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新课程标准数学必修4第二章课后练习习题(含答案)


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新课程标准数学必修 4 第二章课后习题解答
一、选择题 1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为 18 N 的力和一个水平向左、大小为 28 N 的 力(1 cm 长表示 10 N). 解:略. ??? ? ??? ? 2、 非零向量 AB 的长度怎样表示? 非零向量 BA 的长度怎样表示?这两个向量的长度相等吗?这 两个向量相等吗? ??? ? ??? ? 解: AB , BA . 这两个向量的长度相等,但它们不等. 3、指出图中各向量的长度。

??? ? ??? ? ??? ? ???? 解: AB ? 2 , CD ? 2.5 , EF ? 3 , GH ? 2 2 .
4、 (1)用有向线段表示两个相等的向量,如果有相同的起点.那么它们的终点是否相同? (2)用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量,如果有相同的起点.那么它们的终点是 否相同? 解: (1)它们的终点相同; (2)它们的终点不同. 5、在如图所示的坐标纸中,用直尺和圆规画出下列向量: ??? ? (1) OA ? 4 ,点 A 在点 O 正南方向;

??? ? (2) OB ? 2 2 ,.点 B 在点 O 北偏西 450 方向.

???? (3) OC ? 2 ,点 C 在点 O 南偏西 60 0 方向.
解:

B
45°

O
30°

C

A

6、一人从点 A 出发,向东走 500 米到达点 B,接着向北偏东 60 0 走 300 米到达点 C,然后再向 北偏东 450 走 100 米到达点 D.试选择适当的比例尺,用向量表示这个人的位移. 解:

D C A B
??? ??? ??? ? ? ?

7、如图,D、E、F 分别是 ? ABC 各边的中点,写出图中与 DE, EF , FD 相等的向量。

? ? ? ? ? 解:与 ???? 相等的向量有: ??? ??? ;与 ??? 相等的向量有: ??? ??? ; DE EF AF , FC BD, DA
??? ? ??? ??? ? ? 与 FD 相等的向量有: CE, EB .
8、如图,在方格纸上的 ? ABCD 和折线 MPQRST 中,点 O 是 ? ABCD 的对角线的交点,且

??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ?? OA ? a, OB ? b, AC ? c ,分别写出图中与 a, b, c 相等的向量。

? ? ??? ??? ??? ? ? ???? ???? ? 解:与 a 相等的向量有: CO, QP, SR ;与 b 相等的向量有: PM , DO ;
? ???? ??? ??? ? ? 与 c 相等的向量有: DC, RQ, ST
???? ???? 9、已知边长为 3 的等边三角形 ABC,求 BC 边上的中线向量 AD 的模 AD .

???? 3 3 解: AD ? . 2
10、判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√” ,错误的打“×”),并说明理由. (1)若 a、b 都是单位向量,则 a=b. (2)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量. 0 0 (3)方向为南偏西 60 的向量与北偏东 60 的向量是共线向量. (4)直角坐标平面上的 x 轴、y 轴那是向量. 解: (1)×; (2)√; (3)√; (4)×. 11、有人说.由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示,海平面以下的高度用负数表示,所以 海拔也是向量.你同意他的看法吗?温度、角度是向量吗?为什么? 解:海拔和高度都不是向量. 12、在矩形 ABCD 中,AB=2BC.M. N 分别为 AB 和 CD 的中点.在以 A、B、C、D、M、N 为起点和 终点的所有向量中,相等向量共有多少对? ???? ? ???? ? 解: 相等的向量共有 24 对. 模为 1 的向量有 18 对. 其中与 AM 同向的共有 6 对, AM 反 与

???? ???? 向的也有 6 对;与 AD 同向的共有 3 对,与 AD 反向的也有 6 对;模为 2 的向量共有 4 对;
模为 2 的向量有 2 对 13、如图,己知 a, b,用向量的三角形法则作出 a+b.

解:图略. 14、如图,己知 a, b,用向量的平行四边形法则作出 a+b.

解:图略. 15、根据图示填空: (1)a+d=_________(2)c+b=_________.

??? ? 解: (1) DA ;

??? ? (2) CB .

16、根据图示填空: (1)a+b=_________(2)c+d=_________; (3)a+b+d=_________(4)c+d+e=_________.

解: (1) c ;

?

(2) f ;

??

(3) f ;

??

(4) g .

? ?

17、如图,已知 a、b,求作 a ? b.

解:图略. 18、填空: ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ???? ? AB ? AD ? ________; BA ? BC ? ________; BC ? BA ? ________; OD ? OA ? ________;

??? ??? ? ? OA ? OB ? ________;

? ? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? 解: DB , CA , AC , AD , BA .
19、作图验证: ? (a+b)= ? a ? b. 解:图略. 20、任画一向量 e,分别求作 a=4e,b= ? 4e. 解:图略.

??? ? ? ??? ??? ? ??? ? AC 5 ? ,则 AC ? ____ AB , BC ? ____ AB . CB 2 ???? 5 ??? ??? ? ? ? 2 ??? 解: AC ? AB , BC ? ? AB . 7 7
21、点 C 在线段 AB 上,且

??? ??? ? ? 说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是 BC 与 AB 反向.
22、把下列各小题中的向量 b 表示为实数与向量 a 的积: (1)a=3e,b=5e; (2)a=8e,b= ? 14e; (3)a= ?

? ? 解: (1) b ? 2a ;

? 7? (2) b ? ? a ; 4

2 1 3 2 e,b= e; (4)a= ? e,b= ? e. 3 3 4 3 ? ? ? 8? 1 (3) b ? ? a ; (4) b ? a . 2 9

23、判断下列各小题中的向量 a 与 b 是否共线: (1)a= ? 2e,b=2e; (2)a=e1 ? e2,b= ? 2e1+2e2. 解: (1)共线; 24、化简: (2)共线.

(1)5(3a ? 2b)+4(2b ? 3a)

1 1 1 (2) (a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? (a ? b) 3 4 2
(3) ( x ? y ) a ? ( x ? y ) a

? ? 解: (1) 3a ? 2b ;

(2) ?

11 ? 1 ? a? b; 12 3

(3) 2ya .

?

25、已知向量 OA, OB (O、A、B 三点不共线) ,求作下列向量:

??? ??? ? ?

???? 1 ??? ??? ? ? ? ???? 1 ??? ??? ? ? (1) OM ? (OA ? OB ) (2) ON ? (OA ? OB ) 2 2 解:图略.

???? ??? ? ??? ? (3) OG ? 3OA ? 2OB

26、设 a 表示“向东走 10 km",b 表示“向西走 5 km",c 表示“向北走 10 km", d 表示“向 南走 5 km",试说明下列向量的意义: (1) a+a;(2) a+b;(3) a+c; (4) b+d;(5) b+c+b;(6) d+a+d.
解: (1)向东走 20 km;

(2)向东走 5 km;

(3)向东北走10 2 km;

(4)向西南走 5 2 km; (5)向西北走 10 2 km; (6)向东南走 10 2 km. 27、一架飞机向北飞行 300 km,然后改变方向向西飞行 400 km,求飞机飞行的路程及两次位 移的合成. 解:飞机飞行的路程为 700 km;两次位移的合成是向北偏西 53°方向飞行 500 km. 28、一艘船以 8km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 2 km/h.求船实际航 0 行的速度的大小与方向(精确到 1 ). ??? ? ???? 解:如右图所示: AB 表示船速, AD 表示河水 的流速,以 AB 、 AD 为邻边作□ ABCD , ??? ? 则 AC 表示船实际航行的速度.

B

C

??? ? ???? 在 Rt△ABC 中, AB ? 8 , AD ? 2 ,
???? 所以 AC ? ??? 2 ???? 2 ? AB ? AD ? 82 ? 22 ? 2 17

因为 tan ?CAD ? 4 ,由计算器得 ?CAD ? 76?

A

D

水流方向

所以,实际航行的速度是 2 17 km/h ,船航行的方向与河岸的夹角约为 76°. 29、化简: ??? ??? ??? ? ? ? ???? ???? ??? ???? ? ? ? (1) AB ? BC ? CA (2) ( AM ? MB) ? BO ? OM

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? (3) OA ? OC ? BO ? CO

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ???? ???? ? ??? ???? ???? ? (4) AB ? AC ? BD ? CD (5) OA ? OD ? AD (6) AB ? AD ? DC
(7) NQ ? QP ? MN ? MP

???? ??? ???? ???? ? ?

? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 解: (1) 0 ; (2) AB ; (3) BA ; (4) 0 ; (5) 0 ; (6) CB ; (7) 0 .
30、作图验证: 1 1 1 1 (1) (a+b)+ (a-b)=a; (2) (a+b)- (a-b)=b; 2 2 2 2 解:略 31、已知向量 a、b.求作向量 c,使 a+b+c=0.表示 a、b,c 的有向线段能构成三角形吗? 解:不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三个非零向量 的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形. 32、作图验证:b-a=-(a-b). 解:略. 33、已知 a、b 为两个非零向量, (1)求作向量 a+b 及 a-b; (2)向量 a, b 成什么位置关系时,|a+b|=|a-b|(不要求证明).

解: (1)略;

? ? ? ? ? ? (2)当 a ? b 时, a ? b ? a ? b

34、化简: (1)5(3a-2b)+4(2b-3a); (2)6(a-3b+c)-4(-a+b-c);

1 1 (3a-2b)+5a- (6a-9b) (4) (x-y)(a+b)-(x-y)(a-b). 2 3 ? 1? ? ? ? ? ? ? 解: (1) ?2a ? 2b ; (2) 10a ? 22b ? 10c ; (3) 3a ? b ; (4) 2( x ? y)b . 2
(3) 35、已知 a=e1+2e2,b=3e1-2e2,求 a+b,a-b,3a-2b. 解: a ? b ? 4e1 , a ? b ? ?e1 ? 4e2 , 3a ? 2b ? ?3e1 ? 10e2 .

? ?

? ?

? ?

? ?

?? ?

?

?

? ?

?? ?

??? ? ??? ? 36、已知 ? ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 0,且 OA =a, OB =b,用向量 a、b 分别表示向量

??? ???? ???? ??? ? ? OC, OD, DC, BC .

解:

(第 11 题)

???? ? ???? ? ???? ? ? ??? ? ? ? 如图所示, OC ? ?a , OD ? ?b , DC ? b ? a , BC ? ?a ? b .
???? 1 ??? ? 37、在 ? ABC 中, AD ? AB , DE ? BC ,且与边 AC 相交于点 E, ? ABC 的中线 AM 与 DE 相交 4 ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? 于点 N,设 AB =a, AC =b,用 a,b 分别表示向量 AE, BC, DE, DB, EC, DN , AN.

(第 12 题)

解: ??? 1 ? ??? ? ? ???? 1 ? ? ? ??? 3 ? ? ? AE ? b , BC ? b ? a , DE ? (b ? a ) , DB ? a , 4 4 4 ??? 3 ? ???? 1 ? ? ? ???? 1 ???? 1 ? ? ? EC ? b , DN ? (b ? a ) , AN ? AM ? (a ? b) . 4 8 4 8

??? ???? ? 38、已知四边形 ABCD,点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,求证: EF ? HG .
解:证明:在 ?ABC 中, E , F 分别是 AB, BC 的中点,

G D

C F

H E A
(第 13 题)

B

所以 EF / / AC 且 EF ?

1 AC , 2

??? 1 ???? ? 即 EF ? AC ; 2 ???? 1 ???? 同理, HG ? AC , 2 ??? ???? ? 所以 EF ? HG .
39、飞机从甲地以北偏西 15 的方向飞行 1 400 km 到达乙地.再从乙地以南偏东 75 的方向飞 行 1 400 km 到达丙地.试画出飞机飞行的位移示愈图.并说明丙地在甲地的什么方向?丙地距甲 地多远?
乙 丙
0 0


(第 1 题)

解:

丙地在甲地的北偏东 45°方向,距甲地 1400 km.

40、已知 a、b 是非零向量,|a+b|与|a|+|b|一定相等吗?为什么? 解:不一定相等,可以验证在 a, b 不共线时它们不相等.

? ?

???? 1 ??? ? ? ???? 1 ???? ???? 1 ??? ? ? 41、如图, AM ? AB , AN ? AC ,求证: MN ? BC 3 3 3

???? 1 ???? ???? 1 ??? ? ? ???? ???? ???? ? ? 解:证明:因为 MN ? AN ? AM ,而 AN ? AC , AM ? AB , 3 3 ???? 1 ???? 1 ??? 1 ???? ??? ? ? ? 1 ??? ? 所以 MN ? AC ? AB ? ( AC ? AB ) ? BC . 3 3 3 3

42、根据下列各个小题中的条件,分别判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明: ???? 1 ??? ? ??? ???? ? ???? ??? ? ??? ???? ? (1) AD ? BC (2) AD ? BC (3) AB ? DC ,且 AB ? AD 3 解: (1)四边形 ABCD 为平行四边形,证略

C

B

D
(2)四边形 ABCD 为梯形. ???? 1 ??? ? 证明:∵ AD ? BC , 3 ∴ AD / / BC 且 AD ? BC ∴四边形 ABCD 为梯形.
(第 4 题(2))

A

B C D A

(第 4 题(3))

(3)四边形 ABCD 为菱形.

??? ???? ? 证明:∵ AB ? DC ,
∴ AB / / DC 且 AB ? DC ∴四边形 ABCD 为平行四边形 ??? ? ???? 又 AB ? AD ∴四边形 ABCD 为菱形. 43 、 己 知 O 为 四 边 形 ABCD 所 在 平 面 内 的 一 点 , 且 向 量 OA, OB, OC, OD 满 足 等 式

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ??? ??? ???? ? ? ? OA ? OC ? OB ? OD .
(1)作图并观察四边形 ABCD 的形状; (2)四边形 ABCD 有什么特性?试证明你的猜想. 解: (1)通过作图可以发现四边形 ABCD 为平行四边形.
M

A B

D C

O
(第 5 题)

??? ??? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? 证明:因为 OA ? OB ? BA , OD ? OC ? CD ??? ??? ??? ???? ? ? ? 而 OA ? OC ? OB ? OD ??? ??? ???? ??? ? ? ? 所以 OA ? OB ? OD ? OC ??? ??? ? ? 所以 BA ? CD ,即 AB ∥ CD .
因此,四边形 ABCD 为平行四边形. 44、已知向向量 a、b 的坐标.求 a+b,a-b 的坐标: (1)a=(-2, 4),b=(5,2); (2) a=(4 ,3),b=(-3,8);

(3) a=(2, 3), b=(-2,-3); (4)a=(3, 0),b=(0, 4). 解: (1) a ? b ? (3,6) , a ? b ? (?7, 2) ; (3) a ? b ? (0,0) , a ? b ? (4,6) ;

? ?

? ?

(2) a ? b ? (1,11) , a ? b ? (7, ?5) ; (4) a ? b ? (3, 4) , a ? b ? (3, ?4) .

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

45、己知 a=(3,2),b=(0,-1),求-2a+4b,4a+3b 的坐标. 解: ?2a ? 4b ? (?6, ?8) , 4a ? 3b ? (12,5) . 46、已知 A,B 两点的坐标,求 AB, BA 的坐标: (1) A(3,5),B(6,9); (3) A(0,3),B(0,5); (2) A(一 3,4),B(6,3); (4) A(3,0),B(8,0). (2) AB ? (9, ?1) , BA ? (?9,1) ; (4) AB ? (5,0) , BA ? (?5,0)

?

?

?

?

??? ??? ? ?

解: (1) AB ? (3, 4) , BA ? (?3, ?4) ; (3) AB ? (0, 2) , BA ? (0, ?2) ;

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

47、已知点 A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),试判断 AB 与 CD 的位置关系.并给出证明。 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 解: AB ∥ CD . 证明: AB ? (1, ?1) , CD ? (1, ?1) ,所以 AB ? CD .所以 AB ∥ CD . 48、求线段 AB 的中点坐标: (1)A(2,1),B(4,3); (2) A(-1,2),B(3,6); 解: (1) (3, 2) ; (2) (1, 4) ; (3) A(5,-4),B(3,-6).

(3) (4, ?5) .

??? ? ??? ? 49、已知向量 OA =(2,3) OB =(6,-3),点 P 是线段 AB 的三等分点,求点 P 的坐标. ,
解: (

??? 3 ??? ? ? 50、己知 A(2,3) ,B(4,-3) ,点 P 在线段 AB 的延长线上,且 AP ? PB ,求点 P 的坐标. 2 ??? 3 ??? ? ? ??? ? ? 3 ??? 解:设 P( x, y) ,由点 P 在线段 AB 的延长线上,且 AP ? PB ,得 AP ? ? PB 2 2

10 14 ,1) 或 ( , ?1) 3 3

??? ? ??? ? AP ? ( x, y) ? (2,3) ? ( x ? 2, y ? 3) , PB ? (4, ?3) ? ( x, y) ? (4 ? x, ?3 ? y)
3 ? ? x ? 2 ? ? 2 (4 ? x) ? ∴? ? y ? 3 ? ? 3 (?3 ? y ) ? ? 2

3 ∴ ( x ? 2, y ? 3) ? ? (4 ? x, ?3 ? y ) 2

?x ? 8 ∴? ,所以点 P 的坐标为 (8, ?15) . y ? ?15 ?
51、已知表示向量 a 的有向线段始点 A 的坐标,求它的终点 B 的坐标: (1) a=(-2,1) ,A(0,0) ; (2) a=(1,3) ,A(-1, 5) ; (3) a=(-2,-5) ,A(3,7). 解: (1) (?2,1) ; (2) (0,8) ; (3) (1, 2) .

说明:解题时可设 B( x, y) ,利用向量坐标的定义解题. 52、已知作用在坐标原点的三个力分别为 F1 =(3,4), F2 =(2,-5), F3 =(3,1),求作用在 原点的合力 F1 +F2 +F3 的坐标. 解: F ? F2 ? F3 ? (8,0) 1 53、已知 ? ABCD 的顶点 A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求顶点 D 的坐标. 解:解法一: OA ? (?1, ?2) , BC ? (5 ? 3,6 ? (?1)) ? (2,7)

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?? ?? ? ? ?

?? ?? ?? ? ? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 而 AD ? BC , OD ? OA ? AD ? OA ? BC ? (1,5) .
解法二:设 D( x, y) ,则 AD ? ( x ? (?1), y ? (?2)) ? ( x ? 1, y ? 2) ,

所以点 D 的坐标为 (1,5) .

??? ?

??? ? BC ? (5 ? 3,6 ? (?1)) ? (2,7)
???? ??? ? ?x ?1 ? 2 由 AD ? BC 可得, ? ,解得点 D 的坐标为 (1,5) . y?2?7 ? ???? 1 ??? ???? ? ? ? ??? ??? ? 1 ??? 54、已知点 A(1,1) ,B(-1,5) ,及 AC ? AB , AD ? 2 AB , AE ? ? AB ,求点 C、D、E 的 2 2
坐标。

解: OA ? (1,1) , AB ? (?2, 4) .

??? ?

??? ?

???? 1 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 ??? AC ? AB ? (?1, 2) , AD ? 2 AB ? (?4,8) , AE ? ? AB ? (1, ?2) . 2 2 ??? ??? ??? ? ? ? OC ? OA ? AC ? (0,3) ,所以,点 C 的坐标为 (0,3) ;

??? ??? ??? ? ? ? OD ? OA ? AD ? (?3,9) ,所以,点 D 的坐标为 (?3,9) ; ??? ??? ??? ? ? ? OE ? OA ? AE ? (2, ?1) ,所以,点 E 的坐标为 (2, ?1) .
55、x 为何值时,a=(2,3)与 b=(x,-6)共线?

2 3 ? ,解得 x ? ?4 . x ?6 ??? ??? ? ? 56、已知 A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,-4),试问 AB与CD 是否共线?
解:由向量 a, b 共线得 (2,3) ? ? ( x, ?6) ,所以

? ?

??? ? ??? ? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 解: AB ? (4, 4) , CD ? (?8, ?8) , CD ? ?2 AB ,所以 AB 与 CD 共线.
?? ?? ?? ? ? ???? ??? ? ???? ? 57、已知点 O(0,0) ,A(1,2),B(-1,3),且 O ? ? 2 A ,OB? ? 3OB ,求点 A’,B’及向量 A?B? A O
的坐标. 解: OA? ? 2OA ? (2, 4) ,所以点 A? 的坐标为 (2, 4) ;

????

??? ?

???? ??? ? OB? ? 3OB ? (?3,9) ,所以点 B? 的坐标为 (?3,9) ;

故 A?B? ? (?3,9) ? (2, 4) ? (?5,5)

???? ?

??? ??? ??? ? ? ? 1 58、已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5) O O A ? , P ? tB ,当 t=1, , ? 2,2 时分别求点 P A 2
的坐标。

解: OA ? (1, 2) , AB ? (3,3) . 当 t ? 1 时, OP ? OA ? AB ? OB ? (4,5) ,所以 P(4,5) ;

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? 1 ??? ? ? ? 1 3 3 5 7 5 7 时, OP ? OA ? AB ? (1, 2) ? ( , ) ? ( , ) ,所以 P ( , ) ; 2 2 2 2 2 2 2 2 ??? ??? ??? ? ? ? 当 t ? ?2 时, OP ? OA ? 2 AB ? (1, 2) ? (6,6) ? (?5, ?4) ,所以 P(?5, ?4) ;
当t ? 当 t ? 2 时, OP ? OA ? 2 AB ? (1, 2) ? (6,6) ? (7,8) ,所以 P(7,8) . 59、判断下列各点的位置关系,并给出证明: (1)A(1,2) ,B(-3,-4) ,C(2,3.5) ; (2)P(-1,2) ,Q(0.5,0),R(5,-6) ; (3)E(9,1) ,F(1,-3) ,G(8,0.5).

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解: (1)因为 AB ? (?4, ?6) , AC ? (1,1.5) ,所以 AB ? ?4 AC ,所以 A 、 B 、 C 三点共线;
(2)因为 PQ ? (1.5, ?2) , PR ? (6, ?8) ,所以 PR ? 4PQ ,所以 P 、 Q 、 R 三点共线;

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3)因为 EF ? (?8, ?4) , EG ? (?1, ?0.5) ,所以 EF ? 8EG ,所以 E 、 F 、G 三点共线.

60、设 e1,e2 是平面内的一组基底,证明:当 ?1 e1 ? ?2 e2 ? 0 时恒有 ?1 ? ?2 ? 0

? ?

?? ?

?

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 解:证明:假设 ?1 ? 0 ,则由 ?1 e1 ? ?2 e2 ? 0 ,得 e1 ? ? 2 e2 .

?1

所以 e1 , e2 是共线向量,与已知 e1 , e2 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误, ?1 ? 0 .
0

?? ?? ?

?? ?? ?

同理 ?2 ? 0 .

综上 ?1 ? ?2 ? 0 .

61、如图,设 Ox,Oy 是平面内相交成 60 角的两条数轴,e1,e2 分别是与 x 轴、y 轴正方向同

??? ? ??? ? 向的单位向量,若向量 OP = xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量 OP 在坐标系 xOy 中的 ??? ? 坐标.假设 OP =3e1+2e2,
??? ? (1)计算 OP 的大小;
(2)由平面向量基本定理,本题中向量坐标的规定是否合理?

??? ? 解: (1) OP ? 19 .

(2)对于任意向量 OP ? xe1 ? ye2 , x, y 都是唯一确定的,

??? ?

? ?

?? ?

所以向量的坐标表示的规定合理. 0 62、已知向量 p,q,且|p|=8,|q|=6,p 和 q 的夹角是 60 ,求 p ? q ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 解: p ? q ? p ? q ? cos ? p, q ?? 8 ? 6 ? ? 24 . 2 ??? ? ??? ? 63、已知 ? ABC 中, AB =a, AC =b,当 a·b<O 或 a·b=0 时.试判断 ? ABC 的形状.

? ? ? ? 解:当 a ? b ? 0 时, ?ABC 为钝角三角形;当 a ? b ? 0 时, ?ABC 为直角三角形.
64、已知|a|=6,e 为单位向量,当 a、e 之间的夹角 ? 分别等于 450 ,900 ,1350 时,画图表示 a 在 e 方向上的投影,并求其值. 解:投影分别为 3 2 ,0, ?3 2 . 图略 65、已知 a=(-3,4),b=(5,2),求|a|,|b|,a ? b.

? ? ? ? 解: a ? (?3)2 ? 42 ? 5 , b ? 52 ? 22 ? 29 , a ? b ? ?3 ? 5 ? 4 ? 2 ? ?7 .
66、已知 a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,-2),求 a ? b,(a+b) ? (a-b), a ? (b+c),(a+b) 2 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解: a ? b ? 8 , (a ? b)(a ? b) ? ?7 , a ? (b ? c) ? 0 , (a ? b)2 ? 49 .
67、已知 a=(3,2),b=(5,-7),利用计算器,求 a 与 b 的夹角 ? (精确到 1 )
0

? ? ? ? 解: a ? b ? 1, a ? 13 , b ? 74 , ? ? 88? .
68、已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角 ? = 1500 ,求 a ? b,(a+b) 2 ,|a+b|.

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? 解: a ? b ? ?6 3 , (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b ? 25 ? 12 3 , a ? b ? 25 ? 12 3 .
??? ??? ? ? 69、已知 ? ABC 中,a=5,b=8,C= 60 0 ,求 BC ? CA .
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 解: BC 与 CA 的夹角为 120°, BC ? CA ? ?20 .
70、已知|a|=2,|b|=5,a ? b=-3,求|a+b|,|a-b|. 解: a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 23 , a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 35 . 71、求证: (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b)

? ?

?2

? ? ?2

? ?

?2

? ? ?2

? ?

? ?

?

?

? ? 解:证法一:设 a 与 b 的夹角为 ? .
(1)当 ? ? 0 时,等式显然成立; ? ? ? ? (2)当 ? ? 0 时, ? a 与 b , a 与 ? b 的夹角都为 ? ,

? ? ? ? ? ? 所以 (? a) ? b ? ? a b cos ? ? ? a b cos ? ? ? ? ? ? ? a ? (? b) ? a ? b cos ? ? ? a b cos ?
所以 (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b) ;

? (a ? b) ? ? a b cos ?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ? ? ? (3)当 ? ? 0 时, ? a 与 b , a 与 ? b 的夹角都为 180? ? ? ,
? ? ? ? ? ? 则 (? a) ? b ? ? a b cos(180? ? ? ) ? ? ? a b cos ?

? (a ? b) ? ? a b cos ? ? ? ? a b cos ?
? ? ? ? ? ? a ? (? b) ? a ? b cos(180? ? ? ) ? ? ? a b cos ?
所以 (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b) ; 综上所述,等式成立.

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

证法二:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 那么 (? a) ? b ? (? x1, ? y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ? x1x2 ? ? y1 y2

?

?

? ?

?(a ? b) ? ?( x1, y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ?( x1x2 ? y1 y2 ) ? ? x1x2 ? ? y1 y2
? ? a ? (?b) ? ( x1, y1 ) ? (? x2 , ? y2 ) ? ? x1x2 ? ? y1 y2
所以 (? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (?b) ; 72、先作图,观察以 A、B、C 为顶点的三角形的形状,然后给出证明: (1)A(-1,-4),B(5,2),C(3,4); (2)A=(-2,-3),B=(19,4),C(-1,-6) (3)A(2,5),B(5,2),C(10,7). 解: (1)直角三角形, ? B 为直角. 证明:∵ BA ? (?1, ?4) ? (5, 2) ? (?6, ?6) , BC ? (3, 4) ? (5, 2) ? (?2, 2) ∴ BA ? BC ? ?6 ? (?2) ? (?6) ? 2 ? 0

? ?

? ?

? ?

?

?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ∴ BA ? BC , ? B 为直角, ?ABC 为直角三角形
(2)直角三角形, ? A 为直角 证明:∵ AB ? (19, 4) ? (?2, ?3) ? (21,7) , AC ? (?1, ?6) ? (?2, ?3) ? (1, ?3) ∴ AB ? AC ? 21?1 ? 7 ? (?3) ? 0

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ∴ AB ? AC , ? A 为直角, ?ABC 为直角三角形
(3)直角三角形, ? B 为直角 证明:∵ BA ? (2,5) ? (5, 2) ? (?3,3) , BC ? (10,7) ? (5, 2) ? (5,5)

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ∴ BA ? BC ? ?3 ? 5 ? 3 ? 5 ? 0 ??? ??? ? ? ∴ BA ? BC , ? B 为直角, ?ABC 为直角三角形
73、设|a|=12,|b|=9,a ? b= ?54 2 ,求 a 与 b 的夹角 ? . 解: ? ? 135? . 74、已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b) ? (2a+b)=61,求 a 与 b 的夹角 ? . 解: ? ? 120? .

? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?2 (2a ? 3b)(2a ? b) ? 4a ? 4a ? b ? 3b ? 61 ,于是可得 a ? b ? ?6 , ? ? a ?b 1 cos ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 120? . 2 a b

75、设|a|=8,|b|=10,|a+b|=16,求 a 与 b 的夹角 ? .(精确到 1 ,可用计算器)
0

23 , ? ? 55? . 40 76、求证:A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形. ??? ? ??? ? 解:证明:∵ AB ? (5, ?2) ? (1,0) ? (4, ?2) , BC ? (8,4) ? (5, ?2) ? (3,6) ,
解: cos ? ?

???? DC ? (8, 4) ? (4,6) ? (4, ?2)
??? ???? ??? ??? ? ? ? ∴ AB ? DC , AB ? BC ? 4 ? 3 ? (?2) ? 6 ? 0
∴ A, B, C , D 为顶点的四边形是矩形. 77、已知|a|=3,b=(1,2),且 a//b,求 a 的坐标. 解:设 a ? ( x, y) ,

?

? ? 3 5 3 5 ? x2 ? y 2 ? 9 ?x ? ?x ? ? ? ? 5 ,或 ? 5 . 则? ,解得 ? ? y ?x ? ?y ? 6 5 ?y ? ? 6 5 ? 2 ? ? 5 5 ? ?
? 3 5 6 5 ? 3 5 6 5 于是 a ? ( , ) 或 a ? (? ,? ). 5 5 5 5
78、已知 a=(4,2) ,求与 a 垂直的单位向量的坐标.

? ? 解:设与 a 垂直的单位向量 e ? ( x, y) ,
? ? 5 5 ?x ? ?x ? ? ?x ? y ? 1 ? ? 5 5 . 则? ,解得 ? 或? ?4 x ? 2 y ? 0 ?y ? ? 2 5 ?y ? 2 5 ? ? 5 5 ? ?
2 2

? ? 5 2 5 5 2 5 于是 e ? ( ,? ) 或 e ? (? , ). 5 5 5 5
79、已知 a 是非零向量,且 b ? c,求证:a ? b=a ? c ? a ? (b-c). 解:证法一: a ? b ? a ? c ? a ? b ? a ? c ? 0 ? a ? (b ? c) ? 0 ? a ? (b ? c) 证法二:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , c ? ( x3 , y3 ) . 先证 a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c)

? ?

? ?

? ? ? ?

? ? ?

?

? ?

?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

? ? ? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 , a ? c ? x1x3 ? y1 y3

? ? ? ? 由 a ? b ? a ? c 得 x1 x2 ? y1 y2 ? x1x3 ? y1 y3 ,即 x1 ( x2 ? x3 ) ? y1 ( y2 ? y3 ) ? 0
而 b ? c ? ( x2 ? x3 , y2 ? y3 ) ,所以 a ? (b ? c) ? 0 再证 a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c 由 a ? (b ? c) ? 0 得 x1 ( x2 ? x3 ) ? y1 ( y2 ? y3 ) ? 0 ,

? ?

? ? ?

?

? ?

? ?

? ?

? ? ?

? ? ? ? 即 x1 x2 ? y1 y2 ? x1x3 ? y1 y3 ,因此 a ? b ? a ? c
80 、 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 以 原 点 为 圆 心 , 单 位 长 度 为 半 径 的 圆 上 有 两 点 A(cos ? ,sin ? ),B(cos ? ,sin ? ),试用 A、B 两点的坐标表示 ?AOB 的余弦值.

??? ??? ? ? OA ? OB 解: cos ?AOB ? ??? ??? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . ? ? OA OB
81、证明:对于任意的 a、b、c、d ? R,恒有不等式: (ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) 解:证明:构造向量 u ? (a, b) , v ? (c, d ) .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u v cos ? u, v ? ,所以 ac ? bd ? a2 ? b2 c2 ? d 2 cos ? u, v ?
∴ (ac ? bd )2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )cos2 ? u, v ?? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 )

??

??? ??? ? ? 82、如图.在圆 C 中,是不是只需知道圆 C 的半径或弦 AB 的长度.就可以求 AB?AC 的值? ??? ??? ? ? 解: AB ? AC 的值只与弦 AB 的长有关,与圆的半径无关.

C

A

M
(第 4 题)

B

证明:取 AB 的中点 M ,连接 CM , ???? 1 ??? ? ? 则 CM ? AB , AM ? AB 2

???? ? AM ??? ???? ??? ???? ? ? 又 AB ? AC ? AB AC cos ?BAC ,而 ?BAC ? ???? AC ??? ???? ??? ???? 1 ??? 2 ? ? ? ? 所以 AB ? AC ? AB AM ? AB 2

83、平面向量的数量积 a ? b 是一个非常重要的概念,利用它可以容易地证明平面几何的许多 命题,例如勾股定理、菱形的对角线互相垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分 等. 请你给出具体证明.你能利用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些性质吗?

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? 解: (1)勾股定理: Rt ?ABC 中, ?C ? 90? ,则 CA ? CB ? AB
??? ??? ??? ? ? ? 证明:∵ AB ? CB ? CA
∴ AB ? (CB ? CA)2 ? CB ? 2CA ? CB ? CA .

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ??? ??? 2 ? ? ?

??? ??? ? ? 由 ?C ? 90? ,有 CA ? CB ,于是 CA ? CB ? 0

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ∴ CA ? CB ? AB
(2)菱形 ABCD 中,求证: AC ? BD ??? ??? ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? 证明:∵ AC ? AB ? AD , DB ? AB ? AD, ∴ AC ? DB ? ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? AB ? AD .

???? ??? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

??? 2 ???? 2 ?

∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AB ? AD ,所以 AB ? AD ? 0

??? 2 ???? 2 ?

??? ??? ? ? ∴ AC ? DB ? 0 ,所以 AC ? BD
(3)长方形 ABCD 中,求证: AC ? BD

??? ???? ? 证明:∵ 四边形 ABCD 为长方形,所以 AB ? AD ,所以 AB ? AD ? 0

??? 2 ??? ???? ???? 2 ??? 2 ??? ???? ????2 ? ? ? ? ∴ AB ? 2 AB ? AD ? AD ? AB ? 2 AB ? AD ? AD .
??? 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ ( AB ? AD)2 ? ( AB ? AD)2 ,所以 AC ? BD ,所以 AC ? BD
(4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2) (3)的证明即可. ??? ? ??? ? 84、已知点 A(1,0),直线 l :y=2x-6,点 R 是直线 l 上的一点,若 RA ? 2 AP ,求点 P 的轨迹. 解:设 P( x, y) , R( x1 , y1 ) 则 RA ? (1,0) ? ( x1, y1 ) ? (1 ? x1, ? y1 ) , AP ? ( x, y) ? (1,0) ? ( x ?1,0)

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? x1 ? ?2 x ? 3 由 RA ? 2 AP 得 (1 ? x1, ? y1 ) ? 2( x ?1, y) ,即 ? ? y1 ? ?2 y
代入直线 l 的方程得 y ? 2 x . 所以,点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x .

??? ? ??? ? 85、在 ? ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,BF 与 CD 交于点 O,设 AB =a, AC =b,
(1)证明:A、O、E 三点在同一直线上,且

AO BO CO ? ? ? 2; OE OF OD

???? (2)用 a,b 表示向量 AO .
解: (1)易知, ?OFD ∽ ?OBC , DF ?
A

1 BC , 2

D O

F

B

E
(第 2 题)

C

所以 BO ?

2 BF . 3 ???? ??? ??? 2 ??? ? 2 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? AO ? BO ? BA ? BF ? a ? ( b ? a ) ? a ? (a ? b) 3 3 2 3

??? 1 ? ? ? (2)因为 AE ? (a ? b) 2 ???? 2 ??? ? AO ?2 所以 AO ? AE ,因此 A, O, E 三点共线,而且 3 OE BO CO AO BO CO ? 2, ? 2 ,所以 ? ? ?2 同理可知: OF OD OE OF OD
86、 两个拉子 A、 从同一源发射出来, B 在某一时刻, 它们的位移分别为 sA ? (4,3) , sB ? (2,10) . (1)写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s; (2)计算 s 在 sA 方向上的投影. 解: (1) v ? vB ? vA ? (?2,7) ;

? ?? ?? ? ?

(第 4 题)

? ?? ? v ? vA 13 ? ?? ? (2) v 在 vA 方向上的投影为 ?? ? . ? 5 vA
87、平面上三个力 F1 , F2 , F3 作用于一点且处于平衡状态, F1 =1N, F2 = 角为 45 ,求: (1) F3 的大小; (2) F3与F1 夹角的大小.
0

6+ 2 N, F1 , F2 的夹 2

?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? 解:设 F1 , F2 的合力为 F , F 与 F1 的夹角为 ? ,
?? 则 F ? 3 ? 1 , ? ? 30? ; ?? ? ?? ?? ? ? F3 ? 3 ? 1 , F3 与 F1 的夹角为 150°.

88、以初速度 v0,抛射角 ? 投掷铅球,求铅球上升的最大高度和最大投掷距离. ?? ? ?? ? ?? ? 解:设 v0 在水平方向的速度大小为 vx ,竖直方向的速度的大小为 vy , 则 vx ? v0 cos ? , v y ? v0 sin ? .
?? ? 1 ? h ? v 0 t sin ? ? gt ,(g 为重力加速度 ) ? 2 设在时刻 t 时的上升高度为 h ,抛掷距离为 s ,则 ? ?? ? ?s ? v 0 t cos ? ? ?? 2 ? ?? 2 ? v0 sin 2 ? v0 sin 2? 所以,最大高度为 ,最大投掷距离为 . 2g g
?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

89、一条河的两岸平行,河的宽度 d=500m,一艘般从 A 处出发到河对岸.已知船的速度 v1 =10

km/h,水流速度 v2 =2 km/h.要使船行驶的时间最短.那么船行驶的距离与合速度的比值必须最 小.此时我们分三种情况讨论: (1)当船逆流行驶,与水流成饨角时; (2)当船顺流行驶,与水流成锐角时; (3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时. 请同学们计算上面三种情况,是否当船垂直于对岸行驶时,与水流成直角时,所用时间最短? ? ?? ?? ?? ? ? ? 解:设 v1 与 v2 的夹角为 ? ,合速度为 v , v2 与 v 的夹角为 ? ,行驶距离为 d .
?? ? v1 sin ? 10sin ? v 0.5 则 sin ? ? . ? ? ,d ? ? ? sin ? 20sin ? v v

d 1 ∴? ? . 20sin ? v

所以当 ? ? 90? ,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. ??? ? ??? ? 90、已知对任意平面 向量 AB ? ( x, y) ,把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 ? 角得到向量

??? ? AP ? ( xcos ? y sin ,x sin ? y cos ,叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 ? 角得到点 P. ? ? ? ? )
(1)己知平面内点 A(1,2),点 B(1+ 2 ,2-2 2 ).把点 B 绕点 A 沿顺时针方向旋转 得到点 P,求点 P 的坐标。 (2)设平面内曲线 C 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转

? 后 4

? 后得到的点的轨迹是曲线 4

x2 ? y 2 ? 3 ,求原来曲线 C 的方程.
??? ? ??? ? 解: (1) (0, ?1) 设 P ( x, y ) ,则 AP ? ( x ? 1, y ? 2) . AB ? ( 2, ?2 2) .
??? ? ??? ? 7 到 AP ,相当于沿逆时针方向旋转 ? 到 AP , 4 4 ??? ? 7 7 7 7 于是 AP ? ( 2 cos ? ? 2 2 sin ? , 2 sin ? ? 2 2 cos ? ) ? (?1, ?3) 4 4 4 4

将 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转

??? ?

?

? x ? 1 ? ?1 所以 ? ,解得 x ? 0, y ? ?1 ? y ? 2 ? ?3

(2) y ? ?

3 2x
??? ?

解:设曲线 C 上任一点 P 的坐标为 ( x, y ) ,OP 绕 O 逆时针旋转
? ? ? ? ? ? x? ? ? x ? x cos 4 ? y sin 4 ? ? 则? ,即 ? ? ? ? y? ? ? y? ? x sin ? y cos ? ? 4 4 ? ? 2 ( x ? y) 2 2 ( x ? y) 2

?
4

后,点 P 的坐标为 ( x?, y?)

1 1 3 又因为 x?2 ? y?2 ? 3 ,所以 ( x ? y)2 ? ( x ? y)2 ? 3 ,化简得 y ? ? 2 2 2x 91、判断下列命题是否正确: ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? (1) AB ? BA ? 0 (2) AB ? BC ? AC (3) AB ? AC ? BC (4) 0 ? AB ? 0

解: (1)√;

(2)√;

(3)×;

(4)×.

92、如果 a,b 是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是( ) (A)a=b 解: D ; 93、对于任意向量 a,b,下列命题中正确的是( ) (B)|a+b| ? |a|+|b| (B)a ? b=1 (C)a 2 ? b 2 (D)|a| 2 =|b| 2

(A)若 a,b 满足|a|>|b|,且 a 与 b 同向,则 a>b (C)|a ? b| ? |a| ? |b| 解: B ; (D)|a-b| ? |a|-|b|

??? ??? ???? ? ? 94、在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则(
(A)ABCD 是矩形 (B)ABCD 是菱形 解: D ;

) (D)ABCD 是平行四边形 )

(C)ABCD 是正方形

95、设 a 是非零向量, ? 是非零实数,下列结论中正确的是( (A)a 与- ? a 的方向相反 (B)|- ? a| ? |a| (C)a 与 ? 2 a 的方向相同 (D)|- ? a| ? | ? |a 解: C ;

??? ??? ??? ???? ? ? ? 96、设 M 是 ? ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点,则 OA ? OB ? OC ? OD 等于( ???? ? (A) OM ???? ? (B) 2 OM ???? ? ???? ? (C) 3 OM (D) 4 OM


)

解: D ; 97、下列各组向量中,可以作为基底的是( (A) e1=(0,0),e2=(1,-2) (C) e1=(3,5),e2=(6,10) 解: B .

(B)e1=(-1,2),e2=(5,7) (D)e1=(2,-3),e2=(

1 3 ,- ) 2 4

??? ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ? 98、已知 AB ? AD ? AC ,且 AC =a, BD =b.分别用 a,b 表示 AB 、 AD .
??? 1 ? ? ? ???? 1 ? ? 解: AB ? (a ? b) , AD ? (a ? b) 2 2

??? ? ??? ? ??? ???? ??? ? ? 99、已知六边形 ABCDEF 为正六边形,且 AC =a, BD =b,分别用 a,b 表示 DE, AD, BC,

??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? EF , FA, CD, AB, CE .
??? ??? ???? ???? ? ? 2? 1? 解: DE ? BA ? MA ? MB ? ? a ? b 3 3

(第 4 题)

???? 2 ? 2 ? ??? 1 ? 1 ? ? AD ? a ? b , BC ? a ? b 3 3 3 3 ??? ? ? 1 ? 1 ? ??? ???? 1 ? 2 ? EF ? ? a ? b , FA ? DC ? a ? b 3 3 3 3 ??? ? ? 2 ? ??? 2 ? 1 ? ? 1 CD ? ? a ? b , AB ? a ? b 3 3 3 3 ??? ? ? ? CE ? ?a ? b

100、己知平面直角坐标系中,点 O 为原点,A(-3,-4),B(5,-12). (1)求 AB 的坐标及 AB ; (2)若 OC ? OA ? OB, OD ? OA ? OB ,求 OC, OD 的坐标; (3)求 OA ? OB .
??? ? ??? ? 解: (1) AB ? (8, ?8) , AB ? 8 2 ;

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ???? ?

??? ??? ? ?

??? ? ???? (2) OC ? (2, ?16) , OD ? (?8,8) ;

(3) OA ? OB ? 33 .
??? ?

??? ??? ? ?

101、已知点 A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1) ,试判断向量 AB 与 CD 的位置关系,并给出证 明. 解: AB 与 CD 共线.
??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? 证明:因为 AB ? (1, ?1) , CD ? (1, ?1) ,所以 AB ? CD . 所以 AB 与 CD 共线. ??? ?

??? ?

??? ?

102、已知点 A(1,1,) ,B(-1,0),C(0,1),求点 D(x,y),使 AB = CD . 解: D(?2,0) . 103、n 为何值时,向量 a=(n,1),b=(4,n)共线且方向相同? 解: n ? 2 . 104、已知 a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),求 ? 和 ? ,使 c= ? a+ ? b.

??? ??? ? ?

解: ? ? ?1, ? ? 0 . 105、己知 ? ABC 的顶点坐标分别为 A(1,1),B(4,1),C(4,5),求 cos A,cos B,cos C 的值.
3 4 解: cos A ? ,cos B ? 0,cos C ? 5 5 0 106、已知单位单位向量 m 和 n 的夹角为 60 ,求证:(2n-m) ? m,并解释其几何意义. ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? 2 解:证明: (2n ? m) ? m ? 2n ? m ? m ? 2cos60? ?1 ? 0 ,所以 (2n ? m) ? m .

107、己知 a=(1,0), b=(1,1),当 ? 为何值时,a+ ? b 与 a 垂直? 解: ? ? ?1 . 108、已知|a|= 3 ,|b|=2,a 与 b 的夹角为 30 ,求|a+b|,|a-b|.
0

解: a ? b ? 13 , a ? b ? 1 . 109、如图所示,支座 A 受 F1,F2 两个力的作用,已知|F1|=40 N,与水平线成 ? 角,|F2|=70 N, 沿水平方向,两个力的合力|F|=100 N,求角 ? 以及合力 F 与水平线的夹角 ? .

?

?

?

?

5 19 解: cos? ? ,cos ? ? 8 20

??? ? ??? ? ??? ? 110、已知 AB =a+5b, BC =-2a+8b, CD =3(a-b),则(
(A) A、B、D 三点共线 (C) B、C、D 三点共线 解: A ; (B) A、B、C 三点共线 (D) A、C、D 三点共线

).

??? ? ??? ? ??? ? 111、已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB =a, BC =b, AC =c,则|a+b+c|=(
(A)0 (B) 3 (C)



2

(D) 2 2

解: D ;

??? ? ??? ? ??? ? ???? 112、已知 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,且四边形 ABCD 是平行四边形,则(
(1)a+b+c+d=0 (B)a-b+c-d=0 解: B ; (C)a+b-c-d=0 (D)a-b-c+d=0



??? ? ??? ? ??? ? 113、已知 D、E、F 分别是 ? ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA =b, AB =c,则
??? 1 ? ??? ? 1 1 ① EF = c- b ② BE =a+ b 2 2 2 中正确的等式的个数为( ) (A) I (B) 2 解: C ;

??? ? 1 ???? ??? ??? ? ? ? 1 ③ CF =- a+ b ④ AD ? BE ? CF ? 0 2 2
(C)3 (D) 4 )

114、若 e1,e2 是夹角为 60 0 的两个单位向量,则 a=2e1+e2,b=--3e1+2e2 的夹角为( (A)30 0 解: C ; 115、若向量 a、b、c 两两所成的角相等,且|a|=1,|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=( (A)2 解: C ; (B) 5 (C)2 或 5 (D) 2 或 5 (B) 60 0 (C) 120 0 (D) 150 0



??? ? ??? ? ??? ? 116、 等边三角形 ABC 的的边长为 1,BC =a,CA =b,AB =c.那么 a· b+b· c+c· 等于 a (
(A)3 解: D . 117、已知向量 a. b 为非零向量,求证:a ? b ? |a+b|=|a-b|,并解释其几何意义. 解:证明:先证 a ? b ? a ? b ? a ? b .
? ? ? ? a ? b ? (a ? b)2 ? ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? a ? b ? 2a ? b , a ? b ? (a ? b)2 ? ?2 ?2 ? ? a ? b ? 2a ? b .
? ? ? ? ? ?



(B) -3

(C)

3 2

(D) -

3 2

? ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? 因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,于是 a ? b ? a ? b ? a ? b .

再证 a ? b ? a ? b ? a ? b .
? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 由于 a ? b ? a ? 2a ? b ? b , a ? b ? a ? 2a ? b ? b

?

?

?

?

?

?

由 a ? b ? a ? b 可得 a ? b ? 0 ,于是 a ? b 所以 a ? b ? a ? b ? a ? b .
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

【几何意义是矩形的两条对角线相等】

118、已知 a+b=c,a-b=d,求证:|a|=|b| ? c ? d,并解释其几何意义. 解:证明:先证 a ? b ? c ? d
? ? ? ? ?

(第 3 题)

? ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 c ? d ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? b

又 a ? b ,所以 c ? d ? 0 ,所以 c ? d 再证 c ? d ? a ? b .
? ? ? ? ?

?

?

? ? ?

?

? ?

由 c ? d 得 c ? d ? 0 ,即 (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? 0 所以 a ? b
? ?

?

? ?

? ? ?

?

?

?

?

?2

?2

【几何意义为菱形的对角线互相垂直,如图所示】

119、如图,已知四边形 ABCD 是等腰梯形,E、F 分别是腰 AD、BC 的中点,M、N 是线段 E、F ??? ? ??? ? ???? ? 上的两个点.且 EM=MN=NF.下底是上底的 2 倍,若 AB =a, BC =b,求 AM .

???? ??? ??? ??? 1 ? ? ??? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 解: AD ? AB ? BC ? CD ? a ? b , AE ? a ? b 2 4 2 ??? 3 ? ???? 1 ? ? ? ???? ??? ???? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 而 EF ? a , EM ? a ,所以 AM ? AE ? EM ? a ? b ? a ? (a ? b) 4 4 4 2 4 2 ??? ???? ???? ? ??? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? 120、 己知向量 OP , OP , OP 满足条件 OP ? OP ? OP ? 0 ,OP = OP2 = OP3 =1 , 求证:?PP P 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

是正三角形.
???? ???? ???? ? ???? ???? ???? ? ? 解:证明:如图所示, OD ? OP ? OP2 ,由于 OP ? OP2 ? OP ? 0 , 1 1 3

P3

O P2

P1

(第 5 题)

D

???? ???? ???? 所以 OP3 ? ?OD , OD ? 1

所以 OD ? OP ? P D 1 1 所以 ?OP P2 ? 30? ,同理可得 ?OP P3 ? 30? 1 1 所以 ?P3 PP2 ? 60? ,同理可得 ?PP2 P3 ? 60? , ?P2 P3 P ? 60? ,所以 ?P P2 P3 为正三角形. 1 1 1 1

????

????

????

??? ? ??? ? 121、如图,已知 OA =a, OB =b,任意点 M 关于点 A 的对称点为 S,点 S 关于点 B 的对称点为 ???? ? N,用 a,b 表示向量 MN .

解:连接 AB .

N

M A O S
(第 6 题)

B

由对称性可知, AB 是 ?SMN 的中位线, MN ? 2 AB ? 2b ? 2a .

???? ?

??? ?

?

?

122、某人在静水中游泳,速度为 4 3 千米/时,他在水流速度为 4 千米/时的河中游泳. (1)如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少? (2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的谏度为多少? 解: (1)实际前进速度大小为 42 ? (4 3) 2 ? 8 (千米/时) , 沿与水流方向成 60°的方向前进; (2)实际前进速度大小为 4 2 千米/时,
6 的方向前进. 3 ??? ??? ??? ???? ???? ??? ? ? ? ? 123、在 ? ABC 中,若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA .那么点 O 在 ? ABC 的什么位置?

沿与水流方向成 90? ? arccos

??? ??? ??? ???? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ? ? 解:因为 OA ? OB ? OB ? OC ,所以 OB ? (OA ? OC ) ? 0 ,所以 OB ? CA ? 0

同理, OA ? BC ? 0 , OC ? AB ? 0 ,所以点 O 是 ?ABC 的垂心. 124、平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一丧示,这使找们想到可以用向量作 为解析几何的研究工具.如图,设直线 l 的倾斜角为 ? ( ? ? 900 ),在 l 上任取两个不同的点

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

???? ? ???? ? P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 不妨设向量 PP 的方向是向上的,那么向量的 PP 坐标是 ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . 1 1 2 1 2
??? ???? ? ? 过原点作向量 OP = PP ,则点 P 的坐标是 ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,而且直线 OP 的倾斜角也是 ? ,报 1 2
据正切函数的定义得: tan ? ?

y2 ? y1 ,这就是《数学 2》中已经得到的斜率公式.上述推导过 x2 ? x1

程比《数学 2》的推导简捷.你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗?例如: (1)过点 P ( x0 , y0 ) ,平行于向量 a= (a1 , a2 ) 的直线方程; 0

(2)向量(A,B)与直线 Ax+By+C=0 的关系; (3)设 l1和l2 的方程分别是:l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,那么 l1 ? l2 , l1 ? l2 的条 件各是什么?如果它们相交,如何得到它们的夹角公式? (4)点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax+By+C=0 的距离公式如何推导? 0

解: (1) a2 x ? a1 y ? a1 y0 ? a2 x0 ? 0 ;

(2)垂直;

(3)当 A1B2 ? A2 B1 ? 0 时, l1 ∥ l2 ;当 A1 A2 ? B1B2 ? 0 时, l1 ? l2 , 夹角 ? 的余弦 cos? ?
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

A1 A2 ? B1B2 A ? B12 A22 ? B22
2 1



(4) d ?


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