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全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题:均值不等式

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题:均值不等式 1.已知 a,b∈(0,1)且 a≠b,下列各式中最大的是( A.a2+b2 C.2ab 答案 D ) B.2 ab D.a+b 解析 只需比较 a2+b2 与 a+b.由于 a,b∈(0,1),∴a2<a,b2<b,∴a2+b2<a+b. 2.下列函数中,最小值为 4 的是( 4 A.y=x+ x C.y=4ex+e 答案 C 解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a=b”,同时考虑函数的定义域,A 中 x 的定义 4 域为{x|x∈R,且 x≠0},函数没有最小值;B 中若 sinx= 取到最小值 4,则 sin2x=4, sinx 显然不成立.D 中没有最小值.故选 C. 3.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 ( A. a<b< ab< a+b 2 ) a+b B.a< ab< <b 2 D. a+b ab<a< <b 2 -x ) B.y=sinx+ 4 (0<x<π ) sinx D.y=log3x+logx3(0<x<1) a+b C.a< ab<b< 2 答案 B a+b 解析 方法一(特值法):代入 a=1,b=2,则有 0<a=1< ab= 2< =1.5<b=2. 2 a+b 方法二(直接法):我们知道算术平均数 与几何平均数 ab的大小关系,其余各式作差(作 2 商)比较即可,答案为 B. 4.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] C.[-2,+∞) 答案 D 1 1 + + + 解析 ∵2x+2y≥2 2x·2y=2 2x y(当且仅当 2x=2y 时等号成立), ∴ 2x y≤ , ∴2x y≤ , 2 4 得 x+y≤-2,故选 D. ) B.[-2,0] D.(-∞,-2] 5.若 x,y 是正数,则(x+ A.3 C.4 答案 C 1 2 1 ) +(y+ )2 的最小值是( 2y 2x 7 B. 2 9 D. 2 ) x 1 y 1 解析 原式=x2+ + 2+y2+ + 2≥4. y 4y x 4x 当且仅当 x=y= 1 时取“=”号. 2 ) 1 6.已知 a>0,且 b>0,若 2a+b=4,则 的最小值为( ab 1 A. 4 1 C. 2 答案 C B.4 D.2 1 1 解析 ∵4=2a+b≥2 2ab,∴ab≤2, ≥ ,当且仅当 a=1,b=2 时取等号. ab 2 1 1 7.若 x<0,则函数 y=x2+ 2-x- 的最小值是( x x 9 A.- 4 C.2 答案 D 1 1 解析 y=x2+ 2-x- ≥2 x x 1 x2· 2+2 x 1 (-x)(- )=4, 当且仅当 x=-1 时取等号. x ) ) B.0 D.4 1 2 8.(全国名校· 湖南,文)若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最小值为( a b A. 2 C.2 2 答案 C B.2 D.4 1 2 b+2a 解析 方法一:由已知得 + = = ab,且 a>0,b>0,∴ab ab=b+2a≥2 2 ab,∴ a b ab ab≥2 2. 1 2 方法二:由题设易知 a>0,b>0,∴ ab= + ≥2 a b “=”号,选 C. 2 ,即 ab≥2 2,当且仅当 b=2a 时取 ab 9.(全国名校· 金山模拟)函数 y= A.2 3+2 C.2 3 答案 A 解析 ∵x>1,∴x-1>0. ∴y= x2+2 (x>1)的最小值是( x-1 ) B.2 3-2 D.2 x2+2 x2-2x+2x+2 x2-2x+1+2(x-1)+3 = = x-1 x-1 x-1 3 (x-1)( )+2=2 3+2. x-1 (x-1)2+2(x-1)+3 3 = =x-1+ +2≥2 x-1 x-1 3 当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 3时,取等号. x-1 1 a 10.已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( x y A.2 C.6 答案 B 1 a x y 解析 (x+y)( + )=1+a· + +a≥1+a+2 a=( a+1)2, x y y x x y 当且仅当 a· = ,即 ax2=y2 时“=”成立. y x 1 a ∴(x+y)( + )的最小值为( a+1)2≥9. x y ∴a≥4. 11.设实数 x,y,m,n 满足 x2+y2=1,m2+n2=3,那么 mx+ny 的最大值是( A. 3 C. 5 答案 A 解析 方法一:设 x=sinα,y=cosα,m= 3sinβ,n= 3cosβ,其中 α,β∈R. ∴mx+ny= 3sinβsinα+ 3cosβcosα= 3cos(α-β).故选 A. B.2 D. 10 2 ) B.4 D.8 ) 方法二:由已知 (x2 + y2)· (m2 + n2) = 3 ,即 m2x2 + n2y2 + n2x2 + m2y2 = 3 ,∴ m2x2 + n2y2 + 2(nx)· (my)≤3,即(mx+ny)2≤3,∴mx+ny≤ 3. y2 12.已知 x,y,z∈(0,+∞),且满足 x-2y+3z=0,则 的最小值为( xz A.3 C.9 B.6 D.12 ) 答案 A 1 1 1 9 13.(全国名校· 四川成都外国语学校)若正数 a,b 满足: + =1,则 + 的最小值为 a b a-1 b-1 ( ) B.9 D.1 A.16 C.6 答案 C 解析 2 1 1 1 9 方法一:因为 + = 1 ,所以 a + b = ab ,即 (a - 1)· (b - 1) = 1 ,所以 + ≥ a b a-1 b-1 1 9 × =2×3=6. a-1 b-1 b-1+9a-9 1 1 1 9 1 方法二: 因为 + =1, 所以 a+b=ab, + = =b+9a-10=(b+9a

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