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5圆锥曲线定点定值定直线


定点 定值 定直线
1、设圆 C1: x2 ? y 2 ? 10x ? 6 y ? 32 ? 0 ,动圆 C2: x2 ? y 2 ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ? 12 ? 0 , 求证:圆 C1、圆 C2 相交于两个定点; 解(1)将方程 x2 ? y 2 ? 2ax ? 2(8 ? a) y ? 4a ? 12 ? 0 化为

? x 2 ? y 2 ? 16 y ? 12 ? 0 ? x ? 4 得? 或 x2 ? y 2 ?16 y ? 12 ? (?2x ? 2 y ? 4)a ? 0 ,令 ? ? ?2 x ? 2 y ? 4 ? 0 ?y ? 2 ?x ? 6 ,所以圆 C2 过定点 (4, 2) 和 (6, 4) ? ?y ? 4 ?x ? 4 将? 代入 x2 ? y 2 ?10 x ? 6 y ? 32 ? 0 ,左边= 16 ? 4 ? 40 ? 12 ? 32 ? 0 ? 右边 ?y ? 2 故点 (4, 2) 在圆 C1 上,同理可得点 (6, 4) 也在圆 C1 上, 所以圆 C1 、圆 C2 相交于两个定点 (4, 2) 和 (6, 4)
2.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) ? x 2 ?2 x ? b( x ? R) 的图象与坐标轴有三个 交点,经过这三个交点的圆记为 C。 (1) 求实数 b 的取值范围; (2) 求圆 C 的方程; (3) 问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论。 【解析】 (1)

? ??0 ? b ? 1且b ? 0 ? ? f (0) ? 0
2 2

(2)设所求圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 。 令 x ? Dx ? F ? 0 ? D ? 2, F ? b y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0 ? D ? 2, F ? b
2 2

又 x ? 0 时 y ? b ,从而 E ? ?b ? 1 。 所以圆的方程为 x ? y ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 。
2 2

(3) x ? y ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 整理为 x ? y ? 2x ? y ? b(1 ? y) ? 0 ,过曲线
2 2 2 2

C? : x2 ? y 2 ? 2 x ? y ? 0 与 l :1 ? y ? 0 的交点,即过定点 (0,1) 与 (?2,1) 。
3.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,直线 l 过点 M (4,0) .
2

(Ⅰ)若点 F 到直线 l 的距离为 3 ,求直线 l 的斜率; (Ⅱ)设 A, B 为抛物线上两点,且 AB 不与 x 轴重合,若线段 AB 的垂直平分线恰过点

M ,求证:线段 AB 中点的横坐标为定值.
解: (Ⅰ)由已知, x ? 4 不合题意.设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) , 由已知,抛物线 C 的焦点坐标为 (1, 0) ,

因为点 F 到直线 l 的距离为 3 ,所以

3k 1? k 2

? 3,

解得 k ? ?

2 2 ,所以直线 l 的斜率为 ? . 2 2

…………5 分

(Ⅱ)设线段 AB 中点的坐标为 N ( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 因为 AB 不垂直于 x 轴, 则直线 MN 的斜率为

y0 4 ? x0 ,直线 AB 的斜率为 , x0 ? 4 y0 4 ? x0 ( x ? x0 ) , y0

…………7 分

直线 AB 的方程为 y ? y0 ?

………8 分

4 ? x0 ? ? y ? y0 ? y ( x ? x0 ), 联立方程 ? 0 ? y 2 ? 4 x, ?
消去 x 得 (1 ?

x0 2 2 ) y ? y0 y ? y0 ? x0 ( x0 ? 4) ? 0 , 4

…………10 分

所以 y1 ? y2 ?

4 y0 , 4 ? x0
y1 ? y2 2 y0 ? y0 ,即 ? y0 , 2 4 ? x0

……11 分

因为 N 为 AB 中点,所以

…………13 分 ………14 分

所以 x0 ? 2 .即线段 AB 中点的横坐标为定值 2 .

x2 y 2 4 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着焦点为 F 1 (? 2,0) a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q , 满足 AP ?QB ? AQ ?PB ,证明:点 Q 总在某定直线上 解 (1)由题意:

??? ? ??? ?

???? ??? ?

?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 2 2 2 ? ?c ? a ? b

,解得 a ? 4, b ? 2 ,所求椭圆方程为
2 2

x2 y 2 ? ?1 4 2

(2)设点 Q、A、B 的坐标分别为 ( x, y),( x1, y1 ),( x 2 , y2 ) 。

??? ? AP ??? ? ??? ? ???? ??? ? 由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零,记 ? ? ??? ? ? PB

???? AQ ??? ? ,则 ? ? 0 且 ? ? 1 QB

又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ?QB 于是

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

4?

x1 ? ? x2 , 1? ? x ? ? x2 x? 1 , 1? ?

y1 ? ? y2 1? ? y ? ? y2 y? 1 1? ? 1?

从而
2 x12 ? ? 2 x2 ? 4 x , ??(1) 1? ? 2

y12 ? ? 2y2 2 ? y ,??(2) 1? ?2
2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,??(4)

又点 A、B 在椭圆 C 上,即

x12 ? 2 y12 ? 4,??(3)

(1)+(2)×2 并结合(3) , (4)得 4s ? 2 y ? 4 即点 Q( x, y) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 5.已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

3 2

解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

1 9 3 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
……………4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

3 x2 y 2 ? ? 1得 (Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 3 yE ? kxE ? ? k xF ? 2 2 2 3 ? 4k
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 3 yE ? ?kxE ? ? k xF ? 2 2 2 3 ? 4k

所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为 6 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,短轴两个端点为 A, B ,且四 a2 b2 边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形。
(1)求椭圆方程; (2)若 C , D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆于 点 P 。证明: OM ? OP 为定值; (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆
[来源:学|科|网]

?

?

恒过直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 解: (1) a ? 2, b ? c, a 2 ? b 2 ? c 2 ,? b ? 2 ,? 椭圆方程为
2

x2 y2 ? ? 1。 4 2
?

(2) C (?2,0), D(2,0) ,设 M (2, y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y 0 ) 。 直线 CM :

?

y 1 x ? 2 y ? y0 ,即 y ? 0 x ? y 0 ,……………………………6 分 ? 4 2 4 y0
2

2 y0 1 2 1 2 ) x 2 ? y0 x ? y0 ? 4 ? 0。 代入椭圆 x ? 2 y ? 4 得 (1 ? 8 2 2

2

? x1 (?2) ?
?

2 2 8y 4( y0 ? 8) 2( y0 ? 8) ,? y1 ? 2 0 。 , ? x ? ? 1 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

2 2( y0 ? 8) 8 y0 ? OP ? (? 2 , 2 ), y0 ? 8 y0 ?8 ? ? 2 2 2 4( y0 ? 8) 8 y0 4 y0 ? 32 。 ? ? ? 4 (定值) 2 2 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

? OP? OM ? ?

(3)设存在 Q(m,0) 满足条件,则 MQ ? DP 。

MQ ? (m ? 2,? y0 ) , DP ? (?
? ?

?

?

2 4 y0 8y , 2 0 ), 2 y0 ? 8 y0 ? 8

则由 MQ? DP ? 0 得

2 2 4 y0 8 y0 ? 2 (m ? 2) ? 2 ? 0 ,从而得 m ? 0 。 y0 ? 8 y0 ? 8

? 存在 Q(0,0) 满足条件。


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