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湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


宜昌市葛洲坝中学 2015-2016 学年第一学期 高一年级期中考试试卷 数学试题
考试时间:2015 年 11 月 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? ?1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , A ? ?2, 4, 6?,B= ?1, 3, 5, 7? ,则 A ? (CU B) =( A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5} ( B. ) )

2.下列四组函数,表示同一函数的是 A. f ( x) ? ( x )2 , g ( x) ? C. f ( x) ? 3. 函数 y =

x2

f ( x) ? lg x2 , g ( x) ? 2 lg x

x ? 2 ? x ? 2 , g ( x) ? x2 ? 4 D. f ( x) ? x, g ( x) ? 3 x3
( )

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)
B. (2, ? ?) D. (2, 4) ? (4, ??)

A. ( ??, 2) C. (2,3) ? (3, ? ?) 4.幂函数 f ( x) ? x? 的图象过点( A.

1 2 , ),则 log2 f (2) 的值为( 2 2
C.2 D.-2



1 2
1

B. ?

1 2

5.设 x ? log 2

1 , y ? 2 2 , z ? 7 ? 2 , 则 x , y , z 的大小关系为( 4
B. z ? x ? y D. x ? z ? y
2



A. y ? z ? x C. x ? y ? z

6.函数 f ( x) ? ?2x ? 6x ??2 ? x ? 2 ? 的值域是 A. ? ?20,





? ?

3 2? ? 2 ?

B. ? ?20, 4?

C. ? ?20, ? 2

? ?

9? ?

D. ? ?20,

? ?

9? ? 2?
)

2 7. 已知函数 f ( x ) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ?

1 ,则 f (?1) ? ( x

A. ?2

B.0

C.1

D.2 ( )
1

8.函数 y ? log 1 ? x2 ? 2 x ? 3? 的单调递减区间为
2

A. ? ??,1? 9. 函数 y ?

B. ? 3, ? ??

C. ? ??, ?1? )

D. ?1 , ? ??

xa x (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是( x

10. 用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值。设

f ( x) ? min ?2 x , x ? 2,10 ? x? ( x ? 0) ,则 f ( x) 的最大值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

(

)

? (a ? 2) x , x ? 2, ? 11. f ( x ) ? ?? 1 ? x 是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是( ) ?? ? ? 1, x ? 2. ?? 2 ?
A. ( ?? , 2) B. ( ?? ,

13 ] 8

C. (0, 2)

D. [

13 , 2) 8
x

?1? 12. 设函数 f ? x ? 定义在实数集上, f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ,且当 x≥1 时, f ? x ? ? ? ? ,则有 ?2?




?1? ? ? ? f ? 2? ? ?2? 1? ? 2? ? f ? ? ?? ?3? ?1? f? ? ? 3? ?1? f? ? ?2?

?1? ?1? A. f ? ? ? f ? 2 ? ? f ? ? B f ?3? ?2? ?1? ?1? C. f ? ? ? f ? ? ? f ? 2 ? D f 2 ? ? ? 3? 二、填空题:(每空 5 分,共 20 分)

?1? 13.满足 ? ? ?4?

x ?3

> 16 的 x 的取值集合是

.

14.函数 f ( x ) ? 2

2x

5 ? ? 2 x ?1 ? 6( x ? [0, 3]) 的值域为 2

15. A=B={(x,y)︱x∈R, y∈R },从 A 到 B 的映射 f : ( x, y) ? ( x ? y, xy) ,A 中元素(m,n) 与 B 中元素(4,-5)对应,则此元素为 .

2

16. 给出下列结论:①.集合 { x ? R | x 2 ? 1} 的子集有 3 个 ②函数 y ? lg - x 2 -4 x +6 的值域是 ? -?,0? ③幂函数图象一定不过第四象限; ④函数 f ( x) ? a x?1 ? 2(a ? 0, a ? 1) 的图象过定点 (?1, ?1) ; ⑤若 ln a ? 1 成立,则 a 的取值范围是 ?? ?, e ? .其中正确的序号是 三、解答题: 17.求值: (10 分) (1) ( 3 2 ? 3) ? 4 ? (
6

?

?

.

16 ? 1 ) 2 ? (?2008)0 49

(2) 2log 3 2 ? log3

32 ? log3 8 ? 52 log5 3 9

18 . ( 10 分 ) 全 集 U ? R , 函 数 f ( x) ?

1 ? lg(3? x ) 的定义域为集合 A ,集合 x?2

B ? x x2 ? a ? 0 .
(1)求 ?U A ; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

?

?

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2,
2

(1)求实数 a 的取值范围,使函数 y ? f ( x) 在区间 [?5, 5] 上是单调函数; (2)若 x ? [?5, 5] , 记 y ? f ( x) 的最小值为 g ( a ) , 求 g ( a ) 的表达式 20. (12 分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入

3

1 2 ? ?400 x ? x ,0 ? x ? 400 100 元,已知总收益满足函数: R ( x) ? ? ,其中 x 是仪器的月产 2 ? ?80000, x ? 400
量 (1) 将利润 f ( x) 表示为月产量 x 的函数 (2)当月产量 x 为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利 润)

21.(12 分)已知函数 f ? x ? ? log a ⑴求函数的定义域; ⑵讨论函数 f ? x ? 的奇偶性;

x ?1 ? a ? 1? x ?1

⑶判断函数 f ? x ? 的单调性,并用定义证明.

22.(14 分)已知函数 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? b (b ? R ) ,记 h( x) ? f ( x) ? (1) 判断 h( x) 的奇偶性(不用证明)并写出 h( x) 的单调区间; (2)若 2 h(2 x) ? mh( x) ? 0 对于一切 x ? [1,2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
x

1 。 f ( x)

(3)对任意 x ? [1,2] ,都存在 x1 , x 2 ? [1,2] ,使得 f ( x) ? f ( x1 ) , g ( x) ? g ( x2 ) . 若 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,求实数 b 的值;

4

宜昌市葛洲坝中学 2015-2016 学年第一学期 高一年级期中考试试卷 数学 答案 一、选择题: A D C A D C A B D C B D

二、填空题: 13、 (- ? ,1) 三、解答题: 17、 (1)100 18、解:(1)∵ ? (2)-7 14、 [ ?

49 ,18] 4

15、 (5,-1)或(-1,5) 16、③④⑤

?x ? 2 ? 0 ?3 ? x ? 0

∴ ?2 ? x ? 3 …………………………………3 分

? 2 ? 3, ? ?? ……………………………5 分 ∴A=(-2,3) ∴ Cu A ? ? ??,
(2)当 a ? 0 时, B ? ? 满足 A ? B ? A 当 a ? 0 时, B ? (? a,a ) ∵ A? B ? A ∴? ∴B ? A ∴0 ? a ? 4 ……………………………9 分 ……………………………6 分

? ?

? ?? a ? ?2 ? ? a ?3

综上所述:实数 a 的范围是 a ? 4 ……………………………………10 分 19、 【解】 对称轴x=-a,当-a ? ?5或-a ? 5时,f(x)在[-5,5]上单调 ∴ a ? 5或a ? ?5 …………………………………5 分

?27 ? 10a a ? ?5 ? g (a) ? ?2 ? a 2 ? 5 ? a ? 5 ?27 ? 10a a ? 5 ?

…………………………………12 分

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000 0 ? x ? 400 20. 解( 1 ) f ( x) ? ? 2 ? ?60000 ? 100 x x ? 400
分 (2)当 0 ? x ? 400 时

…………………………… 6

f ( x) = ?

1 2 1 x ? 300 x ? 20000 = - ( x - 300) 2 +25000 2 2
5

当 x =300时,f ( x) max =25000 当 x ? 400 时

f ( x) = 60000 ? 100 x <20000
综上 当 x =300时,f ( x) max =25000

答:当月产量为 300 台时,利润最大,最大利润是 25000 元. ………………12 分

21、解: (1)使得函数 f ? x ? ? log a 则有

x ?1 ? 0 ,-解得: x ? ?1或x ? 1 .-------------------------2 分 x ?1

x ?1 有意义, x ?1

-1? ? ?1, ?? ? ----------------------------3 分 所以函数 f ? x ? 的定义域为 ? -?,
(2)由(1)可知函数 f ? x ? 的定义域关于原点对称,

?x ?1 x ?1 x ?1 ? x ?1 ? 且 f ? ? x ? ? log a ? log a ? log a ? ? ? f ? x? ? ? ? log a ?x ?1 x ?1 x ?1 ? x ?1 ?
所以函数 f ? x ? 为奇函数.------------------------------------------7 分 (3)函数f ? x ? ? log x ? 1 在 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? 上为减函数????? 8分 a

-1

x ?1

证明:设 x2 ? x1 ? 1 ,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? log a

x1 ? 1 x ?1 x x ? x ? x ?1 ? log a 2 ? log a 1 2 2 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? x2 ? x1 ? 1

? 2 ? x2 ? x1 ? ? ? log a ?1 ? ? ????10分 ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ?

? x2 ? x1 ? 1, ? x2 ? x1 ? 0, ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0, ?1 ?

2 ? x2 ? x1 ? ?1 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?

? 2 ? x2 ? x1 ? ? 又? a ? 1, ? log a ?1 ? ? ? 0????11分 ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ?

即f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ? 在?1, +? ? 单调递 又? f ? x ? 为奇函数,? f ? x ? 在? -?, -1? 上也为减函数---------------12 分
6

22、 (Ⅰ)函数 h( x) ? 2 x ?

1 2x

为奇函数,在 R 上单调增…………3 分

x 2x (Ⅱ)当 x ?[1,2] 时, 2 (2 ?

1 1 ) ? m(2 x ? x ) ? 0 2x 2 2

即 m(22 x ? 1) ? ?(24 x ? 1) ,∵ 22 x ? 1 ? 0 ,∴m ? ?(22 x ? 1) 令 k ( x) ? ?(22 x ? 1) , x ?[1,2] 下面求函数 k ( x) 的最大值。

∵ x ?[1,2] ,∴?(22 x ? 1) ?[?17, ?5] ∴ k ( x)max ? ?5
故 m 的取值范围是 [?5, ??) ………………………………………………………8 分 (Ⅲ)据题意知,当 x ??1,2? 时, f ( x)max ? f ( x1 ) , g ( x)max ? g ( x2 ) …………10 分 ∵

f ( x) ? 2x 在区间 ?1,2? 上单调递增, ? 2 x ? b ? ?( x ? 1)2 ? b ? 1

∴ f ( x)max ? f (2) ? 22 ? 4 ,即 f ( x1 ) ? 4 又∵ g ( x) ? ? x ∴函数 y ?
2

g ( x) 的对称轴为 x ? 1 ∴函数 y ? g ( x) 在区间 ?1,2? 上单调递减

∴ g ( x)max ? g (1) ? 1 ? b ,即 g ( x2 ) ? 1 ? b 由 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 得 1 ? b ? 4 ,∴ b ? 3 ………………………………………………………………14 分

7


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