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2015年江苏高考数学试卷(含附加题)


2015 年高考·江苏卷·数学
注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部 分.本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. . 2.答题前,请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答 .. 题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 1 参考公式:锥体的体积公式为 V= Sh,其中 S 是锥体的底面面积,h 是高. 3 一.填空题: 本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题 卡 相应位置上 . .. . ..... 1.设集合 A={1,2,3 },B={2,4,5 },则 A∪B 中元素的个数 【答案】 【解析】 2.已知一组数据 4、6、5、8、7、6,那么这组数的平均数为 【答案】 【解析】 3.若复数 z 满足 z =3+4i (i 是虚数单位),则复数 z 的模_________________ 【答案】 【解析】 4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为___________ s← 1 I← 1 While I<8 s←s+2 I←I+3 End While Print s 【答案】 【解析】 5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随 机摸出 2 只球,则这两只球颜色不同的概率是 ▲ . 【答案】 【解析】 6.已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+n b=(9,-8), ( m,n∈R) ,则 m-n 的值为 ▲ 【答案】
2





【解析】 7.不等式 2 【答案】 【解析】 8.已知 tan ? ? ?2,tan(? ? ? ) ? 【答案】 【解析】 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变, 但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个, 则 新的底面半径为 。 【答案】 【解析】 10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切 的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 【答案】 【解析】
* 11.数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1 ( n ? N ) ,则数列 {

x 2 ?x

? 4 的解集为

1 ,则 tan ? 的值 7

.



1 } 的前 10 项和 an

为 【答案】 【解析】



12.在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点。若点 P 到直线
2 2

x ? y ? 1 ? 0 的距离对 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为
【答案】 【解析】 13.已知函数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ? 数为 【答案】 【解析】 。



? 0,0 ? x ? 1 ,则方程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 实根的个 2 | x ? 4 | ? 2 , x ? 1 ?

14 . 设 向 量 ak ? (cos 为 【答案】. 【解析】 。

k? k? k? , sin ? cos )( k ? 0,1,2,? ,12) , 则 6 6 6

? (a
k ?0

12

k

? ak ?1 ) 的 值

........ 二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明.证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 AB=2,AC=3,A=60o (1)求边 BC 的值; (2)求 sin2C. 【答案】 (1) 7 ; (2)

4 3 7

【解析】 (1)根据题意可知 c=2,b=3,A=60o,由余弦定理可知 BC2=a2=b2+c2-2abcosA=7 故 BC= 7 (2)由余弦定理可知 cosC=

b2 ? a2 ? c2 2 = ,又 C ? 2ab 7

?? ? 3 ? ? 2 ,? ? ? ,sinC= 7 ? ?

sin2C=2 sinCcosC=

4 3 7

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AC ? BC, BC ? CC1 .设 AB1 的中点为 D,

B1C ? BC1 ? E.
求证: (1) DE / /平面AACC 1 1 (2) BC1 ? AB1

【答案】 【解析】 17. (本小题满分 14 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一 条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 ,山区边界曲线 为 C,计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 的距离

分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 1, l2 所在的直 线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y ? 为常数)模型. (I)求 a,b 的值; (II)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

a (其中 a,b x ?b
2

【答案】 【解析】 18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点, 线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

【答案】 【解析】 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R) 。
3 2

(1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取 值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值。

3 2

3 2

【答案】 【解析】 20. (本小题满分 14 分) 设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d ( d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列 (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次成等比数列,并说明理由 (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1n , a2n?k , a3n?3k , a4n?5k 依次成等比数列,并说明理 由
a a a a

【答案】 【解析】

数学附加题
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题 .. 纸指定区域内 作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ...... A. (几何证明选讲选做题) A、 (本小题满分 10 分) 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , ?ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于点 D 求证: ?ABD ? ?AEB

【答案】

【解析】 B. (矩阵与变换选做题) (本小题满分 10 分) 已知 x, y ? R ,向量 ? ? ?

? x 1? ?1? 是矩阵 A ? ? ? ? 的属性特征值 ? 2 的一个特征向量,矩阵 ?? 1? ? y 0?

A 以及它的另一个特征值。

【答案】 【解析】 C. (坐标系与参数方程选做题)

? 已知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2 ? sin(? ? ) ? 4 ? 0 ,求圆 C 的半径. 4

【答案】 【解析】 D. (不等式选做题)

解不等式 x? | 2 x ? 3 |? 3
【答案】 【解析】 22. 【必做题】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为 直 角 梯 形 ,

?ABC ? ?BAD ?

? , PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1
2

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 【答案】 【解析】

23. 【必做题】已知集合 X ? {1, 2,3}, Yn ? {1, 2,3, , n}(n ? N * ) ,设

Sn ? {(a, b) | a整除b或除a, a ? X , b ?Yn } ,令 f (n) 表示集合 Sn 所含元素个数.
(1)写出 f (6) 的值; (2)当 n ? 6 时,写出 f (n) 的表达式,并用数学归纳法证明。

【答案】 . 【解析】


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