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广东省湛江一中2007—2008学年度第二学期期中考试高二级数学(文科)试题


广东省湛江一中 2007—2008 学年度第二学期期中考试高二级数学(文科)试题 考试时间:120 分钟,满分:150 分 命题人:LQY
参考公式与数据:

?? b

?
i ?1

n

( xi ? x )( y i ? y )

? (x
i ?1

n

?
i

?x y
i i ?1 n

n

i

? nx y

? x)

?x
i ?1

,
? nx
2

?x , ? ? y ?b a

2 i

R2 ?1?

?(y
i ?1 n i ?1

n

i

?i )2 ?y

?(y

,
i

K2 ?

? y) 2

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? 2.706) ? 0.10 ,

P( K 2 ? 3.841) ? 0.05 , P( K 2 ? 6.635) ? 0.010

一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题答案是唯一的) 1.设 z ? 3 ? 4i , 则 z = A. 25 B. 5 C. 7 D. ( )

7
)

? x ? 5cos? 2.椭圆 ? ? y ? 4sin ?
A.

(? 为参数)的离心率为(

4 3 3 9 B. C. D. 5 5 4 25 3.△ABC 的三边分别为 a、b、c,若∠C 为直角,则 c 2 ? a 2 ? b2 ,若∠C 为钝角,则( A. c 2 ? a 2 ? b 2 B. c 2 ? a 2 ? b 2 C . c 2 ? a 2 ? b 2 D.以上都不正确



4.在直角坐标系中,曲线 2 x ? y ? 3 经伸缩变换 ? 作用后得到直线 x / ? 2 y / ? 6 ,则 ? 是( )

?x/ ? 4x ? A .? : ? / ? ?y ? y

? / 1 ?x ? x B. ? : ? 4 ? y/ ? y ?

? x/ ? 2x ? C. ? : ? / 1 ?y ? y 2 ?

? / 1 ?x ? x D. ? : ? 2 ? y/ ? 2 y ?

5.如图,P 为⊙O 外一点,PA 为圆切线,PBC 为圆的割线,且 PB= A. 2, B.

1 PA BC,则 = ( 2 PB
B

)

3

C. 4

D.

1 2
P

C

6.设 ? ?C,n ? N * , 且 1 ? ? ? ?2 ? 0 , 则 1 ? ?? ? 2? ?? ? ? 3 n1? ? ( A. 0 B. 1 C. -1 D. ?



A

从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如表: 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 2 165 3 157 4 170 5 175 6 165 7 155 8 170

48 57 50 54 64 61 43 59 回答 ~ 10 题 : ..7 . . . . . . 7. 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,正确的步骤流程图是: (
A 确定解释变量 和预报变量 确定解释变量 和预报变量 确定解释变量 和预报变量 确定解释变量 和预报变量 画出散点图 画出散点图 确定回归 方程类型 画出散点图 求出回 归方程 求出回 归方程 利用相关指数或 残差进行分析 利用相关指数或 残差进行分析 求出回 归方程 求出回 归方程

)

B

确定回归 方程类型

C

利用相关指数或 残差进行分析

确定回归 方程类型 确定回归 方程类型

D

利用相关指数或 残差进行分析

画出散点图

? ? 0.849x ? 85.712 ,对于身高为 172 cm 的女大学生 , 则 8.经计算得到回归直线方程是 y
A. 可以预报其体重为 60.316 kg B. 其体重精确值为 60.316 kg C. 其体重大于 60.316 kg D. 由于存在随机误差,其体重无法预报 2 9. 经计算得总偏差平方和约为 354, R ≈0.64, 则下列结论不正确 的是 ... A. 残差平方和约为 128.361 C. 身高解析了 64%的体重变化 B. 回归平方和约为 225.639 D. 随机误差贡献了 64%的体重变化





10. 如果用指数模型 y ? c1e c2 x 拟合原始模型, 设 z=lny, 且( x , z )为 (165.25,3.99),则回归方程为 ( A. y ? e 0.849x ?85.712 C. y ? e 0.0161x ?1.3379 )

B. y ? e ?0.849x ?85.712 D. y ? e ?0.0161x ?1.3379

二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) ??? ? ??? ? ??? ? 11.设向量 OA , OB 对应的复数分别为 1+2i,-2+3i,则 AB 对应的复数为_____;

3? ; ,2 2) ,则它的直角坐标为 4 13.如图,在三角形 ABC 中,若∠AED=∠B,DE=6,AB=10,AE=8,则 BC 的 长为
12.已知点 M 的柱坐标为 (2 2, 14.定义在实数集 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x, y ? R ,有

f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) ? f ( y) ,且 f (0) ? 0 ,

求证: y ? f ( x) 是偶函数. 证明:令 x=y=0, 则有 f (0) ? f (0) ? 2 f (0) ? f (0) , ∵ f (0) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 令 x=0, 则有 f ( y) ? f (? y) ? 2 f (0) ? f ( y) =2 f ( y ) , ∴ f (? y ) ? f ( y ) 因此 y ? f ( x) 是偶函数. 以上证明结论“ y ? f ( x) 是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”,其中大前提是: ____________________. 15. 2 条直线相交,最多有 1 个交点; 3 条直线相交,最多有 3 个交点; 4 条直线相交,最多有 6 个 交点; ?? ;10 条直线相交,最多有___________个交点,推广到 n( n ? 2, n ? N )条直线相交, 最 多有____________个交点.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步聚或推证 过程.
16. (本小题 10 分)《数学》选修 1—2 第三章的知识内容如下: 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.2 复数的几何意义 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 试画出这一章的知识结构图.

17.(本小题 12 分) 已知 z=1+i. (Ⅰ)设 ω=z2+3(1-i)-4,求 ω; (Ⅱ)若 z ? az ? b ? 1 ? i ,求实数 a,b 的值。
2

18. (本小题12分)为了考察中学生的性别与是否喜欢语文课程和是否喜欢数学课程之间的关系,我 校高二级某一研究性学习小组在校内随机抽取300名学生,得到如下列联表:

表18—1
男 女 合计

性别与喜欢语文课程列联表
不喜欢语文课程
121 80 201

喜欢语文课程
59 40 99

合计 180 120 300

表18—2
男 女 合计

性别与喜欢数学课程列联表
不喜欢数学课程
85 143 228

喜欢数学课程
37 35 72

合计 122 178 300

(Ⅰ)根据表18—1的数据,完成下列的二维条形图,并粗略判断性别与喜欢语文课程 是否有关系?

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 男 女

喜欢语文课程 不喜欢语文课程

(Ⅱ)根据表 18—2 的数据,用独立性检验方法判断性别与喜欢数学课程是否有关系? (参考数据: 300× (143× 37-85× 35)2=1609156800, 178× 122× 228× 72=356489856, 1609156800÷ 356489856=4.513)

19. (本小题 13 分)已知圆 C 的参数方程为 ? 的交点.

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数),P 是圆 C 与 x 轴的正半轴 ? y ? sin ?

(Ⅰ)求过点 P 的圆 C 的切线极坐标方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)在圆 C 上求一点 Q(a, b),它到直线 x+y+3=0 的距离最长,并求出最长距离。

1 ? ,a 、b ?R , x?2 a b 2 (Ⅰ)用分析法证明: f ( ) ? f ( ) ? ; b a 3
20. (本小题 14 分)设函数 f ( x) ? (Ⅱ)设 a ? b ? 4 ,求证: af (b), bf (a) 中至少有一个大于

1 . 2

开始 输入正实数a n=1; t =0; T=0 t = 4n-1 T=T +

21. (本小题 14 分)右图是一个计算机程序流程框图: (Ⅰ)若输入 a 的值为 10,求 n, t, T 输出的值 n0 , t0 , T0 ; (Ⅱ)若输出的 n 的值 n0=5, 求 a 的取值范围; (Ⅲ)若输出的 t, T 的值 t0 、T0 满足: t0 > T0 , 求 a 的取值范围.

2n?1

n= n+1 t<a? 否 输出n, t, T 结束 是

湛江一中 2007—2008 学年度第二学期期中考试 高二级数学(文科)参考答案
一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) BBAAB ABADC

二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 15 11. -3+i 12. (-2,2, 2 2 );13. ; 14.对于定义域内任意一个 x , 都有 f (? x) ? f ( x) , 则 f ( x) 2 是偶函数; 15. 45,

n(n ? 1) . (第一个空 2 分,第二个空 3 分) 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程. 16.
数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入

数 系 的 扩 充 与 复 数 的 概 念

复 数 代 数 形 式 的 四 则 运 算

数 系 的 扩 充 与 复 数 的 概 念

复 数 的 几 何 意 义

复 数 代 数 形 式 的 加 减 运 算 及 其 几 何 意 义

复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算

17.解: (Ⅰ)由 z=1+i, 有 ω=z2+3(1-i)-4=(1+i)2+3(1-i)-4=2i+3-3i-4=-1-i. (Ⅱ)由 z=1+i, 由 z ? az ? b ? 1 ? i ,得 (a ? b) ? (2 ? a)i ? 1 ? i
2

? a ?b ?1 ?b?4 ?? ?? ?2 ? a ? ?1 ?a ? ?3

18. (本小题14分)

200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 男
(Ⅰ)

喜欢语文课程 不喜欢语文课程


?????? ??????3分

从二维条形图可看出,男生女生喜欢语文课程的比例接近,则可判断性别与喜欢语文课程没有关系. ??? ??????6分 另解: 根据表 18—1 的数据得,男生喜欢语文课程的比例 则可判断性别与喜欢语文课程没有关系. ? 6 分 (Ⅱ)根据表18—2的数据,得到

59 40 与女生喜欢语文课程比例 接近, 180 120

K2 ?

300 (143 ? 37 ? 85 ? 35) 2 =4.513 ? 3.841, 178 ? 122 ? 228 ? 72
2

? ? ? ? ? ? 10 分

而 P( K ? 3.841) ? 0.05 , 即有 95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”. ? ? 12 分 19. (本小题 14 分) (Ⅰ)求过点 P 的圆 C 的切线为: x=2, 则极坐标方程为 ? cos? ? 2 ; ? 3 分 圆 C 的普通方程为: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,则极坐标方程为 ? ? 2cos? ? ? 6 分

?a ? 1 ? cos? (Ⅱ)设 ? , ?b ? sin ?

?????? ??????7分

则点 Q(a, b)到直线 x+y+3=0 的距离为

d?

1 ? cos? ? sin ? ? 3 2

?

? 2 sin(? ? ) ? 4 2 sin(? ? ) ? 4 4 4 ? 2 2
?1? 2 2 ,

?

? 10 分

当? ?

?
4

时, d max ?

2?4 2

? ? ? ? ? ? ? 11 分

? ? a ? 1 ? cos ? ? 4 , 即 Q(1 ? 2 , 2 ) 这时 ? 2 2 ?b ? sin ? ? 4 ?

? ? ? ? ? ? ? 13 分

20. (本小题 14 分) (Ⅰ)欲证 即证

a b 2 f ( )? f ( ? ) b a 3
? ??????2分

b a 2 ? ? a ? 2b b ? 2 a 3 2 2 a ? b ? 4ab 2 只要证 ? 2 2 2a ? 2b ? 5ab 3

? a 、 b ? R? ,
只要证 3( a2 ? b2 ? 4ab ) ? 2(2a 2 ? 2b2 ? 5ab)
? ??????7分 即 a2 ? b2 ? 2ab , 2 2 ? ??8分 因为 a ? b ? 2ab 显然成立,故原不等式成立。

(Ⅱ)假设 af (b) ?

a 1 b 1 ? , bf (a) ? ? , ? ? ? ? ? ? 10 分 b?2 2 a?2 2

由于 a 、 b ? R ? , ∴ 2 ? b ? 2a, 2 ? a ? 2b , 两式相加得: 4 ? a ? b ? 2a ? 2b ,即 a ? b ? 4 , 与条件 a ? b ? 4 矛盾, 1 ? ? ? ? ? ? ? 14 分 故 af (b), bf (a) 中至少有一个大于 . 2

21. (本小题 14 分) (Ⅰ)n0=4 , t0=11 , T0=7.

? ??????3分
? ??????8分

?4 ? 4 ? 1 ? a (Ⅱ) ? ?4 ? 3 ? 1 ? a

? 11 ? a ? 15 .

(Ⅲ)设 n? ? n0 ? 1 ,

t0=4 n? -1,

T0 = 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n??1 = 2n? ? 1 . ? 10 分
?

由 t0 > T0 , 得 4 n? -1> 2n? ? 1 , 即 4n? ? 2n ,

?1 ? n? ? 3 ;

? ? 11 分

?4 ? 1 ? 1 ? a ?0?a?3 , 当 n? =1 时, ? ?a ? 0

?4 ? 1 ? 1 ? a 当 n? =2 时, ? ? 3 ? a ? 7; ?4 ? 2 ? 1 ? a ?4 ? 2 ? 1 ? a 当 n? =3 时, ? ? 7 ? a ? 11; ?4 ? 3 ? 1 ? a

? 0 ? a ? 11 .

? ? ? ? ? ? ? 14 分


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