 为最大边,∴ A>60°。因此得 A 的 取值范围是(60°,90°) 。 2.在△ABC 中, 若

a 2 tan A ? ,试判断△ABC 的形状。 b 2 tan B

sin 2 A tan A ? 错解 :由正弦定理,得 sin 2 B tan B


sin 2 A sin A cos B ? · ,∵ sin A ? 0, sin B ? 0 2 sin B sin B cos A

∴ sin A cos A ? sin B cos B,即 sin 2 A ? sin 2 B 。
∴2A=2B,即 A=B。故△ABC 是等腰三角 形。 辨析:由 sin 2 A ? sin 2 B ,得 2A=2B。这是三角变换中 常见的错误,原因是不熟悉三角 函数的性质,三角变换生疏。 正解:同上得 sin 2 A ? sin 2 B ,∴2A= 2 k? ? 2 B 或 2 A ? 2k? ? ? ? 2 B( k ? Z ) 。 ∵ 0 ? A ? ?,0 ? b ? ?,∴k ? 0,则A ? B 或 A ? 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 3.在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC ? 错解:∵A=60°,b=1, S △ABC ? 解得 c=4。 由余弦 定理,得 a ?

?
2

?B。

3 ,求

3 ,又 S △ABC

a ?b?c 的值。 sin A ? sin B ? sin C 1 1 ? bc sin A ,∴ 3 ? c sin 60° , 2 2

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 16 ? 8 cos 60° ? 13
4

又由正弦定理,得 sin C ?

6 3 。 , sin B ? 39 2 39



a ?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

13 ? 1 ? 4 。 3 3 6 ? ? 2 2 39 39

辨析:如此复杂的算式,计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解:由已知可得 c ? 4,a ? 13 。由正弦定理,得

2R ?

a ?b?c 2 39 a 13 2 39 。∴ 。 ? 2R ? ? ? sin A ? sin B ? sin C 3 sin A sin 60° 3

4.在△ABC 中, c ?

6 ? 2 ,C=30°,求 a+b 的最大值。

错 解 : ∵ C = 30 ° , ∴ A + B = 150 ° , B = 150 ° - A 。 由 正 弦 定 理 , 得

a b 6? 2 ? ? sin A sin(150° ? A) sin 30°

∴a ? 2( 6 ? 2 ) sin A , b ? 2( 6 ? 2 ) sin(150° ? A)
又∵ sin A ? 1, sin(150° ? A) ? 1 ∴ a ? b ? 2( 6 ? 2 ) ? 2( 6 ? 2 ) ? 4( 6 ? 2 ) 。 故 a ? b 的 最 大 值 为

4( 6 ? 2 ) 。
辨析:错因是未弄清 A 与 150°-A 之间的关系。这里 A 与 150°-A 是相互制约的,不是 相互独立的两个量, sinA 与 sin(150°-A)不能同时取最大值 1, 因此所得的结果也是 错误的。 正解:∵C=30°,∴A+B=150°,B=150°-A。 由正弦定理,得

a b 6? 2 ? ? sin A sin(150° ? A) sin 30°

因此 a ? b ? 2( 6 ? 2 )[sin A ? sin(150° ? A)]

? 2( 6 ? 2) · sin 75°cos( A ? 75°) 6? 2 · cos( A ? 75°) 4 ? (8 ? 4 3) cos( A ? 75°) ? 8 ? 4 3 ? 4( 6 ? 2)
5

∴a+b 的最大值为 8 ? 4 3 。 5.在△ABC 中,已知 a=2,b= 2 2 ,C=15°,求 A。 错解:由余 弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos15°
2 2 2

? 4 ? 8 ? 2× 2× 2 2×

6? 2 ? 8?4 3 4
a sin C 1 ? c 2

∴c ?
0

6 ? 2。
0 0 0

又由正弦定理,得 sin A ?

=30 或A ? 150 。 而 0 ? A ? 180 ,∴A

辨析:由题意 b ? a ,∴ B ? A 。因此 A=150°是不可能的。 错因是没有认真审题,未利 用隐含条件。在解题时,要善于应用题中的条 件,特别是隐含条件,全面细致地分析 问题,避免错误发生。 正 解 : 同 上

c ? 6 ? 2, s

1 A ?i , nb ? ∵ a 2



∴B ? A,且00 ? A ? 1800,∴A ? 300 。
6.在△ABC 中, ? cos A ? b cos B ,判断△ABC 的形状。 错解:在△ABC 中,∵ a cos A ? b cos B ,由正弦定理 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B ∴ sin 2 A ? sin 2 B,∴2 A ? 2 B且2 A ? 2 B ? 180° ∴A=B 且 A+B=90° 故△ABC 为等腰直角三角形。 辨析:对三角公式不熟,不理解逻辑连结词“或” 、 “且”的意义,导致结论错误。 正解:在△ABC 中,∵ a cos A ? b cos B ,由正弦定理, 得 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B,∴ sin 2 A ? sin 2 B 。 ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,∴A=B 或 A+B=90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角 形。

6


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