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人教A版选修【2-3】3.1.1《线性回归方程》习题及答案


数学· 选修 2-3(人教 A 版)

统计案例

3.1.1

线性回归方程

一、选择题 1. 下列 4 个散点图中, 不能用回归模 型拟合的两个变量是 ( )

解析:观察散点图可知,选项 B 中的点近似分布在一条抛物线 附近,可以转化为线 性回归模型;选项 C、D 中的点近似分布在一条 直线附近,选项 A 中的点无规律.故选 A. 答案:A

2.下表给出 5 组数据(x,y),为选出 4 组数据使线性相关程度 最大,且保留第 1 组数据,则应去掉( )

i xi yi A.第 2 组 C. 第 4 组

1 -5 -3

2 -4 -2

3 -3 4

4 -2 -1

5 4 6

B.第 3 组 D. 第 5 组

解析:作出散点图,可知,去掉第 3 组(-3,4)后的 4 组数据大 致 分布在一条直线附近.故选 B. 答案:B

3.对于线性相关系数 r,下列说法中正确的是(

)

A.|r|∈(-∞, +∞),|r|越大,相关程度越大;反之,相关程 度越小 B.|r|≤1,r 越大,相关程度越大;反之,相关程度越小 C.|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相 差程度越小 D.以上说法都不正确

答案:C

4.工人月工资 y(元)关于劳动生产率 x(千元)的回归方程为^ y= 650+80x,下列说法中正确的个数是( )

①劳动生产率为 1 000 元时,工资为 730 元; ②劳动生产率提高 1 000 元时,则工资提高 80 元; ③劳动生产率提高 1 000 元时,则工资提高 730 元; ④当月工资为 810 元时,劳动生产率约为 2 000 元.

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

答案:C

5.某产品的广告费用 x(万元)与销售额 y(万元)的统计数据如下 表: 广告费用 x/ 万元 4 2 26 3 39 5 54

销售额 y/万元 49

根据上表可得回归方程^ y =^ bx+^ a 中的^ b为 9.4,据此模型预报广 告费用为 6 万元时销售额为( A.63.6 万元 C. 67.7 万元 )

B.65.5 万元 D.72.0 万元

解析:由表可计算 x =
? ?

4+2+3+5 7 49+26+39+54 = ,y= = 4 2 4

?7 ? 4 2,因为点?2,42?在回归直线^ y =^ b x+ ^ a 上,且^ b为 9.4,所以 42=

7 9.4× +^ a , 解得^ a =9.1,故回归方程为^ y =9.4x+9.1, 令 x=6,得^ y 2 =65.5(万元),选 B. 答案:B

二、填空题 6.已知关于两个变量 x、y 的回归方程为^ y = 1.5x + 45 , x∈{1,5,7,13,19} , 则 - y =

___________________________________________________________ _____________. 解析:易知- x = 9,因为- y = 1.5- x + 45,所以- y = 1.5- x + 45= 1.5×9+45=58.5. 答案:58.5 7. 若对于变量 y 与 x 的 10 组统计数据的回归模型中, R2=0.95, 又 知 残 差 平 方 和 为 120.53 , 那 么 ? (yi - - y )2 的 值 为
i= 1 10

________________.

解析: 依题意有 0.95 = 1 -

120.53 y ?2 ? ?yi--
i= 1 10

,所以 ? (yi - - y )2 = 2
i= 1

10

410.6. 答案:2 410.6

8.某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm,170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关, 该老师用 线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.

答案:185

三、解答题 9.在 10 年期间,一城市居民年收入与某种商品的 销售额之间

的关系见下表:

第几年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1)画出散点图;

城市居民年收 入 x/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0

某商品的销 售额 y/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0

(2)如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近,求 y 与 x 之 间的线性回归方程;
[来源:学科网 ZXXK]

(3)试预测居民年收入 50 亿元时这种商品的销售额.

解析:(1)散点图如下图所示:

(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线的附近.列表,利 用计算器进行计算: 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑
10

xi 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 379.7

yi 30.0

xi2 967.21

y2 i 625 900 1 156 1 369 1 521 1 681 1 764
学。科。网] [来源 :

x i yi 805 933 1 118.6
[来源 :学科网 ]

25.0 1 036.84 34.0 1 082.41 37.0 1 281.64 39.0 1 376.41 41.0 42.0 44.0 51.0 391 1 444 1 521 1 849 2 116 14 663.67

1 324.6 1 446.9 1 558 1 638 1 892 2 140.8 2 346 15 202.9

1 936 2 304 2 601 15 857

48.0 1 989.16

?xiyi-10 x y
^ b=
i= 1


2 ?x2 i -10 x i= 1 10

15 202.9-10×37.97×39.1 ≈1.447, ?379.7?2 14 663.67-? 10 ? ×10 ? ? ^ y = y -^ b x =39.1-1.447×37.97≈-15.84, 故所求线性回归方程为^ y =1.447x-15.84. ^ (3)根据上面求得的线性回归方程, 当居民年收入 50 亿元时, y= 1.447×50-15.84=56.51(万元),即这种商品销售额大约为 56.51 万

元.

[来源 :学 _科 _网 ]

10.为了研究三月下旬的平均气温 x(℃)与四月二十号前棉花害 虫化蛹高峰日 y 的关系,某地区观察了 2007 年至 2012 年的情况,得 到下面的数据: 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 x/℃ y 24.4 19 29.6 6 32.9 1 28.7 10 30.3 1 28.9 8

据气象台预测, 该地区在 2013 年三月下旬平均气温为 27 ℃, 试 估计 2013 年四月化蛹高峰日为哪天.

解析:画出 x 与 y 的散点图可知,x 与 y 有线性相关关系(图略). 16 16 x = ?xi=29.13, y = ?yi=7.5, 6 i= 1 6 i= 1

?xi2=5 130.92, ?xiyi=1 222.6,
i= 1 i= 1 6

6

6

?xiyi-6 x y
∴^ b=
i= 1 6

=-2.2,

2 ?x2 i -6 x i= 1

^ a = y -^ b x =7.5-(-2.2)×29.13=71.6. ∴回归直线方程为^ y =-2.2x+71.6. 当 x=27 时,^ y =-2.2×27+71.6=12.2. 据此,可估计该地区 2013 年 4 月 12 日或 13 日为化蛹高峰日.


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