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19.函数的奇偶性(2)


函数的奇偶性(二)

一、复习
都有 (1) f ( ? x ) ? f ( x ),那么函数f ( x )叫做偶函数 (2) f ( ? x ) ? ? f ( x ), 那么函数f ( x )叫做奇函数.
2(1) 具有奇偶性的函数,它的定义域一定关于原点对称.

1. 定义:对于函数f ( x )在定义域内的任意一个x,

(2)若f ( x )是奇函数且在x ? 0处有定义,则f (0) ? 0; (3)若f ( x )是偶函数,则f ( ? x ) ? f ( x ) ? f (| x |).
3.为了便于判断,常用定义的等价形式: f (? x ) f (? x ) ? ? f ( x ) ? f (? x ) f ( x ) ? 0 ? ? ?1 f ( x) (f ( x ) ? 0)

4.奇、偶函数的性质: (1)奇函数 ? 图象关于原点对称,原点两侧的 单调性相同. (2)偶函数 ? 图象关于y轴对称,y轴两侧的 单调性相反.
根据奇、偶函数的图象特征,可得如下结论: 1(1)奇函数在[a, b]和[-b, -a]上有相同的单调性; (2)偶函数在[a, b]和[-b, -a]上有相反的单调性.

2(1)若f(x)为R上的奇函数,则方程f(x)=0至少有一个实根; 若有n个实根, 则n必为奇数. (2)若f(x)为奇函数, 则方程f(x)=0的所有根的和为零。 (若f(x)为偶函数, 则结论类似).

下列说法是否正确? (1)函数y ? f ( x )在(0, ? ? )上是奇函数; (2)函数y ? f ( x )在(0, ? ? )上是增函数; (3)函数y ? f ( x )是增函数; (4)函数y ? f ( x )是偶函数.

单调性:(局部性质)

奇偶性:(整体性质)

练习: x?a (1)若f ( x ) ? 2 为奇函数,则a的值为 ____ . x ?1 (2)若f ( x ) ? ax 2 ? bx ? 3a ? b是偶函数,且其定 义域为[a ? 1, 2a ],则a ? b ? ______ .

(3)定义在R上的偶函数f ( x ),对任意实数x1、x2 f ( x2 ) ? f ( x1) ? [0, ? ? )( x1 ? x2 ),有 ? 0,则 x2 ? x1 A. f (3) ? f ( ?2) ? f (1) B. f (1) ? f ( ?2) ? f (3) C . f ( ?2) ? f (1) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f ( ?2)

三、例题
1.已知f ( x )是奇函数,而且在(0,? ? )上是增函数. 判断f ( x )在( ??, 0)上的增减性,并证明你的结论.
类题: 已知f ( x )是偶函数,且在[? b, ? a ]上为增函数,判断 函数f ( x ) 在[a,b]上的单调性,并证明你的结论.

2.函数y ? f ( x )( x ? 0)是奇函数,且f ( x )在(0, ? ? )上 是增函数,若f (1) ? 0,解不等式 f ( x ? 1) ? 0.
类题: 设奇函数f ( x )在(0,? ? )上为增函数,且f (1) ? 0, f ( x ) ? f (? x ) 则不等式 ? 0的解集为 ___________ . x

( ?1, 0) (0, 1)

3(1)若f ( x )是偶函数,且当x ? ? 0, ? ? ? 时,f ( x ) ? x ? 1, 则f ( x ? 1) ? 0的解集为 ________________ ; (2)若函数y ? f ( x )是偶函数,则方程f ( x ) ? 0的所 有根之和为 _____ ; (3)已知f ( x ? 2) ? f (2 ? x ),x ? R,当x ? 2时,f ( x )为 增函数. 设a ? f (1),b ? f (4),c ? f ( ?2),则a、、 bc 的大小关系为 _______ ;

4.定义在( ?1, 1)上的奇函数f ( x )是减函数,且满足不 等式f (1 ? a ) ? f (1 ? a 2 ) ? 0,求a的取值范围.

必需化同一单调区间,然后去掉函数符号
变题: (1)定义在[?2, 2]上的偶函数f ( x ),当x ? 0时,f ( x )单 调递减,若f (1 ? m ) ? f ( m ),求实数m的取值范围.

注意:若f ( x )是偶函数,则f ( ? x ) ? f ( x ) ? f (| x |).
求满足f ( x 2 ? 2 x ? 3) ? f (3 x ? 4 x 2 ? 1)的x的集合.

(2)已知偶函数f ( x )定义域为R,且在( ??, 0]上单调递减,

5.已知函数f ( x )的定义域为R,对x、y ? R,都有 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ),且当x ? 0时,f ( x ) ? 0, f ( ?1) ? 2. (1)求证:f ( x )为奇函数; (2)求证:f ( x )在R上是减函数; (3)求函数f ( x )在[ ?2, 4]上的最值; (4)解不等式f ( x ? 1) ? 4 ? f (2 x ? 1).
2

ax ? 1 6.设函数f ( x ) ? (a、 b、c ? Z )是奇函数, bx ? c 且f (1) ? 2,f (2) ? 3. (1) 求a、b、c的值; (2)讨论函数f ( x )在 ? ?? , 0 ? 上的单调性,并 加以证明.

2

作业: 1.BP39 B组 3 做在HP34 11题的下面     2. HP33-34


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