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2013版高中全程复习方略配套课件:3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(人教A版·数学理)浙江专用


第一节 任意角和弧度制及任意角的 三角函数

三年3考

高考指数:★★

1.了解任意角的概念;了解弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

4.理解同角三角函数的基本关系式:
sinx sin 2 x ? cos 2 x ? 1 , ? tanx. cosx

1.三角函数的定义及应用是本节的考查重点.

2.同角三角函数关系式常用来化简、求值,常与其他三角函数知
识相结合考查,是高考的热点.

3.主要以选择题、填空题的形式考查,难度不大,属低档题.

1.角的有关概念 端点 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着它的____从一个位 旋转 置____到另一个位置所成的图形. 正角 负角 零角 (2)分类:____、____、____. (3)终边相同的角: k·360°, k∈Z} 与角α 终边相同的角可构成集合S={β |β =α +_______________.

? 2

【即时应用】

(1)思考:角α 为锐角是角α 为第一象限角的什么条件?
π 提示:充分不必要条件.因为锐角为大于0小于 的角,而第一 2 象限角的范围为(2kπ,2kπ+ π )(k∈Z). 2

(2)若α 是第二象限角,判断下列表述是否正确.(请在括号内

填“√”或“×”)
①{α |α =k·360°+45°,k∈Z} ②{α |90°<α <180°} ③{α |k·360°+90°<α <k·360°+180°,k∈Z} ④{α |α =k·180°+135°,k∈Z} ( ( ( ( ) ) ) )

【解析】①α=k·360°+45°,k∈Z表示的是与45°终边相同

的角,是第一象限的角,故不正确.
②90°<α<180°,不能表示所有第二象限的角,故不正确. ③正确. ④α=k·180°+135°表示的是当k为偶数时,与135°终边相 同的角;当k为奇数时,与315°终边相同的角,不能表示第二 象限的角,故不正确. 答案:①× ②× ③√ ④×

2.弧度的定义和公式
半径长 (1)定义:长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角.弧度记作rad. (2)公式
角 ? 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式

l r ? =_____
? 180 ①1°=______rad
l=_______

180 ? ②1rad=(______) °

?r

1 1 ? r2 lr 2 2 S=_____ =_______

【即时应用】 (1)337°30′的弧度数是______. (2)5π 的度数为______.
12

(3)扇形半径为45,圆心角为120°,则弧长为______. 【解析】(1)337°30′表示的弧度数为 337.5 ? π ? 15π .
180 8 5π ? 180? (2) 5π 的度数为 12 ? 75?. 12 π 2π (3)圆心角120°的弧度数为 2π ,故弧长l= ? 45 ? 30π. 3 3 15π 答案:(1) (2)75°(3)30π 8

3.任意角的三角函数 y (1)定义:设角α 终边与单位圆交于P(x, y),则sinα =_,
y (x≠0) x cosα =_,tanα =__________. x

(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正 弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点 都是点A(1,0). 正弦线 余弦线 如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α 的______,______和 正切线 ______.

y
P T

y
P

?
O
M

A(1,0)

?
O
M

A(1,0)

x

x
T

y
T M

y

?
O

A(1,0)

?
O

M

A(1,0)

x

x
P T

P

(3)诱导公式(一)

sinα cosα sin(α +k·2π )=_____;cos(α +k·2π )=_____;
tanα tan(α +k·2π )=_____.(k∈Z) (4)同角三角函数的基本关系 ①平方关系:______________, sin 2 α ? cos 2 α ? 1
sinα ②商数关系:__________. cosα tanα ?

【即时应用】 (1)已知角α 终边上一点A(2,2),则tanα =______. (1)若tanα =2,则 sinα ? 3cosα =______.
sinα ? cosα 【解析】(1)tanα ? y ? 2 ? 1. x 2 (2)∵ sinα ? 3cosα = tanα ? 3 , sinα ? cosα tanα ? 1 又∵tanα=2,∴ tanα ? 3 = 2 ? 3 ? ? 1 . tanα ? 1 2 ? 1 3 答案:(1)1 (2) ? 1 3

弧度制的应用 【方法点睛】 弧度制的应用

(1)引进弧度制后,实现了角度与弧度的相互转化,在弧度制下
可以应用弧长公式:l=|α |r,扇形面积公式: ? 1 lr ? 1 α r 2 , S
2 2

求弧长和扇形的面积. (2)应用上述公式时,要先把角统一用弧度制表示.利用弧度制比 角度制解题更为简捷、方便.

【提醒】弧度制和角度制不能混用,解决问题时要先统一.

【例1】已知扇形的圆心角是α ,半径为R,弧长为l. (1)若α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α 为多少弧度时,

这个扇形的面积最大?
(3)若α = π ,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
3

【解题指南】(1)可直接用弧长公式,但要注意用弧度制.
(2)可用弧长或半径表示出扇形面积,然后确定其取最大值时 的半径和弧长,进而求出圆心角α. (3)利用S弓=S扇-S△,这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.
l 【规范解答】(1) ? 10 ? ? π 3 10π (cm). 3

(2)由已知得:l+2R=20,
1 1 所以S= lR= (20-2R)R 2 2

=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以R=5时,S取得最大值25,此时l=10,α=2 rad.

(3)设弓形面积为S弓.
2π cm, 3 1 2π 1 π S弓=S扇-S△= ? ? 2 ? ? 22 ? sin 2 3 2 3 2π =( ? 3)(cm2). 3

由题知l=

【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下
nπr nπr 2 的弧长公式l= ,扇形面积公式S= 有着必然的内在联系. 180 360

2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角 所在的三角形.

三角函数的定义 【方法点睛】 1.三角函数定义的理解

在直角坐标系xOy中,设P(x, y)是角α 终边上任意一点,且
|PO|=r,则 sinα= y ;cosα= x ;tanα= y .
r r x

2.定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α 终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距 离r,然后利用三角函数的定义求解.

(2)已知角α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点 的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求

解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α 的
三角函数值.

【例2】已知角α 的终边在直线3x+4y=0上,求

sinα ,cosα ,tanα 的值.
【解题指南】在直线上设出点,求出所设点到原点的距离,求 得三角函数值,因为所设点可在不同象限,所以需要讨论.

【规范解答】∵角α的终边在直线3x+4y=0上, ∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),

则x=4t,y=-3t,
∴ r ? PO ? x 2 ? y 2 ? ? 4t ?2 ? ? ?3t ?2 ? 5 t ,

当t>0时,r=5t,
sinα ? y ?3t 3 x 4t 4 ? ? ? ,cosα ? ? ? , r 5t 5 r 5t 5 y ?3t 3 tanα ? ? ?? ; x 4t 4

当t<0时,r=-5t,
y ?3t 3 ? ? , r ?5t 5 x 4t 4 cosα ? ? ?? , r ?5t 5 y ?3t 3 tanα ? ? ?? . x 4t 4 综上可知, ? ? 3,cosα ? 4 ,tanα ? ? 3; sinα 5 5 4 或 sinα ? 3,cosα ? ? 4 ,tanα ? ? 3; 5 5 4 sinα ?

【反思·感悟】1.利用三角函数定义解题时,方法比较灵活, 若是角α的终边落到一条直线上,一般要分类讨论.

2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系.
(1)联系:锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例,它们

的基础是建立于相似或直角三角形的性质,“r”同为正值.

(2)区别:锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角 函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,它也适合锐角

三角函数的定义.
(3)实质:由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义

是由特殊到一般的认识和研究过程.

同角三角函数关系式的应用 【方法点睛】 同角三角函数关系式的应用 (1)同角三角函数关系式的基本用途:

①根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数
值;

②化简同角三角函数式;
③证明同角的三角恒等式.

(2)注意公式的逆用和变形应用:1=sin2α +cos2α ,sin2α =1cos2α ,cos2α =1-sin2α ,sinα =cosα ·tanα .

【例3】(1)(2012·台州模拟)如果tanα sinα <0,且 0<sinα +cosα <1,那么α 的终边在第______象限. (2)已知π <x<0,sinx+cosx= 1 . 2 5

①求sinx-cosx的值; ②求tanx的值.

【解题指南】(1)先判断sinα、cosα的符号,再确定α所在 象限. (2)①利用平方关系,把已知两边平方得2sinxcosx,再把sinxcosx平方求得(sinx-cosx)2,再根据x的范围得sinx-cosx.

②由sinx+cosx和sinx-cosx求得sinx,cosx,再利用商式关系
求得tanx.

sin 2 α 【规范解答】(1)∵ tanα· ? sinα ?0 cosα

∴cosα<0,又0<sinα+cosα<1,∴sinα>0, ∴α在第二象限. 答案:二 (2)①由sinx+cosx= 1 ,
5

平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= 1 ,
25

即2sinxcosx= ? 24 ,
25

∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= 49 .
25

又∵- π <x<0,∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0,故
2

sinx-cosx=- 7 .
5

②由①得sinx-cosx=- 7 ,
5 1 ? ?sinx ? cosx ? 5 故由 ? 得sinx=- 3 ,cosx= 4 , , ? 5 5 ?sinx ? cosx ? ? 7 ? 5 ? 3 ? sinx 3 ? tanx ? ? 5 ?? . 4 cosx 4 5

【反思·感悟】1.在利用同角三角函数关系式解题时,变形非 常关键,同时“1”的代换也经常巧妙地用在里面,使问题得以

解决.
2.有些题目还用到方程思想,函数思想.

【易错误区】同角三角函数平方关系的应用误区

【典例】(2011·重庆高考)若 cosα ? ? 3,且α ∈(π , ),则
5

3π 2

tanα =______. 【解题指南】根据角所在的范围,先求出sinα的值,再根据商 数关系求出正切值.

3 3π 【规范解答】因为α∈(π, ),cosα ? ? , 所以 5 2 4 sinα 4 sinα ? ? 1 ? cos 2 α ? ? ,tanα ? ? . 5 cosα 3 答案: 4 3

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议: 求解本题时,常会出现以下两种失误: (1)易忽视题目中已知条件α的范围,求得sinα的 两个值而致错. 警




(2)虽注意到α的范围,但判断错sinα的符号而导
示 致tanα的值错误.

由同角三角函数的平方关系求sinα或cosα时,要注 备 意以下两点:




(1)题目中若没有限定角α的范围,则sinα或cosα
的符号应有两种情况,不可漏掉. (2)若已给出α的范围,则要准确判断在给定范围内 sinα或cosα的符号,不合题意的一定要舍去.



1.(2011·新课标全国卷)已知角θ 的顶点与原点重合,始边与 x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ =( (A)- 4
5

)

(B)- 3
5

(C) 3
5

(D) 4
5

【解析】选B.由题意知,tanθ=2,即sinθ=2cosθ,将其代入 sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ= 1 , 故cos2θ=2cos2θ-1=- 3 .
5 5

2.(2011·上海高考)若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别 为E,F,则( )

(A)E? F
(C)E=F

(B)E ?F
(D)E∩F=? ?

【解析】选A.因为sinx=0,sin2x=0,所以角x和角2x的终边都
在x轴上,所以E={x|x=kπ,k∈Z},F={x|x= kπ ,k∈Z},所以
2

E? F.

3.(2011·江西高考)已知角θ 的顶点为坐标原点,始边为x轴 的正半轴,若P(4,y)是角θ 终边上一点,且sinθ =2 5 ,则 5

y=______.
【解析】由P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=- 2 5 可知y
5

<0,|OP|= 4 ? y ,根据任意角的三角函数的定义得
2 2

y 4 ?y
2 2

=

- 2 5 ,化简得 y2 ? 64, 解得y=-8.
5

答案:-8


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