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高中数学必修4教案7.示范教案(2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义)


2.4.1 2.4 平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及其含义 整体设计 教学分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元 素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运 算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要 一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研 究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s(如图 1),那么力 F 所做的 功 图1 W=|F||s|cosθ 功 W 是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量 F,s 有关.熟悉的数的运算启发我 们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 a· b=|a||b|cosθ. 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简 洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意 义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量. 三维目标 1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算 律. 2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件. 3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意 识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 重点难点 教学重点:平面向量数量积的定义. 教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概 念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工 具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利 工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深 刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的功 W 可由下式计算: W=|F||s|cosθ 其中 θ 是 F 与 s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个 向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两 个向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢? 推进新课 新知探究 提出问题 ① a· b 的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满 足实数的乘法运算律? ③我们知道,对任意 a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量 a、b,是否也有下面类 似的结论? (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; 2 2 (2)(a+b)·

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