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2019版高考数学(理科)(5年高考+3年模拟)精选课件§8.3 直线、平面垂直的判定与性质_图文


高考理数 (课标专用) §8.3 直线、平面垂直的判定与性质 五年高考 A组 考点 统一命题·课标卷题组 直线、平面垂直的判定与性质 1.(2018课标Ⅰ,18,12分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把 △DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明:平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. ? 解析 (1)由已知可得BF⊥EF, 又已知BF⊥PF,且PF、EF?平面PEF,PF∩EF=F, 所以BF⊥平面PEF, 又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD. BF |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系HHF 的方向为y轴正方向,|? 以H为坐标原点,? ? ? xyz. ? 由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=?3 , 又PF=1,EF=2,故PE⊥PF, 3 3 可得PH=? 2, 2 ,EH=? ? 3? ? 3? 3 ? ? ? 3 3? ? ? DP HP 1, , 0,0, 0,0, ? 1, ? ,0 ? ? ? ? ? ? ? ? 则H(0,0,0),P 2 ? ,D? 2 ? 为平面ABFD的法向量. 2 ? ,? = ? 2 2 ? ,? = ? ? ? 3 ? ? HP? DP 3 4 ? ? 设DP与平面ABFD所成角为θ,则sin θ= = 3 =? 4 . | HP || DP | ? ? ? ? ? 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为? . 4 易错警示 利用空间向量求线面角的注意事项 3 (1)先求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)的角度,再取其余角 即为所求. (2)若求线面角的余弦值,要注意利用平方关系sin2θ+cos2θ=1求出其值,不要误以为直线的方向 向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求. 2.(2017课标Ⅲ,19,12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠C BD,AB=BD. (1)证明:平面ACD⊥平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE -C的余弦值. 解析 本题考查面面垂直的证明,二面角的求法. (1)由题设可得,△ABD≌△CBD,从而AD=DC. 又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°. 取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO. 又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC. 所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2. 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°. 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,? OA 的方向为x轴正方向,|? OA |为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),B(0,?3 ,0),C(-1,0,0),D(0,0,1). ? ? ? 由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的? ,从而E到平面ABC的距离为D到平面 ABC的距离的? ,即E为DB的中点,得E? AE =? AD =(-1,0,1),? , ? .故? AC =(-2,0,0),? ? ?1, ? 0, 1

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