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辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 潮汐对船舶入港的影响


辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能 力测试活动学生 潮汐对船舶入港的影响

内容提要:潮汐影响天气、经济,尤其对船舶的停靠产生至关重要的影响。根据人教版 数学必修 4 中的建模资料,通过分析,建立了某港口的时间与水深的函数关系,选择了最佳 拟合函数——正弦函数 F(x) =Asin(?x+?) +h ,通过分析 F(x),从理论上可以解决以下 三个问题: (1)由函数模型可以给出任意时刻的水深近似数值; (2)由函数模型可以得到不同类型船舶(吃水深度)的进港时刻以及停留时间; (3)通过模型分析,当港口水深在发生变化时,船舶的入港时间以及安全离港时间。

主题词:潮汐;二次函数;正弦函数;数学建模

1. 问题陈述 凡是到过海边的人们,都会看到海水有一种周期性的涨落现象:到了一定时间,海水推 波助澜,迅猛上涨,达到高潮;过后一些时间,上涨的海水又自行退去,留下一片沙滩,出 现低潮。如此循环重复,永不停息。海水的这种运动现象就是潮汐。潮汐这种自然现象,是 由于日、月引潮力的作用,使地球的岩石圈、水圈和大气圈中分别产生的周期性的运动和变 化。 在不考虑其他星球的微弱作用的情况下, 月球和太阳对海洋的引潮力的作用是引起海水 涨落的原因。根据潮汐的周期,可分为以下三类: (1)半日潮型:一个太阳日内出现两次高潮和两次低潮,前一次高潮和低潮的潮差与后一 次高潮和低潮的潮差大致相同,涨潮过程和落潮过程的时间也几乎相等(6 小时 12.5 分)。 我国渤海、东海、黄海的多数地点为半日潮型,如大沽、青岛、厦门等。 (2)全日潮型:一个太阳日内只有一次高潮和一次低潮。如南海汕头、渤海秦皇岛等。南 海的北部湾是世界上典型的全日潮海区。 (3)混合潮型:一月内有些日子出现两次高潮和两次低潮,但两次高潮和低潮的潮差相差 较大,涨潮过程和落潮过程的时间也不等;而另一些日子则出现一次高潮和一次低潮。我国 南海多数地点属混合潮型。如榆林港,十五天出现全日潮,其余日子为不规则的半日潮,潮 差较大。不论哪种潮汐类型,在农历每月初一、十五以后两三天内,各要发生一次潮差最大 的大潮,那时潮水涨得最高,落得最低。在农历每月初八、二十三以后两三天内,各有一次 潮差最小的小潮,届时潮水涨得不太高,落得也不太低。 潮汐影响天气、经济,尤其对船舶的停靠产生至关重要的影响。在通常情况下,船在 涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋。那么,如何选择恰当的时机停靠 船舶呢?本学期我们学习了数学必修 4,在章末的数学建模活动中给了一组某港口在某季节 每天的时间与水深的关系表(见表一) :

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表一:某港口时间与水深关系 时刻(t) 水深(h 米) 0:00 5 3:00 7.5 6:00 5 9:00 2.5 12:00 5 15:00 7.5 18:00 5 21:00 2.5 24:00 5

2. 情况分析及模型建立 通过时刻与水深的关系(图一)可以看出,此函数在定义域内不单调,所以不能用单 调函数去拟合。

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图一:时间与水深关系

用光滑的曲线去逼近这些散点, 得到了图二。 根据图二中的曲线, 可以用二次函数 (分 段)和三角函数中的正弦、余弦函数去模拟。

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2.1 选用函数模型

(1)二次函数模型

根 据 图 二 中 的 曲 线 , 用 二 次 函 数 y?-

5 2 5 x ? x ? 5,x ? ? 0, 9? , 18 3

y?-

5 5 2 ? 5,x ? ?9,21? 拟合图二中的曲线 ? x-12 ? ? (x-12) 18 3

=Asin(?x+?) +h 模型 (2)正弦函数 F(x) =Asin(?x+?) +h 去拟合此曲线。以时间 根据图二中的曲线,用正弦函数 F(x)
为横坐标,水深为纵坐标,由直角坐标系中的散点图,可以确定函数 中的参数

A、?、?、h 的取值,其中: A=2.5,? = ? ,? =0,h=5 ,从而得到 6

F(x) ? 2.5sin

?

6

x?5
?
6 x) +5 。

=2.5sin( 所以,这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为: F(x)

根据此函数解析式, 可以看出函数曲线比较逼近港口的水深与时间关系曲线 (图三) 。

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由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 图三 4. 模型应用 应用(一) :根据模型可以得到此港口任意时刻的水深的近似数值; 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 0:00 5 6:00 5 12:00 5 18:00 5 1:00 6.25 7:00 3.754 13:00 6.25 19:00 3.754 2:00 7.165 8:00 2.835 14:00 7.165 20:00 2.835 3:00 7.5 9:00 2.5 15:00 7.5 21:00 2.5 4:00 7.165 10:00 2.835 16:00 7.165 22:00 2.835 5:00 6.25 11:00 3.754 17:00 6.25 23:00 3.754

应用(二) :由函数模型可以得到不同类型船舶(吃水深度)的进港时刻以及停留时间 例如,一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定:至少要有 1.5 米的安全间隙(船底与海底的距离) ,该船何时能进入港口?在港口能呆多久?

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图四

由已知:安全水深为 4+1.5=5.5(m) ? 所以,令 y ? 2.5sin x =5.5 ?5

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解得:xA≈0.3848, xB≈5.6152 由 x∈[0,24],函数周期为:12 所以 xC≈12+0.3848=12.3848,xD≈12+5.6152=17.6152 因此,货船可以在 0:30 左右进港,早晨 5:30 左右出港;或在中午 12:30 左右进港, 下午 17:30 左右出港,每次可停留 5 个小时左右 应用(三) :通过模型分析,当港口水深在发生变化时,船舶的入港时间以及安全离港时间 例如,某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以 每小时 0.3 米的速度减小,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 设在时刻 x 船舶的安全水深为 y, 那么 y=5.5-0.3(x-2)(x≥2),在同一坐标系内作出这两个 函数的图象,可以看到在 6 时到 7 时之间两个函数图象有一个交点.

当 x=6 时,y=4.3;x=6.5 时,y=4.2,安全水深为 4.1;当 x=7 时,y=3.8,安全水深为 4. 因此为了安全,船舶最好在 6.5 时之前停止卸货,将船舶驶向较深的水域.
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参考文献: [1]袁震东、蒋鲁敏、束金龙。数学建模简明教程。上海:华东师范大学出版社, 2002 年。 [2]刘来福、曾文艺。数学模型与数学建模。北京:北京师范大学出版社,1997 年。 [3] 袁震东等。数学建模。上海:华东师范大学出版社,2002 年。 [4] 袁震东、赵小平、吴长江。数学建模。上海:华东师范大学出版社,2009 年。 [5]王尚志,李延林主编:《中学生数学建模论文集》,东北师范大学出版社,2003 年。 [6] 叶其孝,数学建模(1-4),北京:高等教育出版社,2000。

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