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高中数学必修五知识点与练习题


(二)数列

1

2

(三)不等式

3

新课标人教版必修 5 高中数学 综合检测试卷
1.如果 log3 m ? log3 n ? 4 ,那么 m ? n 的最小值是( ) ) A.4 B. 4 3 C.9 D.18 * 2、 数列 ?an ? 的通项为 an = 2n ? 1 ,n ? N , 其前 n 项和为 S n , 则使 S n >48 成立的 n 的最小值为 ( A.7 B.8 C.9 D.10 2 3、若不等式 8x ? 9 ? 7 和不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集相同,则 a 、 b 的值为( ) A. a =﹣8 b =﹣10 B. a =﹣4 b =﹣9 C. a =﹣1 b =9 D. a =﹣1 b =2 4、△ABC 中,若 c ? 2a cos B ,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 1 5、在首项为 21,公比为 的等比数列中,最接近 1 的项是( ) 2 A.第三项 B.第四项 C.第五项 D.第六项 a 6、在等比数列 ?an ? 中, a7 ? a11 =6, a4 ? a14 =5,则 20 等于( ) a10 2 3 3 2 2 3 A. B. C. 或 D.﹣ 或﹣ 3 2 2 3 3 2 7、△ABC 中,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? bc ,则 A 的度数等于( ) A. 120 B. 60 C. 150 D. 30 * 8、数列 ?an ? 中, a1 =15,3an?1 ? 3an ? 2( n ? N ) ,则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( A. a21a22 B. a22 a23 C. a23 a24 D. a24 a25



4

9、某厂去年的产值记为 1,计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10% ,则从今年起到第五年, 这个厂的总产值为( ) 4 A. 1.1 B. 1.15 C. 10 ? (1.16 ?1) D. 11? (1.15 ? 1) 10、已知钝角△ABC 的最长边为 2,其余两边的长为 a 、 b ,则集合 P ? ?( x, y) | x ? a, y ? b?所表示 的平面图形面积等于( ) A.2 B. ? ? 2 C.4 D. 4? ? 2 11、在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 12.函数 y ? lg(12 ? x ? x2 ) 的定义域是 13.数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 2an ? 3(n ? N * ) ,则 a5 ?
?2 x ? y ? 2 ? 14、设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?

15、 《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目: 1 把 100 个面包分给五人,使每人成等差数列,且使最大的三份之和的 是较小的两份之和,则 3 最小 1 份的大小是 16、已知数列 ?an ? 、 ?bn ?都是等差数列, a1 = ?1, b1 ? ?4 ,用 S k 、 S k ' 分别表示数列 ?an ? 、 ?bn ?的 前 k 项和( k 是正整数) ,若 S k + S k ' =0,则 a k ? bk 的值为 cos B b ?? 17、△ABC 中, a, b, c 是 A,B,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且 cos C 2a ? c (1)求∠B 的大小; (2)若 a =4, S ? 5 3 ,求 b 的值。

18、已知等差数列 ?an ? 的前四项和为 10,且 a2 , a3 , a7 成等比数列 (1)求通项公式 an (2)设 bn ? 2an ,求数列 bn 的前 n 项和 s n

5

19、已知: f ( x) ? ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab ,当 x ? (?3,2) 时, f ( x) ? 0 ; x ? (??,?3) ? (2,??) 时, f ( x) ? 0 (1)求 y ? f ( x) 的解析式 (2)c 为何值时, ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R.

20、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1 (阴影部分)和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米。 (1)若设休闲区的长 A1B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ( x) 的解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?
D D1 C1 C
4米

A1 A
10 米

B1

4米

10 米 B

?x ? 0 ? 21、设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均 ? y ? ? nx ? 3n ?

为整数的点)个数为 f (n)(n ? N * ) (1)求 f (1), f (2) 的值及 f (n) 的表达式; f (n) ? f (n ?1) (2)记 Tn ? ,试比较 Tn与Tn?1 的大小;若对于一切的正整数 n ,总有 Tn ? m 成立, 2n 求实数 m 的取值范围; (3)设 S n 为数列 ?bn ?的前 n 项的和,其中 bn ? 2 f ( n) ,问是否存在正整数 n, t ,使 立?若存在,求出正整数 n, t ;若不存在,说明理由

S n ? tbn 1 成 ? S n?1 ? tbn?1 16

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必修 5 综合测试 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.C; 6.C; 7.A; 8.C; 9.D; 10.B;11. 4 6 ; 12. ? x ?3 ? x ? 4? ; 14.18; 15.10; 16.5; cos B b cos B sin B ?? ? ?? 17、⑴由 cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? 2sin A cos B ? ? sin B cos C ? cos B sin C
? 2sin A cos B ? ? sin( B ? C ) ? 2sin A cos B ? ? sin A
1 2 ? cos B ? ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? ? 2 3

13. 48 ;

1 1 3 ⑵由a ? 4, S ? 5 3有S ? ac sin B ? ? c ? ?c?5 2 2 2 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b2 ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ? 3 ? b ? 61 2

?4a1 ? 6d ? 10 18、⑴由题意知 ? 2 ?(a1 ? 2d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 6d )
5 ? ?a1 ? ?2 ?a1 ? ?? 或? 2 ?d ? 3 ? ?d ? 0

所以 an ? 3n ? 5或an ?

5 2
1 、公比为 8 的等比数列 4

⑵当 an ? 3n ? 5 时,数列 ?bn ? 是首项为

1 (1 ? 8n ) 8n ? 1 所以 Sn ? 4 ? 1? 8 28
当 an ?
5 5 5 时, bn ? 2 2 所以 Sn ? 2 2 n 2

5 8n ? 1 综上,所以 S n ? 或 Sn ? 2 2 n 28

19、⑴由 x ? (?3,2) 时, f ( x) ? 0 ; x ? (??,?3) ? (2,??) 时, f ( x) ? 0 知: ?3, 2 是是方程 ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab ? 0 的两根

7

b ?8 ? ?3 ? 2 ? ? ? ?a ? ?3 ? a ?? ? ?b ? 5 ? ?3 ? 2 ? ? a ? ab ? a ?

? f ( x) ? ?3x2 ? 3x ? 18
⑵由 a ? 0 ,知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象开口向下 要使 ?3x2 ? 5x ? c ? 0 的解集为 R,只需 ? ? 0 即 25 ? 12c ? 0 ? c ? ∴当 c ?
25 12

25 时 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R. 12 4000 20、⑴由 A1B1 ? x ,知 B1C1 ? x 4000 S ? ( x ? 20)( ? 8) x 80000 ? 4160 ? 8 x ? ( x ? 0) x

⑵ S ? 4160 ? 8 x ? 当且仅当 8 x ?

80000 80000 ? 4160 ? 2 8 x ? 5760 x x

80000 即x ? 100 时取等号 x ∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米、宽为 40 米.

21、⑴ f (1) ? 3, f (2) ? 6 当 x ? 1 时, y 取值为 1,2,3,…, 2 n 共有 2 n 个格点 当 x ? 2 时, y 取值为 1,2,3,…, n 共有 n 个格点 ∴ f (n) ? n ? 2n ? 3n
f (n) f (n ? 1) 9n(n ? 1) T ? ⑵ Tn ? ? n ?1 ? n n 2 2 Tn

9(n ? 1)(n ? 2) n?2 2n ?1 ? 9n(n ? 1) 2n 2n

当 n ? 1, 2 时, Tn?1 ? Tn 当 n ? 3 时, n ? 2 ? 2n ? Tn?1 ? Tn ∴ n ? 1 时, T1 ? 9

8

n ? 2,3 时, T2 ? T3 ?
n ? 4 时, Tn ? T3

27 2

∴ ?Tn ? 中的最大值为 T2 ? T3 ?

27 2
27 27 ? m∴m ? 2 2

要使 Tn ? m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需 ⑶ bn ? 2 f ( n ) ? 23n ? 8 n ? Sn ?

8(1 ? 8n ) 8 n ? (8 ?1) 1? 8 7

将 Sn 代入

S n ? tbn S n?1 ? tbn?1

?8 ? n 8 ? ? t ?8 ? 1 7 ? 7 1 ? (﹡) ? ,化简得, ? ?8 ? n 1 2 16 ? ? t ?8 ? 7 ?7 ?

8n 8 ? n 7 ? 1 , 即 8 ? 15 ,显然 n ? 1 若 t ? 1时 7 8n 1 2 7 7 ? 7 7
1 15 ?8 ? ?8 ? 若 t ? 1 时 ? ? t ? 8n ? ? 0 (﹡)式化简为 ? ? t ? 8n ? 不可能成立 7 7 ?7 ? ?7 ?

综上,存在正整数 n ? 1, t ? 1 使

S n ? tbn 1 成立. ? S n?1 ? tbn?1 16

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