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2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用高效测评


2016-2017 学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几 何中的应用高效测评 新人教 A 版选修 2-2

1 1 1.由直线 x= ,x=2,曲线 y= 及 x 轴所围图形的面积为( 2 x 15 A. 4 1 C. ln 2 2 1 17 B. 4 D.2ln 2

)

解析: S= 答案: D

1 dx=ln 2-ln =2ln 2,故选 D. x 2

2.如图,两曲线 y=3-x 与 y=x -2x-1 所围成的图形面积是(

2

2

)

A.6 C.12 解析:
? ?y=3-x 由? 2 ?y=x -2x-1 ?
2

B. 9 D. 3

解得交点(-1,2),(2,-1), 所以 S=? ?-1 [(3-x )-(x -2x-1)]dx
2 2 2

=? ?-1 (-2x +2x+4)dx
2

2

? 2 3 2 ? =?- x +x +4x?| ? 3 ?
=9,故选 B. 答案: B

2 -1

3.如图,阴影部分面积为(

)

1

A.? ? [f(x)-g(x)]dx
a c

b

? B.? ?a [g(x)-f(x)]dx+?c [f(x)-g(x)]dx ? C.? ? [f(x)-g(x)]dx+? [g(x)-f(x)]dx
a b c c b

b

D.? ?a [g(x)-f(x)]dx 解析: ∵在区间(a,c)上 g(x)>f(x),而在区间(c,b)上 g(x)<f(x).

? ∴S=? ?a [g(x)-f(x)]dx+?c [f(x)-g(x)]dx,故选 B.
答案: B 4.由 y=x ,y= ,y=1 所围成的图形的面积为( 4 4 A. 3 C.2 3 B. 4 D. 1
2

c

b

x2

)

解析: 因为曲线所围成的图形关于 y 轴对称,如图所示,面积 S 满足
2 1 ?1 2 2 x 0 S=?0x dx+? 1dx-? ? ? 4 dx 1 2 2

1 2 2 = | 0+x| 1- | 0= ,

x3
3

x3

12

2 3

4 所以 S= , 3 故选 A. 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.如图所示,由曲线 y=x +4 与直线 y=5x,x=0,x=4 所围成平面图形的面积是 ________.
2

解析: 由?

?y=x +4 ? ? ?y=5x
1 2

2

,得交点坐标为(1,5),(4,20),
4 2

? ∴所求面积 S=? ?0 (x +4-5x)dx+?1 (5x-x -4)dx
2

?1 3 5 2 ? 1 ?5 2 1 3 ? 4 19 =? x - x +4x?| 0+? x - x -4x?| 1= . 2 3 3 ?3 ? ?2 ?
答案: 19 3
2

6.抛物线 y=-x +4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围图形的面积为 ________.

解析: 由 y′=-2x+4 得在点 A,B 处切线的斜率分别为 2 和-2,则直线方程分别 为 y=2x-2 和 y=-2x+6, 由?
? ?y=2x-2, ?y=-2x+6, ?
3

得两直线交点坐标为 C(2,2),
2

∴S=S△ABC-? ?1 (-x +4x-3)dx 1 4 2 2 ? 1 3 ? 3 = ×2×2-?- x +2x -3x?| 1=2- = . 2 3 3 ? 3 ? 答案: 2 3

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.曲线 y=e ,y=e 及 x=1 所围成的图形的面积.
x
-x

解析: 作出图形,
x -x S=? ?0 (e -e )dx
1

=(e +e )|
x
-x -1 0

1 0 0

=e+e -e -e 1 =e+ -2. e

1 8.求由曲线 y= x与直线 y=2-x,y=- x 围成的图形的面积. 3
3

1 解析: 由曲线 y= x与直线 y=2-x,y=- x 围成的图形大致如下图所示, 3

?y= x, 由? ?y=2-x,

? ?y= x, ? 1 y=- x, ? 3 ?

y=2-x, ? ? ? 1 y=- x, ? 3 ?

可得交点 A(1,1),O(0,0),B(3,-1). 所以所求面积为

? ? 1 ?? ? 1 ?? ?? S=? ?0? x-?- x??dx+?1??2-x?-?- x??dx
1 3

?

? 3 ??

?

? 3 ??

1 2? ?2 3 1 2? 1 ? =? x + x ?| 0+?2x- x ?| 3 2 6 3 ? ? ? ? 5 1 13 = +6-3-2+ = . 6 3 6 ? 尖子生题库 ?

3 1

?☆☆☆
2

9.(10 分)过原点的直线 l 与抛物线 y=x -4x 所围成图形的面积为 36,求 l 的方程. 解析: 由题意可知直线的斜率存在,故设直线 l 的方程为

y=kx,
则由?
? ?y=kx, ?y=x -4x, ?
2

得?

?x=0, ? ? ?y=0,

或?

?x=k+4, ? ? ?y=k?k+4?.

(1)当 k+4>0,即 k>-4 时, 面积 S=∫0 (kx-x +4x)dx
2? ?1 2 1 3 =? kx - x +2x ?| 3 ?2 ?

k+4

2

k+4
0

1 1 2 3 2 = k(k+4) - (k+4) +2(k+4) 2 3 1 3 = (k+4) =36, 6 ∴k=2,故直线 l 的方程为 y=2x;

4

(2)当 k+4<0,即 k<-4 时,

k+4(kx-x2+4x)dx S=? ?
0 2? ?1 2 1 3 =? kx - x +2x ?| 3 ?2 ? 0 k+4

1 2 3 2? ?1 =-? ?k+4? ·k- ?k+4? +2?k+4? ? 2 3 ? ? 1 3 =- (k+4) =36, 6 ∴k=-10,故直线 l 的方程为 y=-10x. 综上,直线 l 的方程为 y=2x 或 y=-10x.

5


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