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江西省上饶市2011届高三第二次高考模拟考试数学试题(文)

江西省上饶市 2011 届高三第二次高考模拟考试数学试题(文)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,每题只有一个正确答案) 1.已知 M ? { y | y ? x ? 1, x ? R } , N ? { y | y ? ? x ? 1, x ? R } , 则 M ? N =( ) A.{0,1} B.{(0,1)} C.{1} D.以上均不对
2 2

10 . 已 知 y ? f ( x ) 是 偶 函 数 , 而 y ? f ( x ? 1) 是 奇 函 数 , 且 对 任 意 0 ? x ? 1 , 都 有
f ( x ) ? ln x ? 1 x , 则a ? f ( 2009 ), b ? f ( 2011 2 ), c ? f ( 2012 ) 的大小关系是(



2.若 (1 ? a i ) (i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a=(
2

) D.1 )

A. c ? a ? b 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.? A B C 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 sin A ,sin ,sin B 则 cos B = 。

4 B. a ? c ? b

3 C. c ? b ? a

D. a ? b ? c
C 成等比数列,且 c ? 2 a ,

A. ? 1
2

B.-1

C.0

3.已知 p : x1 , x 2 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根, q : x1 ? x 2 ? ? 5 ,则 p 是 q 的(

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.两条异面直线指的是( ) A.在空间内不相交的两条直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D.不在同一平面内的两条直线 差数列,则 a 2 0 1 1 等于( A. ?
1 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 12.已知点 P ( x , y ) 在约束条件 ? | x |? 2 所围成的平面区域上,则点 P ( x , y ) 满足不等式: ?y ? 0 ?

( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 4 的概率为
2 2


2

13.下列四种说法: (1)命题:“存在 x ? R , 使 得 x ? 1 ? 3 x ”的否定是“对任意 x ? R , 都 有 x ? 1 ? 3 x ”。
2

??? ? ??? ? ??? ? 5.若 O 是 A、B、P 三点所在直线外一点,且满足条件: O P ? a1 O A ? a 4 0 2 1 O B ,其中 { a n } 为等

) C.
1 2

B.1

D.-1

(2)若直线 a、b 在平面α 内的射影互相垂直,则 a ? b . (3)已知一组数据为 20、30、40、50、60、70,则这组数据的众数、中位数、平均数的大 小关系是:众数>中位数>平均数。
? (4)已知回归方程 y ? 4.4 x ? 838.19, 则可估计 x 与 y 的增长速度之比约为

5 22

6.右图为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的( ) A. i ? 20 B. i ? 20 C. i ? ? 20 D. i ? ? 2 0 ? 7 . 已 知 函 数 f ( x ) ? s in ( 2 x ? ), 若 存 在 a ? ( 0 , ? ) , 使 得
4

.

(5)若 A(-2,3),B(3,-2), C ( , m ) 三点共线,则 m 的值为 2。
2

1

f ( x? a) ?

f ( x 3 恒成立,则 a=( ? a)

) C.
?
4

A.

?
6

B.

?
3

D.

?
2

8. 已知三棱锥的主视图与俯视图如下图, 俯视图是边长为 2 的正三角 形,那么该三棱锥的左视图可能为 ( )

其中所有正确说法的序号是 。 14. 已知关于 x 的不等式 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? a 有解集, 则实数 a 的取值范围 是 。 15.如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 的负半轴按逆时针方向 滚动,设顶点 A ( x , y ) 的纵坐标与横坐标的函数关系式是 y ? f ( x ) , 则 f ( x ) 在区间[-2,1]上的解析式是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。
? n ? (co s ? x ? sin ? x , 2 sin ? x )


?? ? ??

16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? m ? n , 其中 m ? (sin ? x ? co s ? x , 3 co s ? x ),
(? ? 0) ,若 f ( x ) 图象中相邻对称轴间的距离为

?
2

.

(1)求函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间; (2)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? a 在区间 [ ?
y
2

? ?
, 6 4

] 上恰有两个零点,求 a 的取值范围。

9.已知点 P 双曲线 x ?
2

8

? 1 右支上一点,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点,I 为 ? P F1 F2 的

内心,若 S ? IP F1 ? S ? IP F2 ? ? S ? IF1 F2 成立,则 ? 的值为( A.
1 2

) D.
1 5

B.

1 3

C.

1 4

17.(本小题满分 12 分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,在这两条流 水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量值落在 ? 4 9 5, 5 1 0 ? 的产品 为合格品,否则为不合格品。表 1 是甲流水线样本频数分布表,图 1 是乙流水线样本的频率分 布直方图。

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? ln x , a ? R (1)若函数 f ( x ) 在[1,2]
2

上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ( x ) ? f ( x ) ? x ,是否存在实数 a,当 x ? ? 0, e ?
2

(e 是自然常数)时,函数 g ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

表1: (甲流水线样本频数分布表) 图1: (乙流水线样本频率分布直方图) (1)若检验员不小心将甲、乙两条流水线生产的重量值在(510,515]的产品放在了一起, 然后又随机取出3件产品,求至少有一件是乙流水线生产的产品的概率. (2)由以上统计数据完成下面2×2列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量 与两条自动包装流水线的选择有关”. 甲流水线 乙流水线 合计 合格品 a= b= 不合格品 c= d= 合计 n=

20. (本小题满分 13 分)设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,如果

Sn S 2n
3

为常数,则称数列 { a n } 为“科

比数列”。(1)等差数列 {b n } 的首项为 1,公差不为零,若 {b n } 为“科比数列”,求 {b n } 的通 项公式;(2)数列 { c n } 的各项都是正数,前 n 项和为 S n ,若 c1 ? c 2 ? c3 ? ? ? c n ? S n 对任意
3 3 3 2

n ? N 都成立,试推断数列 { c n } 是否为“科比数列”?并说明理由。
*

21.(本小题满分 14 分) 如图,已知直线 l 与抛物线 y ? 18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , A D ? C D A B/ / C D A ? A ? 2 , C? 4 , 为 CE 的中点。 (1)求证:BM//平面 ADEF;(2)求几何 , , B D D M 体 ABCDEFAD 的体积和表面积。

1 4

x 相切于点 P(2,1),且与 x 轴
??? ???? ? ? ???? ? 2 | A M |? 0 ,

2

交于点 A, 为坐标原点, O 定点 B 的坐标为 (2, 。 0) (1) 若动点 M 满足 A B ? B M ? 不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间),且 B E ? ? B F ,试求 ? 的取值范围。
??? ? ??? ?

求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若过点 B 的直线 l ' (斜率不等于零)与(1)中的轨迹 C 交于

江西省上饶市 2011 届高三第二次高考模拟考试数学试题(文)
参考答案
一、选择题. 题号 答案 二、填空题. 11.
3 4

(2)体积 V A B C D E F A ? V B ? A D E F ? V E ? B D C ?

1 3

? 2? 4 ?

1 3

? 2?

1 2

? 2? 4 ?

16 3

表面积: S 表 ? S A B C D ? S A D E F ? S ? A B F ? S ? D C E ? S ? B F E ? S ? B C E 6 D 7 D 8 B 9 B 10 C
? 6 ? 4 ? 2 ? 4 ? 2 2 ? 2 6 ? 16 ? 2 2 ? 2 6

1 C 12.
? ? 2
8

2 A

3 A

4 D

5 C

-------------12 分

19.解:(1)因为函数 f(x)在[1,2]上是减函数,所以:
f ?( x ) ? 2 x ? a ? 1 x
2

13. (1) (3)(4)
1? ? x ? ? ? 2, ? ? 2? ? ? 1 ? x ? ? ? ,1 ? ? 2 ?
3 sin 2 ? x ? 2 sin ( 2 ? x ?

?

2 x ? ax ? 1
2

? 0 在[1,2]上恒成立

x

14. ?5 , ?? ?

? 1 ? ( x ? 1) 2 ? f (x) ? ? 15. 2 ? 1? x ?

?a ? ?1 ? h (1) ? 0 7 ? 令 h ( x ) ? 2 x ? a x ? 1 ,有 ? 得? 7 得 a ? ? -----------------5 分 2 ? h(2) ? 0 ?a ? ? ? 2

(2)假设存在实数 a,使 g ( x ) ? ax ? ln x ( x ? (0, e ]) 有最小值 3, g ? ( x ) ? a ? ①当 a ? 0 时, g ?( x ) ? 0 ,所以
?
6

1 x

?

ax ? 1 x

三、计算题. 16.解:(1) f ( x ) ? m ? n ? co s 2 ? x ?
f ( x ) 图象中相邻对称轴间的距离为

?? ?

)

g ( x ) 在(0,e]上单调递减, g ( x ) m in ? g ( e ) ? a e ? 1 ? 3, a ?

4 e

(舍去)

?
2

?T ? ?

? w ? 1 ----------------2 分

②当

1 a

? e 时, g ? ( x ) ? 0 在(0,e]上恒成立 4 e

? f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ?

?
6

)

∴函数 f ( x ) 的增区间为: [ k ? ?
?
6 ) ? a 在 x ? [?

?
3

, k? ?

?
6

] k ? Z ------6 分

所以 g ( x ) 在(0,e]上单调递减, g ( x ) m in ? g ( e ) ? a e ? 1 ? 3, a ? ③当 0 ? 在(
1 a

(舍去)

(2)? g ( x ) ? 2 sin ( 2 x ? 且2x ?
?
6 ? [?

? ?
, 6 4

] 上恰有两个零点

1 a

? e 时,令 g ? ( x ) ? 0 ? 0 ? x ?
1

1 a

所以 g ( x ) 在 (0, ) 上递减
a

1

?
6

,

2? 3

]

可知: a 的取值范围是: ? 3 , 2 ------------12 分
?

?

17.解:(1)可知在(510,515]内产品甲有 4 件,乙有 2 件,甲 4 件编号为 1,2,3,4,乙 2 件编号为 a、b,则具有抽法有:123,124,12a,12b,134,13a、13b,14a,14b,234, 23a,23b,24a,24b,34a,34b,4ab,1ab,2ab,3ab 共 20 种 ∴至少有一件是乙流水线产品的概率 p ? (2) 2 ? 2 列联表如下: 甲流水线 合格品 不合格品 合 计
K
2

, e ) 上递增? g ( x ) m in ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 a
2

? a ? e 满足条件

综上,存在 a ? e 使 x ? (0, e ] 时 g ( x ) 有最小值 3--------------13 分
2

20.解:(1)设等差数列 ? b n ? 的公差为 d ( d ? 0 ) , 则n ?
1 n ( n ? 1) d ? k [ 2 n ? 1

Sn S 2n

? k ,因为 b1 ? 1 ,

16 20

?

4 5

-----------------6 分

乙流水线
b ? 36 d ?4

合计 66 14
n ? 80

? 2 n ( 2 n ? 1) d ] ,即 2 ? ( n ? 1) d ? 4 k ? 2 k (2 n ? 1) d . 2 整理得, (4 k ? 1) dn ? (2 k ? 1)(2 ? d ) ? 0 . ??????4 分 2
?d ? 2 ? d ( 4 k ? 1) ? 0 ? 因为对任意正整数 n 上式恒成立,则 ? ,解得 ? 1 . ? ( 2 k ? 1)( 2 ? d ) ? 0 ?k ? ? 4

a ? 30 c ? 10

?? 6 分

40
2

40 =
8 0 ? (1 2 0 ? 3 6 0 )
2

?

n(ad ? bc)

故数列 ? b n ? 的通项公式是 b n ? 2 n ? 1 . ⑵ 由已知,当 n ? 1 时, c1 ? S 1 ? c1 .因为 c1 ? 0 ,所以 c1 ? 1 .
3 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2

????7 分 ????8 分

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

66 ? 14 ? 40 ? 40

? 3 .1 1 7 ? 2 .7 0 6

∴有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关------12 分 18.解:(1)取 DE 的中点 G,连 MG、AG
? M G / / AB / /D C

当 n ? 2 时, c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? c n ? S n , c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? c n ?1 ? S n ?1 . 两式相减,得 c n ? S n ? S n ?1 ? ? S n ? S n ?1 ? ? S n ? S n ?1 ? ? c n ? ( S n ? S n ?1 ) .
3 2 2

且 A B ? M G ∴四边形 ABMG 为平行四边形,∴BM//AG

∴BM//平面 ADEF---------6 分

因为 c n ? 0 ,所以 c n = S n ? S n ?1 ? 2 S n ? c n .
2

????10 分

显然 c1 ? 1 适合上式,所以当 n ? 2 时, c n ?1 ? 2 S n ?1 ? c n ?1 .
2

于是 c n ? c n ?1 ? 2( S n ? S n ?1 ) ? c n ? c n ?1 ? 2 c n ? c n ? c n ?1 ? c n ? c n ?1 .
2 2

因为 c n ? c n ?1 ? 0 ,则 c n ? c n ? 1 ? 1 , 所以数列 { c n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 所以
Sn S2n ? n ( n ? 1) 2 n ( 2 n ? 1) ? n ?1 4n ? 2

不为常数,故数列 { c n } 不是“科比数列”. ??13 分 ∴点 A

21.解:(1)? y ?

1 4

x ,? y ? ?
2

1 2

x ,? l 的斜率为 y ? ? 2 ? 1 ∴直线 l 的方程为 y ? x ? 1 x

坐标为 A(1,0)设 M(x、y),则 A B ? (1, 0 ), B M ? ( x ? 2, y ), A M ? ( x ? 1, y ) 由 AB ? BM ?
??? ???? ? ? ???? ? 2 | A M |? 0 得 x ? 2 ?

??? ?

???? ?

???? ?

2?

( x ? 1) ? y
2

2

? 0 整理得

x

2

? y ? 1 ------6 分
2

2

(2)由题意,设 l ? 的方程为 y ? k ( x ? 2 )( k ? 0 )
? y ? k ( x ? 2) 1 ? 2 2 2 2 2 由? x2 得 ( 2 k ? 1) x ? 8 k x ? 8 k ? 2 ? 0 由 ? ? 0 得 0 ? k ? 2 2 ? y ?1 ? ? 2
2 ? 8k x1 ? x 2 ? ? 2 ? 2k ? 1 设 E ( x1 , y1 ), F ( x 2 , y 2 ) ,则 ? ① 2 ? x ? x ? 8k ? 2 2 ? 1 2 2k ? 1 ? ??? ? ??? ? ? B E ? ? B F ,? x1 ? 2 ? ? ( x 2 ? 2 ) ②且 0 ? ? ? 1

由①知, ( x1 ? 2 ) ? ( x 2 ? 2 ) ?

?4 2k ? 1
2


2 2k ? 1
2

( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 ?

④由②③④知:
2

?

?
(1 ? ? )
2

?

2k ? 1
2

即k ?
2

4? (1 ? ? )
2

?

1 2

?0? k ?

1 2

,? 0 ?

4? (1 ? ? )
2

?

1 2

?

1 2

8

解得

3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 又0 ? ? ? 1

? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 --------------14 分