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不等式的性质及解法(重点)

不等式的性质及解法(重点)
适用学科 高中数学 适用区域 全国新课标 知识点
1.不等关系 3.常见的不等式

适用年级 课时时长(分钟)
2.不等式的性质 4.常见不等式的解法

高中三年级 60

教学目标 1.总结不等式的基本性质
2.能够运用不等式的基本性质解决有关问题 3.理解基本不等式的意义、证明和几何意义,能够运用基本不等式解决一些应用问题

教学重点 常见不等式的运用 教学难点 对于不等式解法的运用和掌握

教学过程
一.课程导入: 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的; 比较 4 个直角三角形的面积和与大正方形的面积,有什么结论?

二、复习预习
通过比较数字的大小来引申出不等关系,通过这种关系我们知道不等关系成立的条件,进而我们学习过直 角三角形三边的关系得到均值不等式,为我们答题做了很好的铺垫

三、知识讲解 考点 1、不等式的基本性质
①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a (异向可减性) a ④(可积性) a
? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d

? b ,c ? 0 ? ac ? bc

a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc

⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b
c d

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ?
n

a ? n b (n ? N , 且n ? 1)

⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ?

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

考点 2、几个重要不等式
① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号). ②(基本不等式) 变形公式:
a ? b? 2
a?b ? ab 2
?

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
2

ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③(三个正数的算术—几何平均不等式) ④ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). 3

b a a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? a a?m b?n b

⑥ 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号)

其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, x ?a?x
2

? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.

⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

考点 3、常见不等式的解法
1.一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:

一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 2、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等

式的解集. 3、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0
“? 或 ?” ( 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 4、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴ f ( x) ? a(a ? 0) ? ?
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? a
2

⑵ f ( x) ? a(a ? 0) ? ? ⑶

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? a
2

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ?



? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?



四、例题精析
考点一
不等式的性质

【例题 1】 【题干】 已知三个不等式: ①ab>0 ②bc>ad 则可以组成多少个正确的命题?并写出这些命题 ③ > ,以其中两个作为条件, 余下一个作为结论,
c a d b

【答案】见解析 【解析】可以组成下列 3 个命题 命题一:若 ab>0, > , 则 bc>ad 命题二:若 ab>0,bc>ad 则 > , 命题三:若 > , bc>ad
c a d b c a d b c a d b

则 ab>0

由不等式的性质得知这三个命题均为真命题

考点二

含绝对值不等式的解法

【例题 2】 【题干】如果不等式 A. B. 和不等式 C. D. 有相同的解集,则

【答案】C 【解析】由不等式 可知 ,两边平方得 ,选 C ,整理得 ,即

.又两不等式的解集相同,所以可得

考点三

一元二次不等式的解法

【例题 3】 【题干】解不等式 x 2 ? 5 x ? 6 ? x 2 ? 4

【答案】见解析 【解析】当 x 2 ? 4 ? 0 即 x ? ?2或x ? 2 时,有
? 1 ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 ? x ? 或x ? 2 ? ( x ? 4) ? x ? 5x ? 6 ? x ? 4 ? ? ?? 2 ?? 5x ? 10 ? 0 ? ?x ? 2
2 2 2

综上所述,原不等式的解集为 {x x ? 2}

考点四

含参数不等式的问题

【例题 4】
2 x 2 ? 2kx ? k ? 1 对于 x 取任何实数均成立,求 k 的取值范围 【题干】若不等式 2 4x ? 6x ? 3

【答案】 (1,3) 【解析】∵
?
2 2 x 2 ? 2kx ? k ? 2 x ? 2kx ? k ? 1 ? 0 ? 1 4x 2 ? 6x ? 3 4x 2 ? 6x ? 3

2 x 2 ? 2(k ? 3) x ? 3 ? k ?0 4x 2 ? 6x ? 3

? 2x 2 ? 2(k ? 3) x ? 3 ? k ? 0 (∵4x2+6x+3 恒正),

∴原不等式对 x 取任何实数均成立,等价于不等式 2x2-2(k-3)x+3-k>0 对 x 取任何实数均成立 ∴ ? =[-2(k-3)]2-8(3-k)<0 ? k2-4k+3<0 ? 1<k<3 ∴k 的取值范围是(1,3)
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