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2018版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例10.3变量间的相关关系统计案例教师用书文北师大版


2018 版高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例 10.3 变量间 的相关关系、统计案例教师用书 文 北师大版

1.相关性 (1)通常将变量所对应的点描出来, 这些点就组成了变量之间的一个图, 通常称这种图为变量 之间的散点图. (2)从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个集中的大致趋势, 这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这样近似的过程称为曲线拟合. (3)若两个变量 x 和 y 的散点图中, 所有点看上去都在一条直线附近波动, 则称变量间是线性 相关的,若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动,则称此相关是非线性相关 的.如果所有的点在散点图中没有显示任何关系,则称变量间是不相关的. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法 如果有 n 个点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),可以用[y1-(a+bx1)] +[y2-(a+bx2)]
2 2 2

+?+[yn-(a+bxn)] 来刻画这些点与直线 y=a+bx 的接近程度, 使得上式达到最小值的直 线 y=a+bx 就是所要求的直线,这种方法称为最小二乘法. (2)线性回归方程 方程 y=bx+a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn) 的线性回归方程,其中 a,b 是待定参数.

? ? ?a= y -b x .
3.回归分析

n

n

∑ ?xi- x ??yi- y ? i ∑ xiyi-n x y i=1 =1 b= = , n n 2 2 2 ∑ ? x ∑ x i- x ? i-n x i=1 i=1

(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心
1

对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)中,( x , y )称为样本 点的中心. (3)相关系数
n

①r=

∑ ?xi- x ??yi- y ? i=1
n n
2

∑ ?xi- x ? i=1
n

∑ ?yi- y ? i=1

2



∑ xiyi-n x i=1
n n
2 2

y

2 2

∑ xi-n x i=1

i=1

∑yi-n y

②当 r>0 时,表明两个变量正相关; 当 r<0 时,表明两个变量负相关; 当 r=0 时,表明两个变量线性不相关. |r|值越接近于 1,表明两个变量之间的线性相关程度越高. |r|值越接近于 0,表明两个变量之间的线性相关程度越低. 4.独立性检验 设 A,B 为两个变量,每一个变量都可以取两个值, 变量 A:A1,A2= A1 ;变量 B:B1,B2= B1 . 2×2 列联表:

B A A1 A2
总计 构造一个统计量

B1 a c a+c

B2 b d b+d

总计

a+b c+d n=a+b+c+d

n?ad-bc?2 χ = . ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

利用统计量 χ 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. 当 χ ≤2.706 时,没有充分的证据判定变量 A, B 有关联,可以认为变量 A,B 是没有关联的; 当 χ >2.706 时,有 90%的把握判定变量 A,B 有关联; 当 χ >3.841 时,有 95%的把握判定变量 A,B 有关联; 当 χ >6.635 时,有 99%的把握判定变量 A,B 有关联.
2
2 2 2 2

2

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系.( × ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( √ ) (3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值.( √ ) (4)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x(℃)之间的关系,得回归方程 y=-2.352x+ 147.767,则气温为 2℃时,一定可卖出 143 杯热饮.( ×
2

)

(5)事件 X,Y 关系越密切,则由观测数据计算得到的 χ 越大.( √ ) (6)由独立性检验可知, 有 99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关, 某人数学成绩优秀, 则他有 99%的可能物理优秀.( × )

1.(2015·湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1,变量 y 与 z 正相关.下列结论中 正确的是( )

A.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 C.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 答案 C 解析 因为 y=-0.1x+1,-0.1<0,所以 x 与 y 负相关.又 y 与 z 正相关,故可设 z=by +a(b>0),所以 z=-0.1bx+b+a,-0.1b<0,所以 x 与 z 负相关.故选 C. 2.(教材改编)下面是 2×2 列联表:

y1 x1 x2
合计 则表中 a,b 的值分别为( )

y2
21 25 46

合计 73 47 120

a
22

b

A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52 答案 C

3

解析 ∵a+21=73,∴a=52.又 a+22=b,∴b=74. 3.(2017·重庆联考)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x =3, y = 3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( A.y=0.4x+2.3 C.y=-2x+9.5 答案 A 解析 因为变量 x 和 y 正相关,则回归直线的斜率为正,故可以排除选项 C 和 D. 因为样本点的中心在回归直线上,把点(3,3.5)分别代入选项 A 和 B 中的直线方程进行检验, 可以排除 B,故选 A. 4. (2016·西安模拟)某产品在某零售摊位的零售价 x(单位: 元)与每天的销售量 y(单位: 个) 的统计资料如下表所示: B.y=2x-2.4 D.y=-0.3x+4.4 )

x y

16 50

17 34

18 41

19 31

由上表可得线性回归方程 y=bx+a 中的 b=-4,据此模型预测零售价为 15 元时,每天的销 售量为( )

A.51 个 B.50 个 C.49 个 D.48 个 答案 C 解析 由题意知 x =17.5, y =39,代入线性回归方程得

a=109,109-15×4=49,故选 C.
5. (2016·玉溪一中月考)利用独立性检验来判断两个分类变量 X 和 Y 是否有关系, 通过查阅 下表来确定“X 和 Y 有关系”的可信度.为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系,现从 某地网民中抽取 100 位居民进行调查.经过计算得 χ ≈3.855,那么就有________%的把握 认为用电脑时间与视力下降有关系.
2

P(χ 2≥k0) k0
答案 95

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

解析 根据表格发现 3.855>3.841,3.841 对应的是 0.05, 所以根据独立性检验原理可知有 95% 的把握认为用电脑时间与视力下降有关系.
4

题型一 相关关系的判断 例1 (1)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得线性回归方

程,分别得到以下四个结论: ①y 与 x 负相关且 y=2.347x-6.423; ②y 与 x 负相关且 y=-3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且 y=5.437x+8.493; ④y 与 x 正相关且 y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

(2)x 和 y 的散点图如图所示,则下列说法中所有正确命题的序号为________.

①x,y 是负相关关系; ②在该相关关系中,若用 y= c1e 2 拟合时的相关系数的平方为 r1,用 y=bx+a 拟合时的相 关系数的平方为 r2,则 r1>r2; ③x、y 之间不能建立线性回归方程. 答案 (1)D (2)①② 解析 (1)由线性回归方程 y=bx+a 知当 b>0 时,y 与 x 正相关,当 b<0 时,y 与 x 负相关, ∴①④一定错误. (2)①显然正确;由散点图知,用 y=c1e 2 拟合的效果比用 y=bx+a 拟合的效果要好,故② 正确;x,y 之间能建立线性回归方程,只不过预报精度不高,故③不正确. 思维升华 判定两个变量正、负相关性的方法 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角, 两个变量负相关.
5
c x
2 2 2

c x

2

(2)相关系数:r>0 时,正相关;r<0 时,负相关. (3)线性回归方程中:b>0 时,正相关;b<0 时,负相关. (1)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?,xn 不 1 全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这组 2 样本数据的样本相关系数为( 1 A.-1 B.0 C. 2 D .1 )

(2)变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量

U 与 V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1 表示变量 Y
与 X 之间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则( A.r2<r1<0 C.r2<0<r1 答案 (1)D (2)C 解析 (1)所有点均在直线上,则样本相关系数最大,即为 1,故选 D. (2)对于变量 Y 与 X 而言,Y 随 X 的增大而增大,故 Y 与 X 正相关,即 r1>0;对于变量 V 与 B.0<r2<r1 D.r2=r1 )

U 而言,V 随 U 的增大而减小,故 V 与 U 负相关,即 r2<0,故选 C.
题型二 线性回归分析 例2 (2016·全国丙卷)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)

的折线图.

注:年份代码 17 分别对应年份 2008-2014. (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据: ?yi=9.32, ?tiyi=40.17,
i=1 i=1
7 7

?
i=1

7

?yi- y ? =0.55, 7≈2.646.

2

6

?
i=1

n

?ti- t ??yi- y ? ,
n

参考公式:相关系数 r=

?
i=1

n

?ti- t ?

2

?

?yi- y ?

2

i=1

回归方程 y=a+bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?
i=1

n

?ti- t ??yi- y ? ,a= y -b t .
n

b=

?
i=1

?ti- t ?

2

解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得

t =4, ? (ti- t )2=28,
i=1
7 7

7

?
i=1
7

7

?yi- y ? =0.55.

2

?
i=1

(ti- t )(yi- y )= ?tiyi- t
i=1

?yi=40.17-4×9.32
i=1

=2.89, 2.89 所以 r≈ ≈0.99. 0.55×2×2.646 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回 归模型拟合 y 与 t 的关系.

?
9.32 (2)由 y = ≈1.331 及(1)得 b= 7
i=1

7

?ti- t ??yi- y ?
7

?
i=1

?ti- t ?

2



2.89 ≈0.103, 28

a= y -b t ≈1.331-0.103×4≈0.92.
所以 y 关于 t 的回归方程为 y=0.92+0.10t. 将 2016 年对应的 t=9 代入回归方程得 y=0.92+0.10×9=1.82. 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨. 思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程
7

①利用公式,求出回归系数 b,a.②待定系数法:利用回归直线过样本点的中心求系数. (2)利用回归方程进行预测,把线性回归方程看作一次函数,求函数值. (3)利用回归直线判断正、负相关;决定正相关还是负相关的是系数 b. (4)回归方程的拟合效果,可以利用相关系数判断,当|r|越趋近于 1 时,两变量的线性相关 性越强. (2015·课标全国Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年 宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的 年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,?,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统 计量的值.

? (xi-
x y w
i=1

8

? (wi-
i=1

8

? (xi- x )·(yi-
i=1

8

? (wi- w )·(yi-
i=1

8

x )2
46.6 563 6.8 289.8

w )2
1.6

y)
1 469

y)
108.8

18 表中 wi= xi, w = ?wi. 8i=1 (1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),?,(un,vn),其回归直线 v=α +β u 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为

8

?
i=1

n

?ui- u ??vi- v ? ,α = v -β u .
n

β =

?
i=1

?ui- u ?

2

解 (1)由散点图可以判断, y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型. (2)令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程,由于

?
i=1

8

?wi- w ?·?yi- y ? =
8

d=

?
i=1

108.8 =68, 1.6

?wi- w ?

2

c= y -d w =563-68×6.8=100.6,
所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为 y=100.6+ 68 x. (3)①由(2)知,当 x=49 时, 年销售量 y 的预报值 y=100.6+68 49=576.6, 年利润 z 的预报值 z=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值

z=0.2(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12.
13.6 所以当 x= =6.8,即 x=46.24 时,z 取得最大值. 2 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 题型三 独立性检验 例 3 (2016·福建厦门三中模拟)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作的积极性和 对待企业改革的态度的关系,随机抽取了 100 名员工进行调查,其中支持企业改革的调查者 中,工作积极的有 46 人,工作一般的有 35 人,而不太赞成企业改革的调查者中,工作积极 的有 4 人,工作一般的有 15 人. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)对于人力资源部的研究项目, 根据以上数据是否可以认为企业的全体员工对待企业改革的 态度与其工作积极性有关系?

9

n?ad-bc? 2 参考公式:χ = (其中 n=a+b+c+d) ?a+b??c+d??a+c??b+d?

2

P(χ

2

0.50 ≥k0)

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

0.455

解 (1)根据题设条件,得 2×2 列联表如下: 支持企业改革 工作积极 工作一般 总计 46 35 81 不太赞成企业改革 4 15 19 总计 50 50 100

(2)提出假设:企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关. 根据(1)中的数据,可以求得 100×?15×46-35×4? χ = ≈7.862>6.635,所以有 99%的把握认为抽样员工对待企业改 50×50×19×81
2 2

革的态度与工作积极性有关,从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性 有关. 思维升华 (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 ①通过计算 χ 的大小判断:χ 越大,两变量有关联的可能性越大. ②通过计算|ad-bc|的大小判断:|ad-bc|越大,两变量有关联的可能性越大. (2)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成 2×2 列联表.
2 2

n?ad-bc? 2 2 ②根据公式 χ = 计算 χ . ?a+b??a+c??b+d??c+d?
③比较 χ 与临界值的大小关系,作出统计推断. (2016·衡阳联考)2016 年 9 月 20 日是第 28 个全国爱牙日,为了迎接此节日, 某地区卫生部门成立了调查小组,调查“常吃零食与患龋齿的关系”,对该地区小学六年级 800 名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,并汇总数据:不常吃零食且不患龋齿的学 生有 60 名,常吃零食但不患龋齿的学生有 100 名,不常吃零食但患龋齿的学生有 140 名. (1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下, 认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系? (2)4 名卫生部门的工作人员随机分成两组,每组 2 人,一组负责数据收集,另一组负责数据
2

2

10

处理,求工作人员甲分到收集数据组,工作人员乙分到处理数据组的概率.

n?ad-bc? 2 附:χ = ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(χ 2≥k0) k0
解 (1)由题意可得 2×2 列联表如下: 不常吃零食 不患龋齿 患龋齿 总计 根据 2×2 列联表中数据,得 800×?60×500-100×140? 2 χ = ≈16.667>10.828. 160×640×200×600 ∴能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系. (2)设其他工作人员为丙和丁,4 人分组的所有情况如下表. 小组 收集数据 处理数据 1 甲乙 丙丁 2 甲丙 乙丁 3 甲丁 乙丙 4 乙丙 甲丁 5 乙丁 甲丙 6 丙丁 甲乙
2

2

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

常吃零食 100 500 600

总计 160 640 800

60 140 200

由表可知,分组的情况共有 6 种,工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据的有 2 1 2 种,故工作人员甲分到收集数据组,工作人员乙分到处理数据组的概率为 P= = . 6 3

21.求线性回归方程的方法技巧

典例 (12 分)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 需求量/万吨 2006 236 2008 246 2010 257 2012 276 2014 286

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程 y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地 2016 年的粮食需求量. 思想方法指导 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法. 主要解决: (1)确定特定量之

11

间是否有相关关系,如果有就找出它们之间贴近的数学表达式;(2)根据一组统计数据,预测 变量的取值及判断变量取值的变化趋势;(3)求出线性回归方程. 规范解答 解 (1)由所给数据看出,年需求量与年份之间近似直线上升,下面来求线性回归方程,先将 数据处理如下表. 年份-2010 需求-257 -4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29

对处理的数据,容易算得 x =0, y =3.2,[4 分]

b=


?-4?×?-21?+?-2?×?-11?+2×19+4×29-5×0×3.2 2 2 2 2 2 ?-4? +?-2? +2 +4 -5×0

260 =6.5, 40

a= y -b x =3.2.[6 分]
由上述计算结果,知所求线性回归方程为

y-257=6.5(x-2010)+3.2,
即 y=6.5(x-2010)+260.2.[8 分] (2)利用所求得的线性回归方程,可预测 2016 年的粮食需求量大约为 6.5×(2016-2010)+ 260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨).[12 分]

1.(2016·衡水质检)具有线性相关关系的变量 x,y 满足一组数据如下表所示.若 y 与 x 的 3 线性回归方程为 y=3x- ,则 m 的值是( 2 ) 1 1 2 3 8

x y
A.4 9 B. 2 C.5 D.6

0 -1

m

答案 A 3 m 解析 由已知得 x = , y = +2, 2 4 3 又因为点( x , y )在直线 y=3x- 上, 2
12

m 3 3 所以 +2=3× - ,得 m=4. 4 2 2
2.(2016·湖南师大附中月考)已知 x,y 的取值如下表:

x y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3 )

从所得散点图中分析可知:y 与 x 线性相关,且 y=0.95x+a,则 x=13 时,y 等于( A.1.45 答案 B 1 解析 由题意, x = ×(0+1+4+5+6+8)=4, 6 B.13.8 C.13 D.12.8

y = ×(1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3)=5.25,
∵y 与 x 线性相关,且 y=0.95x+a, ∴5.25=0.95×4+a,∴a=1.45, 从而当 x=13 时,有 y=13.8.故选 B. 3.(2017·泰安质检)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从理工类专业的 A 班和文史 类专业的 B 班各抽取 20 名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表: 优秀 非优秀 6 13 19 总计 20 20 40

1 6

A班 B班
总计 附:参考公式及数据:

14 7 21

n?ad-bc? 2 (1)统计量:χ = (n=a+b+c+d). ?a+b??c+d??a+c??b+d?
(2)独立性检验的临界值表:

2

P(χ 2≥k0) k0
则下列说法正确的是( )

0.050 3.841

0.010 6.635

A.有 99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 B.有 99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 C.有 95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 D.有 95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
13

答案 C 40×?14×13-7×6? 2 解析 因为 χ = ≈4.912, 20×20×21×19 3.841<χ <6.635,所以有 95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关. 4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本 数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x-85.71,则下列 结论中不正确的是( )
2 2

A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 答案 D 解析 ∵0.85>0,∴y 与 x 正相关,∴A 正确; ∵回归直线经过样本点的中心( x , y ),∴B 正确; ∵Δ y=0.85(x+1)-85.71-(0.85x-85.71)=0.85, ∴C 正确.故选 D. 5.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成 绩,得到如下所示的列联表: 优秀 甲班 乙班 合计 附: 10 非优秀 总计

b
30

c

P(χ 2≥k0) k0

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879 )

2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人,成绩优秀的概率为 ,则下列说法正确的是( 7 A.列联表中 c 的值为 30,b 的值为 35 B.列联表中 c 的值为 15,b 的值为 50 C.根据列联表中的数据,若按 97.5%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”

14

D.根据列联表中的数据,若按 97.5%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系” 答案 C 解析 由题意知,成绩优秀的学生数是 30,成绩非优秀的学生数是 75,所以 c=20,b=45, 选项 A、B 错误. 根据列联表中的数据, 105×?10×30-20×45? 得到 χ = ≈6.109>5.024, 55×50×30×75
2 2

因此有 97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”. 6.已知数组(x1,y1),(x2,y2),?,(x10,y10)满足线性回归方程 y=bx+a,则“(x0,y0) 满足线性回归方程 y=bx+a”是“x0= A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B 解析 x0,y0 为这 10 组数据的平均数,根据公式计算线性回归方程 y=bx+a 的 b 以后,再 根据 a= y -b x ( x , y 为样本平均数)求得 a.因此( x , y )一定满足线性回归方程, 但满足线性回归方程的除了( x , y )外,可能还有其他样本点. 7.以下四个命题,其中正确的序号是________. ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1; ③在线性回归方程 y=0.2x+12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均增加 0.2 个单位; ④对分类变量 X 与 Y 的统计量 χ 来说,χ 越小,“X 与 Y 有关系”的把握程度越大. 答案 ②③ 解析 ①是系统抽样;对于④,统计量 χ 越小,说明两个相关变量有关系的把握程度越小. 8.(2016·郑州模拟)对具有线性相关关系的变量 x,y 有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,?, 1 8),其线性回归方程是 y= x+a,且 x1+x2+x3+?+x8=2(y1+y2+y3+?+y8)=6,则实 3 数 a 的值是________.
2 2 2

x1+x2+?+x10
10

,y0=

y1+y2+?+y10
10

”的(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

15

答案

1 8

?3 3? 解析 依题意可知样本点的中心为? , ?, ?4 8?
3 1 3 1 则 = × +a,解得 a= . 8 3 4 8 9. (2016·江西南昌二中模拟)为了研究某种细菌随时间 x 变化的繁殖个数 y, 收集数据如下: 天数 x/天 繁殖个数 y/个 1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190

(1)用天数作解释变量,繁殖个数作预报变量,作出这些数据的散点图,根据散点图判断 y=

a+bx 与 y=c1 e c2 x 哪一个作为繁殖个数 y 关于时间 x 变化的回归方程类型为最佳;(给出判
断即可,不必说明理由) (2)根据(1)中判断的最佳类型及表中的数据,建立 y 关于 x 的回归方程.
6 6 6

x

y

z

∑ (xi- x )·(yi- i=1
2

∑ (xi- x )·(zi- i=1

i=1

∑ (xi- x )

y)
17.5 596.5

z)
12.09

3.5

62.83

3.53

16 其中 zi=ln yi, z = i ∑zi. 6 =1
6

∑ ?xi- x ??yi- y ? i=1 参考公式:b= ,a= y -b x . 6 2 ∑ ? x i- x ? i=1 解 (1)画散点图如下.

由散点图看出样本点分布在一条类似指数函数图像的周围,于是先选择 y=c1 e c2 x . (2)对 y=c1 e c2 x 两边取对数,得 ln y=c2x+ln c1. 令 z=ln y,c2=b,ln c1=a,则 z=bx+a.

x

1

2

3

4

5

6

16

z
6

1.79

2.48

3.22

3.89

4.55

5.25

∑ ?xi- x ??zi- z ? 12.09 i=1 由 b= = =0.691, 6 17.5 2 ∑ ? x - x ? i i=1

a= z -b x ≈1.112,
得 z=0.691x+1.112, 所以 y=e
0.691x+1.112

.

10.某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4 500 人,为调查该校学生每周 平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的 样本数据(单位:小时). (1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示), 其中样本数据的分组区间为:[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12],估计该校学 生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率; (3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请列出每周平均体育 运动时间与性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间 与性别有关”.

n?ad-bc? 2 附:χ = . ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(χ 2≥k0) k0
0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879

2

4 500 解 (1)300× =90, 15 000 所以应收集 90 位女生的样本数据. (2)由频率分布直方图得 1-2×(0.025+0.100)=0.75,

17

所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75. (3)由(2)知,300 位学生中有 300×0.75=225(人)的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份 是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 每周平均体育运动时间超过 4 小时 总计 300×?45×60-165×30? 2 结合列联表可算得 χ = 75×225×210×90 = 100 ≈4.762>3.841. 21
2

女生 30 60 90

总计 75 225 300

45 165 210

所以有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

18


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