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高中数学第一章计数原理5.1二项式定理课件北师大版选修2_3_图文

第一章 §5 二项式定理 5.1 二项式定理 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点 二项式定理 思考1 我们在初中学习了 (a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推 导(a+b)3,(a+b)4的展开式. 答案 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2 +4ab3+b4. 答案 思考2 上述两个等式的右侧有何特点? 答案 (a+b)3的展开式有 4项,每项的次数是3;(a+b)4的展开 式有5项,每一项的次数为4. 思考3 能用类比方法写出(a+b)n(n∈N+)的展开式吗? 答案 n 1 n-1 k n-k k n n 能,(a +b)n = C 0 a + C a b + ? + C a b + ? + C n n n nb (n∈N+). 答案 梳理 二项式定理 0 n 1 n-1 r n-r r n n n C a + C a b + ? + C a b + ? + C n n n nb , 公式(a+b) =___________________________________ 二项式定理 称为二项式定理 二项展开式 二项式系数 二项式通项 等号右边的式子叫作(a+b)n的二项展开式 r Cn(r=0,1,2,?,n) 叫作二项式系数 各项的系数___________________ r n-r r C b 叫作二项展开式的第r+1项,又叫作二项 式中________ na 式通项 2 2 r r 在二项式定理中,若 a=1,b=x,则(1+x)n=1+C1 x + C x + ? + C n n nx +?+xn. 题型探究 类型一 二项式定理的正用、逆用 例1 1 4 (1)求(3 x+ ) 的展开式. x 解 方法一 1 4 4 1 3 1 2 2 1 2 (3 x + ) = (3 x ) + C 4 (3 x ) ( ) + C 4 (3 x ) ( ) + C 3 4 x x x 1 3 12 1 4 1 4 2 (3 x)( ) +C4( ) =81x +108x+54+ x +x2. x x 方法二 1 4 3x+1 4 1 1 4 2 2 3 3 (3 x+ ) =( ) =x2(1+3x) =x2[1+C1 · 3 x + C (3 x ) + C (3 x ) 4 4 4 x x x x x 1 1 12 4 4 2 3 4 +C4(3x) ]= 2(1+12x+54x +108x +81x )= 2+ +54+108x+81x2. 解答 n 1 n-1 2 n-2 k k n-k (2)化简:C0 ( x + 1) - C ( x + 1) + C ( x + 1) - ? + ( - 1) C ( x + 1) n n n n +?+(-1)nCn n. 解 0 n 1 n-1 2 n-2 2 k 原式=Cn(x+1) +Cn(x+1) (-1)+Cn(x+1) (-1) +?+Cn(x n n n +1)n-k(-1)k+?+Cn ( - 1) = [( x + 1) + ( - 1)] = x . n 解答 引申探究 1 5 将本例(1)改为求(2x-x2) 的展开式. 1 5 0 5 1 4 1 2 3 1 2 3 2 1 3 解 方法一 (2x-x2) =C5(2x) -C5(2x) · ( ( 2+C5(2x) · 2) -C5(2x) · 2) + x x x 1 4 80 40 10 1 4 5 1 5 5 2 C5(2x)· ( 2) -C5· ( 2) =32x -80x + - 4 + 7 - 10. x x x 方法二 (2x ) 3 2 x x x 1 5 1 3 1 1 5 3 5 3 2 (2x - x2 ) = [ x2 (2x - 1)] =- x10 (1 - 2x ) =- x10 [1 - C 1 (2 x ) + C 5 5 x x x x 1 10 40 80 3 3 3 4 3 4 5 3 5 -C5(2x ) +C5(2x ) -C5(2x ) ]=- 10+ 7 - 4 + -80x2+32x5. 解答 反思与感悟 (1)(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是: ①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n 逐 项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知 多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢. 跟踪训练 1 +1)-1. 化简 (2x + 1)5 - 5(2x + 1)4 + 10(2x + 1)3 - 10(2x + 1)2 + 5(2x 解 5 1 4 2 3 3 2 4 原式=C0 (2 x + 1) - C (2 x + 1) + C (2 x + 1) - C (2 x + 1) + C 5 5 5 5 5(2x+1) 5 0 5 5 5 -C5(2x+1) =[(2x+1)-1] =(2x) =32x . 解答 类型二 二项展开式通项的应用 命题角度1 二项式系数与项的系数 例2 2 10 已知二项式(3 x-3x) . (1)求展开式第4项的二项式系数; 解 2 10 2 r r 10-r (3 x-3x) 的展开式的通项是 Tr+1=C10(3 x) (-3x) 3 10 ? 3 r 2 2r r 10-r =C103 (- ) ·x (r=0,1,2,?,10). 展开式的第 4 项(r=3)的二项式系数为