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版高中数学第二章平面解析几何初步223圆与圆的位置关系学案苏教版必修2

2.2.3 学习目标 圆与圆的位置关系 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与 几何判定方法,能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问 题的方法和它的优越性. 知识点 两圆位置关系的判定 思考 1 圆与圆的位置关系有几种?如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系? 思考 2 已知两圆 C1:x +y +D1x+E1y+F1=0 和 C2:x +y +D2x+E2y+F2=0,如何通过代 数的方法判断两圆的位置关系? 2 2 2 2 梳理 (1)几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆连心线的长为 d,则两圆的位置关系的 判断方法如下: 位置关系 图示 外离 外切 相交 内切 内含 d 与 r1,r2 的 关系 d____ r1+r2 d____ r1+r2 |r1-r2|<d<r1 +r2 d_____|r1- r2| d_____|r1- r2| (2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 圆C1方程? ? 消元 ?― ― →一元二次方程 ? 圆C2方程? Δ >0? ? ? ?Δ =0? ? ?Δ <0? , , . 类型一 两圆的位置关系 1 命题角度 1 两圆位置关系的判断 例 1 已知圆 M:x +y -2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2,则圆 M 与 圆 N:(x-1) +(y-1) =1 的位置关系是________. 反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式,此步骤不需要). (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长 r1,r2. (3)求两圆的圆心距 d. (4)比较 d 与|r1-r2|,r1+r2 的大小关系. (5)根据大小关系确定位置关系. 跟踪训练 1 已知圆 C1:x +y -2x+4y+4=0 和圆 C2:4x +4y -16x+8y+19=0,则这 两个圆的公切线有________条. 命题角度 2 已知两圆的位置关系求参数 例 2 当 a 为何值时,两圆 C1:x +y -2ax+4y+a -5=0 和 C2:x +y +2x-2ay+a -3 =0: (1)外切;(2)相交;(3)外离. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个 步骤 ①将圆的方程化成标准形式,写出圆心和半径. ②计算两圆圆心的距离 d. ③通过 d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围,必要时可借助于 图形,数形结合. (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的,要理清圆心距与两 圆半径的关系. 跟踪训练 2 若圆 C1:x +y =16 与圆 C2:(x-a) +y =1 相切,则 a 的值为________. 类型二 两圆相切的问题 例 3 求与圆 C:x +y -2x=0 外切且与直线 l:x+ 3y=0 相切于点 M(3,- 3)的圆的 方程. 2 2 2 2 2 2 2 反思与感悟 两圆相切有如下性质 ?内切?O1O2=|r1-r2|, ? (1)设两圆的圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,则两圆? ? ?外切?O1O2=r1+r2. (2)当两圆相切时,两圆圆心的连线过切点 (当两圆相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共 弦). 在解题过程中应用这些性质,有时能大大简化运算. 跟踪训练 3 求和圆(x-2) +(y+1) =4 相切于点(4,-1)且半径为 1 的圆的方程. 2 2 类型三 两圆相交的问题 例 4 求圆心在直线 x-y-4=0 上,且过两圆 x +y -4x-6=0 和 x +y -4y-6=0 的交 点的圆的方程. 2 2 2 2 反思与感悟 当经过两圆的交点时,圆的方程可设为 (x +y +D1x+E1y+F1)+λ (x +y + 2 2 2 2 D2x+E2y+F2)=0(λ ≠-1),然后用待定系数法求出 λ 即可. 跟踪训练 4 已知两圆 C1:x +y -2x+10y-24=0,C2:x +y +2x+2y-8=0. (1)求两圆公共弦的长; 2 2 2 2 (2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程. 3 1.两圆 x +y -1=0 和 x +y -4x+2y-4=0 的位置关系是________. 2.圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +(y-3) =1 的内公切线有且仅有________个. 3.圆 x +y -4x+6y=0 和圆 x +y -6x=0 交于 A,B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是 ______________. 4. 已 知 以 C(4 , - 3) 为 圆 心 的 圆 与 圆 O : x + y = 1 相 切 , 则 圆 C 的 方 程 是 ________________________________________________________________________. 5.若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.判断两圆的位置关系的方法 (1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定,这种方法计算量比较大,一般不用. (2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系确定. 2.当两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x 和 y 就得到两圆的公共弦所在的直线方程. 3.求弦长时,常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距,再结合勾股定理求弦长. 2 2 4 答案精析 问题导学 知识点 思考 1 圆与圆的位置关系有五种,分别为:外离、外切、相交、内