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2013届高三数学(文)一轮复习:2.5 指数与指数函数(广东专用版)


指数与指数函数
一、选择题 1.下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y) =f(x)f(y)”的是( A.幂函数 C.指数函数 ) B.对数函数 D.余弦函数 aπ 的值为( 6 )

2.(2011· 山东高考)若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 3 A.0 B. 3 C.1 D. 3 3.设函数 f(x)=a-|x|(a>0 且 a≠1),f(2)=4,则( A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2) )

C.f(1)>f(2) D.f(-2)>f(2) xax 4.(2012· 惠州质检)函数 y= |x| (0<a<1)的图象的大致形状是( )

x x<0, ?2 5.设函数 f(x)=? ,若 f(x)是奇函数,则 g(2)的值是( ?g?x? x>0,

)

1 A.-4 C. 1 4

B.-4

D.4

二、填空题 6.已知函数 f(x)=ax+a-x(a>0,且 a≠1),且 f(1)=3,则 f(0)+f(1)+f(2)的值 是________. 3 ? ?2x+ ,x<0, 2 7.设 f(x)=? -x ?2 ,x≥0. ? 1 则 f(x)≥2的解集是_______.

-1-

8.已知 a=

5-1 x 2 ,函数 f(x)=a ,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的

大小关系为________. 三、解答题 1 9.已知函数 f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点(2,2),其中 a>0 且 a≠1. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 y=f(x)(x≥0)的值域.

1 10.已知函数 f(x)=2x-2|x|. (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

ex 11.设函数 f(x)= x . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 k>0,求不等式 f′(x)+k(1-x)f(x)>0 的解集.

-2-

答案及解析
1. 【解析】 【答案】 2. 【解析】 C 由题意,3a=9,则 a=2, 由指数式的运算性质 ax+y=ax·y. a

aπ π ∴tan 6 =tan 3= 3. 【答案】 3. 【解析】 D 1 由 a-2=4,a>0,得 a=2,

1 ∴f(x)=(2)-|x|=2|x|. 又∵|-2|>|-1|,∴2|-2|>2|-1|,即 f(-2)>f(-1). 【答案】 4. 【解析】 A
x x·x ?a , x>0, a ? x y= |x| = 且 0<a<1, ?-a , x<0.

∴x>0 时,函数是减函数;x<0 时,是增函数. 【答案】 5. 【解析】 D 1 当 x<0 时,f(x)=2x,∴f(-2)=4,

又 f(x)是奇函数. 1 1 ∴f(-2)=-f(2)=4,∴f(2)=-4. 1 又 g(2)=f(2),∴g(2)=-4. 【答案】 6. 【解析】 A 1 ∵f(1)=a+a=3,f(0)=2,

f(2)=a2+a-2=(a+a-1)2-2=7, ∴f(1)+f(0)+f(2)=12. 【答案】 7. 【解析】 12 3 1 1 当 x<0 时,2x+2≥2,x≥-2,
-3-

1 ∴-2≤x<0. 1 当 x≥0 时,2-x≥2,即 x≤1, ∴0≤x≤1. 1 1 因此 f(x)≥2的解集是[-2,1]. 【答案】 8. 【解析】 1 [-2,1] 由 0<a= 5-1 <1,知 f(x)=ax 是减函数. 2

又 f(m)>f(n),∴m<n. 【答案】 9. 【解】 m<n 1 (1)∵f(x)的图象过点(2,2).

1 1 ∴a2-1=2,则 a=2. 1 (2)由(1)知 f(x)=(2)x-1(x≥0), 由 x≥0,知 x-1≥-1. 1 1 于是 0<(2)x-1≤(2)-1=2, ∴所求函数的值域为(0,2]. 10. 【解】 1 (1)当 x<0 时,f(x)=0;当 x≥0 时,f(x)=2x-2x.

1 由条件可知 2x-2x=2,即 22x-2·x-1=0,解得 2x=1± 2. 2 ∵2x>0, ∴x=log2(1+ 2). 1 1 (2)当 t∈[1,2]时,2t(22t-22t)+m(2t-2t)≥0, ∴m(22t-1)≥-(24t-1).(*) ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1). ∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).
-4-

11. 【解】

x-1 ex (1)由 f(x)= x ,得 f′(x)= x2 ex.

令 f′(x)=0,得 x=1. 因为当 x<0 时,f′(x)<0; 当 0<x<1 时,f′(x)<0; 当 x>1 时,f′(x)>0. ∴f(x)的增区间为[1,+∞),减区间是(-∞,0)、(0,1]. (2)由(1)知 f′(x)+k(1-x)f(x)>0 等价于 ?x-1?ex ?1-x?ex ?x-1??1-kx?ex +k x >0? >0. 2 x x2 ∴(x-1)(kx-1)<0,且 x≠0. 1 故当 0<k<1 时,解集为{x|1<x<k }; 当 k=1 时,解集为?; 1 当 k>1 时,不等式的解集为{x|k<x<1}.

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