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2019版高考数学(理科)(5年高考+3年模拟)精选课件§8.3 直线、平面垂直的判定与性质_图文

高考理数 (课标专用) §8.3 直线、平面垂直的判定与性质 五年高考 A组 考点 统一命题·课标卷题组 直线、平面垂直的判定与性质 1.(2018课标Ⅰ,18,12分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把 △DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明:平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. ? 解析 (1)由已知可得BF⊥EF, 又已知BF⊥PF,且PF、EF?平面PEF,PF∩EF=F, 所以BF⊥平面PEF, 又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD. BF |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系HHF 的方向为y轴正方向,|? 以H为坐标原点,? ? ? xyz. ? 由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=?3 , 又PF=1,EF=2,故PE⊥PF, 3 3 可得PH=? 2, 2 ,EH=? ? 3? ? 3? 3 ? ? ? 3 3? ? ? DP HP 1, , 0,0, 0,0, ? 1, ? ,0 ? ? ? ? ? ? ? ? 则H(0,0,0),P 2 ? ,D? 2 ? 为平面ABFD的法向量. 2 ? ,? = ? 2 2 ? ,? = ? ? ? 3 ? ? HP? DP 3 4 ? ? 设DP与平面ABFD所成角为θ,则sin θ= = 3 =? 4 . | HP || DP | ? ? ? ? ? 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为? . 4 易错警示 利用空间向量求线面角的注意事项 3 (1)先求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)的角度,再取其余角 即为所求. (2)若求线面角的余弦值,要注意利用平方关系sin2θ+cos2θ=1求出其值,不要误以为直线的方向 向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求. 2.(2017课标Ⅲ,19,12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠C BD,AB=BD. (1)证明:平面ACD⊥平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE -C的余弦值. 解析 本题考查面面垂直的证明,二面角的求法. (1)由题设可得,△ABD≌△CBD,从而AD=DC. 又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°. 取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO. 又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC. 所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2. 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°. 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,? OA 的方向为x轴正方向,|? OA |为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),B(0,?3 ,0),C(-1,0,0),D(0,0,1). ? ? ? 由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的? ,从而E到平面ABC的距离为D到平面 ABC的距离的? ,即E为DB的中点,得E? AE =? AD =(-1,0,1),? , ? .故? AC =(-2,0,0),? ? ?1, ? 0, 1 2 ? 1 2 ? ? 3 1? 2 2? ? ? ? ? 3 1? , ?. 2 2? 设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量, ?? x ? z ? 0, ? ? ? n ? AD ? 0, ? 3 ? ? 则? ? 即? 可取 n = 1, ,1? . ? 3 1 3 y ? z ? 0. ?? x ? ? ? ? ?n ? AE ? 0, 2 2 ? ? ? m ? AC ? 0, ? 设m是平面AEC的法向量,则 ? ? ? ?m ? AE ? 0. ? ? ? ? 3 ). 同理可取m=(0,-1,? 则cos<n,m>=? 7 n?m = . | n || m | 7 ? 易知二面角D-AE-C为锐二面角, 所以二面角D-AE-C的余弦值为? . 方法总结 证明面面垂直最常用的方法是证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,即 在一个平面内,找一条直线,使它垂直于另一个平面.用空间向量法求二面角的余弦值时,要判 7 7 断二面角是钝角还是锐角. 3.(2016课标Ⅰ,18,12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AF D=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC; (2)求二面角E-BC-A的余弦值. 解析 (1)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.? (2分) 又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.? (3分) (2)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF. GF 的方向为x轴正方向,|? GF |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G以G为坐标原点,? ? ? xyz.? (6分) 由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=?3 ,可得A(1,4,0),B(-3, 3 ). 4,0),E(-3,0,0),D(0,0,? 由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.? (8分) 又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF. 由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.从而可得 C(-2,0,? 3 ).

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