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讲练测·三位一体春高中数学人教A版选修1-1教学课件:2-2-2《双曲线的简单几何性质(2)》_图文

? 1.知识与技能
? 类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方 程,讨论它的几何性质.
? 2.过程与方法 ? 能运用双曲线的性质解决一些简单的问题
? 与椭圆的性质比较,归纳并加以区别记 忆.

? 本节重点:双曲线的几何性质,双曲线各 元素之间的相互依存关系,特别是双曲线 的渐近线性质.
? 本节难点:有关双曲线的离心率、渐近线 的问题,数形结合思想、方程思想、等价 转化思想的运用.
? 1.对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线的 特有性质,利用双曲线的渐近线来画双曲 线特别方便,而且较为精确,只要作出双 曲线的两个顶点和两条渐近线,就能画出 它的近似图形.

1.渐近线是刻画双曲线的一个重要概念;渐近线为
y=mn x 的双曲线方程可设为:mx22-ny22=λ(λ≠0),与双曲线
ax22-by22=1 共渐近线的双曲线方程可设为ax22-by22=λ(λ≠0),
画双曲线时,应先画出它的渐近线.
? 2.双曲线上两个重要的三角形 ? (1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一
个直角三角形,边长满足c2=a2+b2,称 为双曲线的特征三角形.

? (2)焦点F、过F作渐近线的垂线,垂足为D, 则|OF|=c,|FD|=b,|OD|=a,△OFD亦是 直角三角形,满足|OF|2=|FD|2+|OD|2,也 称为双曲线的特征三角形.

? 3.双曲线中应注意的几个问题: ? (1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭
的曲线; ? (2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥
曲线所特有的; ? (3()4双)等曲轴双线曲只线有是一两种个比顶较特点殊,的离双曲心线率,其e>离1心;率为
2,实轴长与虚轴长相等,两条渐近线互相垂直;
? (5)注意双曲线中a、b、c、e的等量关系与 椭圆中a、b、c、e的不同.

[例 3] 设双曲线ax22-by22=1(0<a<b)的半焦距为 c,直 线 l 过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线 l 的距离为 43c, 求双曲线的离心率.

[解析] 由 l 过两点(a,0)、(0,b),得

l 的方程为 bx+ay-ab=0.

由原点到 l 的距离为 43c,得

aa2+b b2=

3 4 c.

将 b= c2-a2代入,平方后整理,得 16???ac22???2-16×ac22+3=0.令ac22=x, 则 16x2-16x+3=0,解得 x=34或 x=14.

由 e=ac有 e= 1x.故 e=233或 e=2.

因 0<a<b,故 e=ac= a2a+b2= 1+ba22> 2, 所以应舍去 e=23 3,故所求离心率 e=2.

[点评] (1)由截距式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a,

b,c 的关系及原点到直线 l 的距离建立等式,从而求出ac.

(2)此题易得出错误答案 e=2 或 e=233,其原因是未

注意到题设条件 0<a<b,从而离心率 e>

2,而2

3

3 <

2,

应舍去.

[例 4] 已知梯形 ABCD 中,|AB|=2|CD|,点 E 满足A→E =λE→C,双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点,当 23≤λ≤34时,求双曲线离心率 e 的取值范围.
[解析] 建立如图所示的直角坐标系(O 为 AB 中点), 设双曲线方程为ax22-by22=1(a>0,b>0).双曲线经过点 C、D, 且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C,D 关于 y 轴对
称.依题意,记 A(-c,0),C???2c,h???,E(x0,y0).

其中 c=12|AB|,h 是梯形的高,由A→E=λE→C,得 (x0+c,y0)=λ???2c-x0,h-y0???, 所以 x0=2(λ(-1+2)λc),y0=1+λhλ.因为点 C,E 在双曲线上, 将点 C,E 的坐标和 e=ac代入双曲线方程得 ???e42-hb22=1 ①, ????e42????λλ- +21????2-????λ+λ 1????2·hb22=1 ②.

由①得hb22=e42-1,代入②并整理得 λ=ee22- +12=1-
3 e2+2.
由23≤λ≤34得23≤1-e2+3 2≤34,解得 7≤e≤ 10.
所以双曲线离心率的取值范围为[ 7, 10].
? [点评] 本题是双曲线与平面向量的综合 题,首先通过建立坐标系设出双曲线方程, 由题设条件得到λ与离心率e的关系式,最 后借助于λ的范围来建立离心率e的不等式 求解.

已知 F1 和 F2 是双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左,右 焦点,P 在双曲线右支上,且|PF1|=4|PF2|,求双曲线的离 心率的取值范围.

[解析] 点 P 在双曲线右支上,故有|PF1|-|PF2|=2a,



|PF1|



4|PF2|







|PF2|



2a 3



|PF1|



8a 3

.|PF1|



|PF2|≥|F1F2|,当且仅当三点共线时,取等号.所以23a+83a

=103a≥2c,所以ac≤53,双曲线的离心率 e>1.所以双曲线离

心率的取值范围为???1,53???.

? [点评] 根据双曲线的定义用a来表示出 |PF1|和|PF2|,利用两点之间线段最短建立 |PF2|+|PF1|≥|F1F2|的不等关系式,解不等式 求解,注意等号成立的条件,还要注意隐 含条件“e>1”.

[例 5] 如图所示,中心在原点,焦点在 x 轴上的椭 圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且|F1F2|=2 13.椭圆 的长半轴长与双曲线的半实轴长之差为 4,离心率之比为
,若 P 为两曲线的一个交点,求 cos∠F1PF2 的值.

[解析] 设椭圆的长半轴长为 a,双曲线的半实轴长为

a1,

??a-a1=4,

得?c ??a

ac1=

解得?????aa= 1=73,.

由余弦定理、椭圆、双曲线的定义,得

??|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2 ???(|P=F1||F+1F|P2|F2=2|)25=2,(2a)2=(2×7)2, ??(|PF1|-|PF2|)2=(2a1)2=(2×3)2,

??????||PPFF11||··||PPFF22||(=1+40c.os∠F1PF2)=72,
?cos∠F1PF2=45.
? [点评] 面对较复杂的式子不要急于化简, 要先观察特点,从特点入手进行整体化简; 本题中三式变成两式,又由两式变成一式 完全是从整体出发的,充分体现了整体运 算的好处.

如图,直线 y=kx+m 与双曲线ax22-by22=1 及其渐近线 分别交于 A,B,C,D 四点.求证:|AC|=|BD|.

[证明] 记双曲线及其渐近线的方程为ax22-by22=λ(λ= 0 时,为渐近线方程;λ=1 时为双曲线方程),由

??y=kx+m, ???ax22-by22=λ

得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2λ)=0.

显然,无论 λ=0 还是 λ=1,上述方程中的两根之和 均为b22-a2kam2k2不变,即线段 AB,CD 的中点重合,因此|AC|

=|BD|.

? [点评] 本题借助于两个曲线的“整体方程” 来处理问题,显然,这样避免了将直线方 程分别为双曲线方程及渐近线方程联立的 复杂运算.求解过程简练易懂.