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南京市、盐城市高三二模数学试题及答案


南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试 数 学 2014.03 注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满 分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题 .. 纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. . 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 圆柱的侧面积公式:S 侧=2πRh,其中 R 为圆柱的底面半径,h 为圆柱的高. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1.函数 f(x)=lnx+ 1-x的定义域为 . .

2.已知复数 z1=-2+i,z2=a+2i(i 为虚数单位,a∈R).若 z1z2 为实数,则 a 的值为 3.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行 分析,随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1000 名学生 的成绩,并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率 分布直方图(如图),则成绩在[300,350)内的学生人数共 有 .
a 0.005 0.004 0.003 0.001

频率 组距

成绩/分
150 200 250 300 350 400 450

O

(第 3 题图)

4.盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号 码,则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 . .
S←1 开始 k←1

a1 5.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,且 a1,a3,a7 成等比数列,则 d 的值为 6.执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为 .

2 k←k+1 S←S+(k-1) 7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)错误!未找到引用源。的图象如下图

π 所示,则 f(3)的值为

y



2

S>6 Y 输出 k · 11π x 12 结束 (第 6 题图) (第 7 题图)

N

x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的 O π 两条渐近线与抛物线 y2=4x 的准线相交于 A,B 两点. 若△AOB 的面积为 2,则双曲线的离心率为 .
-2 6

9.表面积为 12π 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为

. .

2π → 1 → 1 → → → → → 10. 已知| OA |=1, | OB |=2, ∠AOB= 3 , OC =2 OA +4 OB , 则 OA 与 OC 的夹角大小为
1

11.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P(5,3)作直线 l 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,若 OA⊥OB,则直 线 l 的斜率为 .

12.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=x2,当 x>1 时,f(x+1)=f(x)+f(1),且. 若直线 y=kx 与函数 y=f(x)的图象恰有 5 个不同的公共点,则实数 k 的值为 . .

13. 在△ABC 中, 点 D 在边 BC 上, 且 DC=2BD, AB∶AD∶AC=3∶k∶1, 则实数 k 的取值范围为

14.设函数 f(x)=ax+sinx+cosx.若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A,B,使得曲线 y=f(x)在点 A,B 处的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围为 .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAB⊥平面 ABCD,PA⊥PB, BP=BC,E 为 PC 的中点. (1)求证:AP∥平面 BDE; (2)求证:BE⊥平面 PAC.
E A D P

B

C (第 15 题图)

16.(本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,终边与单位圆 O 交 π π π 于点 A(x1 ,y1 ),α∈(4,2).将角 α 终边绕原点按逆时针方向旋转4,交单位圆于点 B(x2,y2).
y

3 (1)若 x1=5,求 x2; (2)过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C,D,记△AOC 及 4 △BOD 的面积分别为 S1,S2,且 S1=3S2,求 tanα 的值. 17.(本小题满分 14 分)

B

A

D O

C

x

(第 16 题图)

如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P, 分别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A),要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使 得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
C P N

A

M (第 17 题图)

B

2

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C∶a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2, 一条准线方程为 x=2.P 为椭圆 C 上一点,直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 的坐标为(0,b),求过 P,Q,F2 三点的圆的方程; 1 → → → → (3)若 F1P =λ QF1 ,且 λ∈[2,2],求 OP · OQ 的最大值. 19.(本小题满分 16 分) ax+b 已知函数 f(x)= x ex,a,b∈R,且 a>0. (1)若 a=2,b=1,求函数 f(x)的极值; (2)设 g(x)=a(x-1)ex-f(x). ① 当 a=1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)≥1 成立,求 b 的最大值; b ② 设 g′(x)为 g(x)的导函数.若存在 x>1,使 g(x)+g′(x)=0 成立,求a的取值范围. 20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的各项都为正数,且对任意 n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列, a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列. (1)若 a2=1,a5=3,求 a1 的值; an+1 a2 (2)设 a1<a2,求证:对任意 n∈N*,且 n≥2,都有 a <a . n 1 南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试 数学附加题 2014.03 注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答 . 题纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. .. ....... 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域 . 内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,△ABC 为圆的内接三角形,AB=AC,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F. A E (1)求证:四边形 ACBE 为平行四边形; (2)若 AE=6,BD=5,求线段 CF 的长.
B F C

D

B.选修 4—2:矩阵与变换
3

第 21 题 A 图

已知矩阵 A=?

2? ? 1 a? . ?的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量为 α=? ?1? ? -1 b ?

(1)求矩阵 A; ? x ?=? a ?,求 x,y 的值. (2)若 A ?y? ?b? C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 在极坐标系中,求曲线?=2cosθ 关于直线 θ=4(?∈R)对称的曲线的极坐标方程. D.选修 4—5:不等式选讲 1 1 已知 x,y∈R,且|x+y|≤6,|x-y|≤4,求证:|x+5y|≤1.

........ 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某中学有 4 位学生申请 A,B,C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学,且申请其 中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有 2 人申请 A 大学的概率; (2)求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X). 23. (本小题满分 10 分) 设 f(n)是定义在 N*上的增函数,f(4)=5,且满足: ①任意 n∈N*,f(n)∈Z;②任意 m,n∈N*,有 f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1). (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)求 f(n)的表达式.

南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试
4



学 答



2014.03

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.(0,1] 8. 5 2.4 1 9.2 3.300 10.60° 5 4.9 7 11.1 或23 5.2 12.2 2-2 6.4 5 7 13.(3,3) 7.1 14.[-1,1]

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAB⊥平面 ABCD,PA⊥PB, BP=BC,E 为 PC 的中点. (1)求证:AP∥平面 BDE; (2)求证:BE⊥平面 PAC. 15.证: (1)设 AC∩BD=O,连结 OE.
B C (第 15 题图) E A D P

因为 ABCD 为矩形,所以 O 是 AC 的中点. 因为 E 是 PC 中点,所以 OE∥AP. 因为 AP? / 平面 BDE,OE?平面 BDE, 所以 AP∥平面 BDE.

????????????????4 分

????????????????6 分

(2)因为平面 PAB⊥平面 ABCD,BC⊥AB,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 PAB. 因为 AP?平面 PAB,所以 BC⊥PA. 因为 PB⊥PA,BC∩PB=B,BC,PB?平面 PBC, 所以 PA⊥平面 PBC. 因为 BE?平面 PBC,所以 PA⊥BE. 因为 BP=PC,且 E 为 PC 中点,所以 BE⊥PC. 因为 PA∩PC=P,PA,PC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. ????????????????14 分 ????????????????12 分 ???????????????8 分

5

16.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的顶点是坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,终边与单位圆 O 交 π π π 于点 A(x1 ,y1 ),α∈(4,2).将角 α 终边绕原点按逆时针方向旋转4,交单位圆于点 B(x2,y2). 3 (1)若 x1=5,求 x2; (2)过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C,D,记△AOC 及 4 △BOD 的面积分别为 S1,S2,且 S1=3S2,求 tanα 的值. 3 16.解: (1)解法一:因为 x1=5,y1>0,所以 y1= 4 3 所以 sinα=5,cosα=5. 4 1-x2 1= . 5
(第 16 题图) D O C y B A

x

?????????2 分

π π π 2 所以 x2=cos(α+4)=cosαcos4-sinαsin4=- 10 . 3 解法二:因为 x1=5,y1>0,所以 y1= → OB=(x2,y2),

?????????????6 分

4 3 4 → 3 4 1-x2 1 = .A( , ),则OA=( , ),????2 分 5 5 5 5 5

3 4 2 → → → → 因为OA·OB=|OA||OB|cos∠AOB,所以5x2+5y2= 2 ??4 分

又 x22+y22=1,联立消去 y2 得 50 x22-30 2x2-7=0 2 7 2 2 解得 x2=- 10 或 10 ,又 x2<0,所以 x2=- 10 . 3 解法三:因为 x1=5,y1>0,所以 y1= 4 1-x2 1= . 5 ?????????6 分

3 4 4 因此 A(5,5),所以 tanα=3.???2 分 ?????4 分

π 1+tanα 所以 tan(α+4)= =-7,所以直线 OB 的方程为 y=-7x 1-tanα
?y=-7x, 2 2 由? 2 2 得 x=± 10 ,又 x2<0,所以 x2=- 10 . ?x +y =1.

???????6 分

1 1 (2)S1=2sinαcosα=-4sin2α. π π π π 3π 因为 α∈(4,2),所以 α+4∈(2, 4 ).

????????????????8 分

1 π π 1 π 1 所以 S2=-2sin(α+4)cos(α+4)=-4sin(2α+2)=-4cos2α.???????????10 分 4 4 4 因为 S1=3S2,所以 sin2α=-3cos2α,即 tan2α=-3. ?????????????12 分

2tanα 4 1 π π 所以 =-3,解得 tanα=2 或 tanα=-2. 因为 α∈(4,2),所以 tanα=2.???14 分 1-tan2α

6

17.(本小题满分 14 分) 如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P, 分别在两条公路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A),要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使 得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
C P N

A (第 17 题图)

M

B

MN AM 解法一:设∠AMN=θ,在△AMN 中,sin60°= . sin(120°-θ) 4 3 因为 MN=2,所以 AM= 3 sin(120°-θ) . 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60°+θ). AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP 16 4 3 = 3 sin2(120°-θ)+4-2×2× 3 sin(120°-θ) cos(60°+θ) 16 16 3 = 3 sin2(θ+60°)- 3 sin(θ+60°) cos(θ+60°)+4 8 8 3 =3[1-cos (2θ+120°)]- 3 sin(2θ+120°)+4 8 20 =-3[ 3sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+ 3 20 16 = 3 - 3 sin(2θ+150°),θ∈(0,120°). ????????????????12 分 ????????????8 分 ???????????????2 分 ????????????????6 分

当且仅当 2θ+150°=270°,即 θ=60°时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 答:设计∠AMN 为 60?时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.??????????????14 分 解法二(构造直角三角形): 设∠PMD=θ,在△PMD 中, ∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ. ?????2 分
N C P

MN AM 在△AMN 中,∠ANM=∠PMD=θ,∴sin60°=sinθ,

A

M

4 3 4 3 π AM= 3 sinθ,∴AD= 3 sinθ+2cosθ,(θ≥2时,结论也正确).?????6 分 第 17 题图 4 3 AP2=AD2+PD2=( 3 sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2 16 8 3 = 3 sin2θ+ 3 sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ
7

D

B

??????????8 分

16 1-cos2θ 4 3 4 3 8 20 =3· + 3 sin2θ+4= 3 sin2θ-3cos2θ+ 3 2 20 16 π 2π = 3 + 3 sin(2θ-6),θ∈(0, 3 ). ??????????12 分

π π π 当且仅当 2θ-6=2,即 θ=3时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 此时 AM=AN=2,∠PAB=30° 解法三:设 AM=x,AN=y,∠AMN=α. 在△AMN 中,因为 MN=2,∠MAN=60°, 所以 MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN, 即 x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4. MN AN 2 y 因为sin60°=sinα,即sin60°=sinα, x2+4-y2 x2+(x2-xy) 2x-y 3 所以 sinα= 4 y,cosα= = = 4 . 4x 2×2×x 分 1 3 1 2x-y 3 3 x-2y cos∠AMP=cos(α+60°)=2cosα- 2 sinα=2· 4 - 2 · 4 y= 4 .???????????8 分 在△AMP 中,AP2=AM2+PM2-2 AM·PM·cos∠AMP, x-2y 即 AP2=x2+4-2×2×x× 4 =x2+4-x(x-2y)=4+2xy.???????????????12 分 因为 x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即 xy≤4. 所以 AP2≤12,即 AP≤2 3. 当且仅当 x=y=2 时,AP 取得最大值 2 3. 答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.????????????14 分 解法四(坐标法):以 AB 所在的直线为 x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系. 设 M(x1,0),N(x2, 3x2),P(x0,y0).∵MN=2, 2 ∴(x1-x2)2+3x2=4. x1+x2 3 MN 的中点 K( 2 , 2 x2). ∵△MNP 为正三角形,且 MN=2.∴PK= 3,PK⊥MN. x1+x2 3 ∴PK2=(x0- 2 )2+(y0- 2 x2)2=3, ????????????????2 分 ????????????????6 ????????????????2 分 ??????????14 分

8

3 y0- 2 x2 3x2 kMN·kPK=-1,即 · =-1, x2-x1 x1+x2 x0- 2

????????????????6 分

x1-x2 x1+x2 x1+x2 3 3 2 (x1-x2)2 ∴y0- 2 x2= (x0- 2 ),∴(y0- 2 x2) = (x0- 2 )2 2 3x2 3x2 (x1-x2)2 x1+x2 2 x1+x2 2 x1+x2 2 9 2 4 ∴(1+ )( x ) = 3 ,即 ( x ) = 3 ,∴ ( x 0- 0- 0- 2 2 2 2 ) =4x2. 3x2 3 x 2 2 x1+x2 ∵x0- 2 >0 x1+x2 3 ∴x0- 2 =2x2, ????????????????8 分

1 3 ∴x0=2x1+2x2,∴y0= 2 x1. 2 2 2 1 3 2 2 ∴AP2=x0+y0=(2x2+2x1)2+4x1=x1+4x2+2x1x2 =4+4x1x2≤4+4×2=12, 即 AP≤2 3.

????????????????12 分

答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.??????????14 分 解法五(变换法):以 AB 所在的直线为 x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系. 设 M(x1,0),N(x2, 3x2),P(x0,y0). 2 2 2 ∵MN=2,∴(x1-x2)2+3x2=4.即 x1+4x2=4+2x1x2 ∴4+2x1x2≥4x1x2,即 x1x2≤2. ???????4 分 y C P N

∵△MNP 为正三角形,且 MN=2.∴PK= 3,PK⊥MN. → → MN顺时针方向旋转 60°后得到MP. → → MP=(x0-x1,y0),MN=(x2-x1, 3x2). A M B

x

? 1 ? 2 ∴ ?- 3 ? 2

3 x2-x1 ? 2 ? ? ? 1 2

? ? ?? ??

? x0-x1 ? ,即 ? ? y0 ? ? 3x2 ?
=?

1 3 3 3 x0-x1=2(x2-x1)+2x2,y0=- 2 (x2-x1)+ 2 x2. 1 3 ∴x0=2x2+2x1,y0= 2 x1. ????????????????8 分 2 2 2 1 3 2 2 ∴AP2=x0+y0=(2x2+2x1)2+4x1=x1+4x2+2x1x2 =4+4x1x2≤4+4×2=12,
9

????????????????12 分

即 AP≤2 3. 答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.??????????14 分 解法六(几何法):由运动的相对性,可使△PMN 不动,点 A 在运动. 由于∠MAN=60°,∴点 A 在以 MN 为弦的一段圆弧(优弧)上,????4 分 设圆弧所在的圆的圆心为 F,半径为 R, 由图形的几何性质知:AP 的最大值为 PF+R. MN 在△AMN 中,由正弦定理知:sin60°=2R, ∴R= 2 , 3 ????8 分 F A ????10 分 2 ,又 PM=PN,∴PF 是线段 MN 的垂直平分线. 3 M B N E C P

∴FM=FN=R=

1 设 PF 与 MN 交于 E,则 FE2=FM2-ME2=R2-12=3. 3 即 FE= 3 ,又 PE= 3. ∴PF= 4 ,∴AP 的最大值为 PF+R=2 3. 3 ???????????12

答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.??????????14 分 18. (本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C∶a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2, 一条准线方程为 x=2.P 为椭圆 C 上一点,直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 的坐标为(0,b),求过 P,Q,F2 三点的圆的方程; 1 → → → → (3)若 F1P =λ QF1 ,且 λ∈[2,2],求 OP · OQ 的最大值. =2, ? ?2c 2 (1)解:由题意得?a 解得 c=1,a2=2,所以 b2=a2-c2=1. = 2 , ? ?c x2 所以椭圆的方程为 2 +y2=1. ????????????????2 分

(2)因为 P(0,1),F1(-1,0),所以 PF1 的方程为 x-y+1=0. y+1=0, x=-3, ?x+ ? ?x=0, ? 4 1 2 x ? 由? 解得 或? 2 1 所以点 Q 的坐标为(-3,-3). ????????4 分 y = 1 , + y = 1 , ? ? ?2 ?y=-3, 4 解法一:因为 kPF1· kPF2=-1,所以△PQF2 为直角三角形.
10

????????6 分

1 1 5 2 因为 QF2 的中点为(-6,-6),QF2= 3 , 1 1 25 所以圆的方程为(x+6)2+(y+6)2=18. 解法二:设过 P,Q,F2 三点的圆为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, +E+F=0, ?1 1+D+F=0, 则? 17 4 1 - D - ? 9 3 3E+F=0, ????????8 分

? ? 1 解得?E=3, ? ?F=-4 3.
1 D=3, ????????????????8 分

1 1 4 所以圆的方程为 x2+y2+3x+3y-3=0.

→ → (3)解法一:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则F1P=(x1+1,y1),QF1=(-1-x2,-y2).
?x1+1=λ(-1-x2), ?x1=-1-λ-λx2, → → 因为F1P=λQF1,所以? 即? ?y1=-λy2, ?y1=-λy2,

(-1-λ-λx2)2 2 2 +λ y2=1, 2 1-3λ 所以 2 解得 x2= 2λ . x2 2 2 +y2=1,

? ? ? ? ?

????????????????12 分

2 λ → → 所以 OP ·OQ=x1x2+y1y2=x2(-1-λ-λx2)-λy2=-2x22-(1+λ)x2-λ 1-3λ λ 1-3λ 7 5 1 =-2( 2λ )2-(1+λ)· 2λ -λ=4-8(λ+λ) . 1 1 因为 λ∈[2,2],所以 λ+λ≥2 ????????????????14 分

1 1 λ·λ=2,当且仅当 λ=λ,即 λ=1 时,取等号. ????????????????16 分

1 → → 1 → → 所以 OP ·OQ≤2,即 OP ·OQ最大值为2. 解法二:当 PQ 斜率不存在时, x2 2 在 2 +y2=1 中,令 x=-1 得 y=± 2 . 所以 OP ? OQ ? ?1? (?1) ?

??? ? ????

2 2 1 1 ? ? (? ) ? ,此时 ? ? 1? ? , 2 ??????????2 ? 2 2 2 ?2 ? ?

当 PQ 斜率存在时,设为 k,则 PQ 的方程是 y=k(x+1), =k(x+1), ? ?y2 由?x 得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0, 2 + y = 1 . ?2 ? 韦达定理

?4k 2 2k 2 ? 2 x1 ? x2 = ,x1 x2 = ???????????????4 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

设 P(x1,y1),Q(x2,y2) ,

11

则 OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)

??? ? ??? ?

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2 ? (k 2 ? 1)
2 2k 2 ? 2 2 ?4k ? k ? k2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

k2 ? 2 ? ??????????????? 6分 1 ? 2k 2 1 5 1 ? ? ? 。 2 2 2(1 ? 2k ) 2

? ? ?? ? ? ?? 1 ?1 ? 的最大值为2,此时 ? ? 1? ? , 2 ? O P? O Q ?2 ?

????????????8

19.(本小题满分 16 分) ax+b 已知函数 f(x)= x ex,a,b∈R,且 a>0. (1)若 a=2,b=1,求函数 f(x)的极值; (2)设 g(x)=a(x-1)ex-f(x). ① 当 a=1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)≥1 成立,求 b 的最大值; b ② 设 g′(x)为 g(x)的导函数.若存在 x>1,使 g(x)+g′(x)=0 成立,求a的取值范围. 1 解: (1)当 a=2,b=1 时,f (x)=(2+x )ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (x+1)(2x-1) x 所以 f ′(x)= e. x2 1 令 f ′(x)=0,得 x1=-1,x2=2,列表 (- x ∞,-1) f ′(x) f (x) -1 (-1,0) 1 (0, 2) - ↘ 值 1 2 1 (2, +∞) ????????????????2 分

?


0


- ↘

0
极小

?


大值

1 - 由表知 f (x)的极大值是 f (-1)=e 1,f (x)的极小值是 f (2)=4 e.??????????????4 分 b (2)① 因为 g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax-x -2a)ex, b 当 a=1 时,g (x)=(x-x -2)ex.
12

因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, x 所以 b≤x2-2x-ex在 x∈(0,+∞)上恒成立. (x-1)(2ex+1) x 记 h(x)=x2-2x-ex(x>0) ,则 h′(x)= . ex 当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数. 所以 h(x)min=h(1)=-1-e 1. 所以 b 的最大值为-1-e 1. b 解法二:因为 g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax-x -2a)ex, b 当 a=1 时,g (x)=(x-x -2)ex. 因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, b 所以 g(2)=-2e2>0,因此 b<0. (x-1)(x2-b)ex b b g′(x)=(1+x2)ex+(x-x -2)ex= . x2 因为 b<0,所以:当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是增函数. 所以 g(x)min=g(1)=(-1-b)e
-1 - -

????????????????8 分

????????????????10 分

????????????????6 分

????????????????8 分

因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, 所以(-1-b)e 1≥1,解得 b≤-1-e 因此 b 的最大值为-1-e 1.
- - -1

????????????????10 分

b b b ②解法一:因为 g (x)=(ax- x -2a)ex,所以 g ′(x)=(x2+ax- x -a)ex. b b b 由 g (x)+g ′(x)=0,得(ax- x -2a)ex+(x2+ax-x -a)ex=0, 整理得 2ax3-3ax2-2bx+b=0. 存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立, 等价于存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立. b 2x3-3x2 因为 a>0,所以a= . 2x-1 2x3-3x2 设 u(x)= (x>1) ,则 u′(x)= 2x-1 3 3 8x[(x-4)2+16] . (2x-1)2 ????????????????12 分

因为 x>1,u′(x)>0 恒成立,所以 u(x)在(1,+∞)是增函数,所以 u(x)>u(1)=-1,

13

b b 所以a>-1,即a的取值范围为(-1,+∞) . 分

????????????????16

b b b 解法二:因为 g (x)=(ax-x -2a)ex,所以 g ′(x)=(x2+ax- x -a)ex. b b b 由 g (x)+g ′(x)=0,得(ax- x -2a)ex+(x2+ax-x -a)ex=0, 整理得 2ax3-3ax2-2bx+b=0. 存在 x>1,使 g (x)+g ′(x)=0 成立, 等价于存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立. 设 u(x)=2ax3-3ax2-2bx+b(x≥1) u′(x)=6ax2-6ax-2b=6ax(x-1)-2b≥-2b 当 b≤0 时,u′(x) ≥0 此时 u(x)在[1,+∞)上单调递增,因此 u(x)≥u(1)=-a-b 因为存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立 b 所以只要-a-b<0 即可,此时-1<a≤0 当 b>0 时, 3a+ 9a2+16ab 3a+ 9a2 3 令 x0= > =2>1,得 u(x0)=b>0, 4a 4a 又 u(1)=-a-b<0 于是 u(x)=0,在(1,x0)上必有零点 b 即存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立,此时a>0 ????????????????15 分 b 综上有a的取值范围为(-1,+∞) . ????????????????16 分 ????????????????13 分 ????????????????12 分

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的各项都为正数,且对任意 n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列, a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列. (1)若 a2=1,a5=3,求 a1 的值; an+1 a2 (2)设 a1<a2,求证:对任意 n∈N*,且 n≥2,都有 a <a . n 1 解: (1)解法一:因为 a3,a4,a5 成等差数列,设公差为 d,则 a3=3-2d,a4=3-d. 2 a2 (3-2d) 因为 a2,a3,a4 成等比数列,所以 a2= a4 = 3-d . ??????3 分 2 (3-2d) 3 3 因为 a2=1,所以 3-d =1,解得 d=2,或 d=4.因为 an>0,所以 d=4. 1 因为 a1,a2,a3 成等差数列,所以 a1=2a2-a3=2-(3-2d)=2.?????5 分 解法二:因为 a1,a2,a3 成等差数列,a2,a3,a4 成等比数列,a3,a4,a5 成等差数列,
3

14

?2 ? a1 ? a3 ? 2 则 ?a 3 ? a 4 ,?????3 分 ?2 a ? a ? 3 3 ? 4 3 3 1 2 则 2a3 ? a3 ? 3 ,解得 a 3 ? 或 a3 ? ?1 (舍) ,所以 a1 ? 2 ? ? 。???5 分 2 2 2 解法三:因为 a1,a2,a3 成等差数列,则 a3 ? 2 ? a1 ,
因为 a2,a3,a4 成等比数列,则 a4 ? (2 ? a1 ) 2 ??????3 分 因为 a3,a4,a5 成等差数列,则 2a4 ? a3 ? a5 ,则 2(2 ? a1 ) 2 ? 2 ? a1 ? 3 解得: a1 ? 3 或 a1 ?

1 1 ;当 a1 ? 3 时, a3 ? ?1 (与 an ? 0 矛盾,故舍去),所以 a1 ? . 2 2

???5 分(注:没有舍去一解,扣 1 分) (2)证法一:因为 a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列, 所以 2a =a +a ,① a 2 =a a .②;所以 a 2 =a a ,n≥2.③
2n 2n-1 2n+1 2n+1 2n 2n+2 2n-1 2n-2 2n

所以 a2n-2a2n + a2na2n+2=2a2n. 因为 an>0,所以 a2n-2 + a2n+2=2 a2n . ????7 分 即数列{ a2n }是等差数列. 所以 a2n = a2 +(n-1)( a4- a2). 由 a1,a2 及 a2n-1,a2n,a2n+1 是等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2 是等比数列, (2a2-a1)2 可得 a4= .??????8 分 a2 (a2-a1)n+a1 所以 a2n = a2 +(n-1)( a4- a2)= . a2 [(a2-a1)n+a1]2 所以 a2n= .????????10 分 a2 [(a2-a1)(n+1)+a1]2 所以 a2n+2= . a2 [(a2-a1)n+a1][(a2-a1)(n+1)+a1] 从而 a2n+1= a2na2n+2= . a2 [(a2-a1)(n-1)+a1][(a2-a1)n+a1] 所以 a2n-1= .??????12 分 a2 ①当 n=2m,m∈N*时, [(a2-a1)m+a1][(a2-a1)(m+1)+a1] a2 an+1 a2 a2 (a2-a1)(m+1)+a1 a2 -a = -a 2 an -a1= [(a2-a1)m+a1] (a2-a1)m+a1 1 1 a2 m(a1-a2)2 =- <0. ?????14 分 a1[(a2-a1)m+a1] ②当 n=2m-1,m∈N*,m≥2 时, [(a2-a1)m+a1]2 a2 an+1 a2 (a2-a1)m+a1 a2 a2 - = an a1 [(a2-a1)(m-1)+a1][(a2-a1)m+a1]-a1=(a2-a1)(m-1)+a1-a1 a2 2 (m-1)(a1-a2) =- <0. a1[(a2-a1)(m-1)+a1] an+1 a2 综上,对一切 n∈N*,n≥2,有 a <a . ??????16 分 n 1 证法二:①若 n 为奇数且 n≥3 时,则 an,an+1,an+2 成等差数列.
15

an+2 an+1 an+2an-a2n+1 (2an+1-an)an-a2n+1 (an+1-an)2 因为 - a = = =- ≤0, an+1 an+1an an+1an an+1an n an+2 an+1 所以 ≤ .??????9 分 an+1 an an+2 an+1 ②若 n 为偶数且 n≥2 时,则 an,an+1,an+2 成等比数列,所以 = .???11 分 an+1 an an+2 an+1 a3 由①②可知,对任意 n≥2,n∈N*, ≤ ≤?≤a .???13 分 an+1 an 2 2 2 (a1-a2)2 a3 a2 2a2-a1 a2 2a2a1-a1 -a2 又因为a -a = a -a = =- a a , a2a1 2 1 2 1 2 1 2 (a1-a2) a3 a2 因为 a1<a2,所以- a a <0,即a <a .???15 分 2 1 2 1 an+1 a2 综上, a <a .????16 分. n 1

16

南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试 数学附加题 2014.03 注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答 . 题纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. .. ....... 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域 . 内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,△ABC 为圆的内接三角形,AB=AC,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F. A E (1)求证:四边形 ACBE 为平行四边形; (2)若 AE=6,BD=5,求线段 CF 的长.
B F C

A.选修 4—1:几何证明选讲 解: (1)因为 AE 与圆相切于点 A,所以∠BAE=∠ACB. D 因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB. 第 21 题 A 图 所以∠ABC=∠BAE. 所以 AE∥BC.因为 BD∥AC,所以四边形 ACBE 为平行四边形.?????????????4 分 (2)因为 AE 与圆相切于点 A,所以 AE2=EB· (EB+BD),即 62=EB· (EB+5),解得 BE=4. 根据(1)有 AC=BE=4,BC=AE=6. AC CF 4 x 8 8 设 CF=x,由 BD∥AC,得BD=BF,即5= ,解得 x=3,即 CF=3.?????????10 分 6-x B.选修 4—2:矩阵与变换 2? ? 1 a? 已知矩阵 A=? . ?的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量为 α=? ? 1? ? -1 b ? (1)求矩阵 A; ? x ?=? a ?,求 x,y 的值. (2)若 A ?y? ?b? ?2+a=4, ? 1 a? ?2? ?2? 解: (1)由题意,得? ? ? 1 ?=2? 1 ?,即?-2+b=2, ? ? -1 b ? 解得 a=2,b=4. ? 1 2? 所以 A=? ???????????????5 分 ?. ? -1 4 ? 1 2? ?x? ?2? ? x ?=? a ?,即? (2)解法一:A = , ? ? ?y? ?b? ? -1 4 ? ? y ? ? 4 ? ?x+2y=2, 所以? ???????????????8 分 ?-x+4y=4, ?x=0, 解得? ???????????????10 分 ?y=1. 2 1 - 3 3 ? 1 2? 解法二:因为 A=? ???????????????7 分 ?,所以 A-1= 1 1 . ? -1 4 ? 6 6

? ? ?

? ? ?

17

? x ?=? a ?,所以? x ?=A-1 因为 A ?y? ?b? ?y?
?x=0, 所以? ?y=1.

? ? a ?= 3 ?b? ? 1 ?6
2

1 -3 1 6

? ?2? ?0? ? ? 4 ?=? 1 ?. ?
???????????????10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 在极坐标系中,求曲线?=2cosθ 关于直线 θ=4(?∈R)对称的曲线的极坐标方程. 解法一:以极点为坐标原点,极轴为 x 轴建立直角坐标系, 则曲线 ?=2cosθ 的直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1,且圆心 C 为(1,0).?????????4 分 π 直线 θ=4的直角坐标方程为 y=x, 因为圆心 C(1,0)关于 y=x 的对称点为(0,1), 所以圆心 C 关于 y=x 的对称曲线为 x2+(y-1)2=1. ???????????????8 分

π 所以曲线 ?=2cosθ 关于直线 θ=4(?R)对称的曲线的极坐标方程为 ?=2sinθ.???????10 分 π 解法二:设曲线 ?=2cosθ 上任意一点为(?′,θ′),其关于直线 θ=4对称点为(?,θ),

? ??′=?, π 则? ?θ′=2kπ + 2 -θ. ?

???????????????6 分

π 将(?′,θ′)代入 ?=2cosθ,得 ?=2cos( 2 -θ),即 ?=2sinθ. π 所以曲线 ?=2cosθ 关于直线 θ=4(?∈R)对称的曲线的极坐标方程为 ?=2sinθ.???????10 分

D.选修 4—5:不等式选讲 1 1 已知 x,y∈R,且|x+y|≤6,|x-y|≤4,求证:|x+5y|≤1. 证: 因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|. 分 由绝对值不等式性质,得 |x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)| 1 1 =3|x+y|+2|x-y|≤3×6+2×4=1. 即|x+5y|≤1. 分 ???????????????10 ???????????????5

18

........ 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某中学有 4 位学生申请 A,B,C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学,且申请其 中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有 2 人申请 A 大学的概率; (2)求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X). 22. (本小题满分 10 分) 解(1)记“恰有 2 人申请 A 大学”为事件 A, C42×22 24 8 P(A)= 34 =81=27. 8 答:恰有 2 人申请 A 大学的概率为27. (2)X 的所有可能值为 1,2,3. 3 1 P(X=1)=34=27, C43×A32+3×A32 42 14 P(X=2)= =81=27, 34 C42×A33 36 4 P(X=3)= 34 =81=9. X 的概率分布列为: X P 1 1 27 2 14 27 3 4 9 ???????????????10 分 ???????????????4 分

1 14 4 65 所以 X 的数学期望 E(X)=1×27+2×27+3×9=27. 23. (本小题满分 10 分) 设 f(n)是定义在 N*上的增函数,f(4)=5,且满足:

①任意 n∈N*,f(n)∈Z;②任意 m,n∈N*,有 f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1). (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)求 f(n)的表达式. 23.解: (1)因为 f(1)f(4)=f(4)+f(4),所以 5 f(1)=10,则 f(1)=2.??????????????1 分 因为 f(n)是单调增函数, 所以 2=f(1)<f(2)<f(3)<f(4)=5. 因为 f(n)∈Z,所以 f(2)=3,f(3)=4.
19

???????????????3 分

(2)解:由(1)可猜想 f (n)=n+1. 证明:因为 f (n)单调递增,所以 f (n+1)>f (n),又 f(n)∈Z, 所以 f (n+1)≥f (n)+1. 首先证明:f (n)≥n+1. 因为 f (1)=2,所以 n=1 时,命题成立. 假设 n=k(k≥1)时命题成立,即 f(k)≥k+1. 则 f(k+1)≥f (k)+1≥k+2,即 n=k+1 时,命题也成立. 综上,f (n)≥n+1. ???????????????5 分

由已知可得 f (2)f (n)=f (2n)+f (n+1),而 f(2)=3,f (2n)≥2n+1, 所以 3 f (n)≥f (n+1)+2n+1,即 f(n+1)≤3 f (n)-2n-1. 下面证明:f (n)=n+1. 因为 f (1)=2,所以 n=1 时,命题成立. 假设 n=k(k≥1)时命题成立,即 f(k)=k+1, 则 f(k+1)≤3f (k)-2k-1=3(k+1)-2k-1=k+2, 又 f(k+1)≥k+2,所以 f(k+1)=k+2. 即 n=k+1 时,命题也成立. 所以 f (n)=n+1 ???????????????10 分

解法二:由 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,猜想 f(n)=n+1. 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1,2,3,4 时,命题成立. ②假设当 n≤k (k≥4)时,命题成立,下面讨论 n=k+1 的情形. k+1 k+3 若 k 为奇数,则 k+1 为偶数,且 2 ≤k, 2 ≤k. k+1 k+1 k+3 k+3 k+3 k+5 根据归纳假设知 f( 2 )= 2 +1= 2 ,f( 2 )= 2 +1= 2 . k+1 k+1 k+3 因为 f(2) f( 2 )=f(k+1)+f( 2 +2-1)=f(k+1)+f( 2 ), k+3 k+5 所以 3· 2 =(k+1)+ 2 ,即(k+1)=k+2. k+2 k+4 若 k 为偶数,则 k+2,k+4 为偶数,且 2 ≤k, 2 ≤k. k+2 k+2 k+4 k+4 k+4 k+6 根据归纳假设知 f( 2 )= 2 +1= 2 ,f( 2 )= 2 +1= 2 . k+2 k+2 k+4 因为 f(2) f( 2 )=f(k+2)+f( 2 +2-1)=f(k+2)+f( 2 ),
20

k+4 k+6 所以 3· 2 =f(k+2)+ 2 ,即 f(k+2)=k+3. 又 k+1=f(k)<f(k+1)<f(k+2)=k+3. 所以 f(k+1)=k+2 因此不论 k 的奇偶性如何,总有 f(k+1)=k+2,即 n=k+1 时,命题也成立 于是对一切 n∈N*,f(n)=n+1. 解法三:因为 f (n)单调递增,所以 f (n+1)>f (n),又 f(n)∈Z, 所以 f (n+1)≥f (n)+1,又 f(1)=2,所以 f (n)≥n+1 由已知可得:f (2)f (n)=f (2n)+f (n+1) 而 f(2)=3,f (2n)≥2n+1 所以 3 f (n)≥f (n+1)+2n+1,即:f(n+1)≤3 f (n)-2n-1 或者 f(n+1)-n-2≤3(f (n)-n-1) 所以有 f(n+1)-n-2≤3(f (n)-n-1) ≤32(f (n-1)-n) ≤33(f (n-2)-n+1) ?? n ≤3 (f (1)-2)=0 于是 f(n+1)≤n+2 又 f (n+1)≥n+2 所以 f(n+1)=n+2,又 f(1)=2 所以 f(n)=n+1

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