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江苏省清江中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题


江苏省清江中学 2014-2015 学年高一上学期期末考试数学试题
时间:120 分钟 满分:160 分 一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上.) 1.集合 A ? ?0,2, a? , B ? 1, a 2 ,若 A 2.函数 f ? x ? ? 2 sin ? ?x ?

? ?
??

B ? ?0,1,2,3,9? ,则 a 的值为



? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,则 ? ? __________. 3? 4 3. 已知 ? 是第二象限角且 sin ? ? ,则 tan ? ? . 5 4.若函数 f ( x) ? log 1 (2 x ? 1) 的定义域是 .
2

? ?

5. 已知向量 a=(2,1),b=(0,-1).若(a+λ b)⊥a,则实数 λ = 6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=3 ,则 f(sin 7. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? 8. sin 22.5? ? cos 22.5? =
4 4
x



?
6

)的值为

?2x ? 1 是奇函数,则 a ? 2x ?1 ? a

.

9.已知 ? ? (0,

? ? 1 ) ,若 sin(? ? ) ? , sin ? 的值为 2 3 3

.

10.设向量 OA ? (k , 3) , OB ? (0,?2k ) , OA , OB 的夹角为 120 ? , 则实数 k ? . 11.设函数 y ? 2sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C , 动点 A( x, y ) 在曲线

y A
O

B

C 上,过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重合) ,设
线段 AB 的长为 f ( x ) ,则函数 f ( x ) 单调递增区间 12. 如 图 , 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , . 底 边 BC ? 2 ,

?
2

?

x

1 1 EB , 若 BD ? AC ? ? , 则 CE ? AB = 2 2 2 13. 已 知 a ? (1, sin x),b ? (2, s i 2 nx) , 其 中 x ? ? 0, ? ? , 若

AD ? DC , AE ?

a ? b ? a ? ,则 b tan x =
π 1 14.已知直线 x=a(0<a<2)与函数 f(x)=sinx 和函数 g(x)=cosx 的图象分别交于 M,N 两点,若 MN= 5 , 则线段 MN 的中点纵坐标为_______.

-1-

二. 解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(1)设 ? 为第四象限角,其终边上一个点为 x,? 5 ,且 cos? ? (2)若 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 ,求 tan ? 的值.

?

?

2 x ,求 sin ? ; 4

16. 函数 f ( x ) ? A sin(? x ?

?
4

) (其中 A ? 0, ? ? 0 )的振幅为 2 ,周期为 ? .

(1)求 f ( x) 的解析式并写出 f ( x) 的单调增区间; (2)将 f ( x) 的图像先左移

?
4

个单位,再将每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,

得到 g ( x ) 的图像,求 g ( x ) 解析式和对称中心(m,0) , m ?0 ,[ ] ? 。

-2-

17.已知: a ? (3, 2), b ? (?1, 2), c ? (4,1) (1)求 3a ? b ? c ;(2)求满足条件 a ? mb ? nc 的实数 m, n 。 (3)若向量 d 满足 (d ? c) / /(a ? b) ,且 d ? c ? 1 求 d .

18. 已知函数 f ( x) ? 4 sin x cos? x ?

?? ? ?? 3. 3? ? ? ? ?? (1) f ( x) 在区间 ?? , ? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. ? 4 6? ? ? (2)若方程 f ( x) ? t ? 0 在 x ? [ ? , ] 上有唯一解,求实数 t 的取值范围. 4 2

-3-

19.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2cos? x ? 1 , x ? [? (1)当 ? ?

? 时,求 f ( x ) 的最大值和最小值. 3 3 1 , ] 上是单调函数,且 ? ? [0, 2? ) ,求 ? 的取值范围. (2)若 f ( x ) 在 x ? [? 2 2 1 tan 2 ? ? 1 (3)若 sin ? ,cos ? 是方程 f ( x ) ? ? cos ? 的两个实根,求 的值. 4 tan ?

3 1 , ] 2 2

20. 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合 放射性污染指数 f(x) 与时刻 x( 时 ) 的关系为 f(x) = | g ( x ) ? a | ?2a ?

? ?1 sin( x ) ? ?2 4 g ( x) ? ? ?1 ? ?x

2 , x∈[0,24] ,其中 3

x ? [0, 2] x ? (2, 24]

1? ,a 是与气象有关的参数,且 a∈? ?0,2?,若用每天 f(x)的最

大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 M(a). (1)令 t= g ( x ) ,求 t 的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标?

-4-

江苏省清江中学 2014-2015 学年第一学期期末考试

高一数学答题纸
一.填空题 1. 6. 11. 2. 7. 12. 3. 8. 13. 4. 9. 5. 10. 14.

二. 解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 15.

16.

-5-

17.

18.

-6-

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-7-

20.

-8-

江苏省清江中学 2014-2015 学年第一学期期末考试

高一数学参考答案

10 ; ………7 分(2) tan ? ? 2 . ……………14 分 4 T ? 16.解:⑴由题可知: A ? 2 且 ? ? T ? ? ? ? ? 2 4 4
15. (1) sin ? ? ?

? f ( x ) ? 2sin(2 x ?
令?

?

?
2

4

) ;………………………5 分 ?

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?
2

? 2k? ??

3? ? ? k? , ? k? ] ( k ? Z );………… 10 分 8 8 ? 3? (2) ? g ( x ) ? 2sin( x ? ) 对称中心( , 0 ) ……………14 分 4 4 17.解: (1) 3a ? b ? c ? 3(3, 2) ? (?1, 2) ? (4,1) ? (4, 7) ………………3 分
? f ( x) 的单调增区间为 [ ?

3? ? ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) 8 8

? 3a ? b ? c ? 42 ? 72 ? 65 …………………………5 分
(2)由 a ? mb ? nc 得 (3, 2) ? m(?1, 2) ? n(4,1) ? (?m ? 4n, 2m ? n) …6 分

5 ? m? ? ? ? m ? 4n ? 3 ? 9 ……………8 分? ? ………………10 分 ?? ?2m ? n ? 2 ?n ? 8 ? 9 ?
(3) a ? b ? (2, 4),(d ? c) // (a ? b)

(? ? R) ………………11 分 ?d ? c ? ? (a ? b) ? (2?, 4?)

? d ? c ? (2? )2 ? (4? )2 ? 1

? ?? 2 18.解:(1) f ? x ? ? 4sin x ? ? cos x cos ? sin x sin ? ? 3 ? 2sin x cos x ? 2 3 sin x ? 3 3 3? ?

5 …………………………14 分 10 5 5 2 ?? ? 时, d ? c ? ? (2, 4)( ? 4? , 1? 5), 10 5 5 5 5 2 …………15 分 ? ? ? 时, d ? c ? ? (2, 4)( ? 4? , 1? 5)。 10 5 5 ?? ? ?

-9-

?? ? ? sin 2x ? 3 cos 2x ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ?
因为 ?

…………5 分

?

4 6 6 3 ? ? 1 ?? ? 所以 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ,所以 ?1 ? f ? x ? ? 2 ,当 2 x ? ? ? , 3 6 2 3? ? ? ? ? ? 即 x ? ? 时, f ? x ?min ? ?1 , 当 2 x ? ? , 即 x ? 时, f ? x ? ? 2 , ……9 分 min
4
(2)因为 ?

?x?

?

,所以 ?

?

? 2x ?

?

?

2? 3

? ? 2, 2 3? ? ? ? ? 4? ?? ? ? 2x ? ? 且单调递增, ? x ? 时, 所以 ? 3 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2 ,且单调 12 2 2 3 3 3? ?
4 12 6 3
递减, 所以 f ? x ? ? t ,有唯一解时对应 t 的范围为 t ?[? 3, ?1) 或 t=2 ……15 分

?

?x?

?

时, ?

?

3

? 2x ?

?

2

?

?

12

, ?1 ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? 1? 20.解 (1)当 0<x≤24 时,t 的取值范围是?0, ?. ? 2? 2 ? 1? (2)当 a∈?0, ?时,记 g(t)=|t-a|+2a+ , 3 ? 2?
2 ? ?-t+3a+3,0≤t≤a, 则 g(t)=? 2 1 ?t+a+3,a<t≤2, ?

……5 分

……8 分

? 1? ∵g(t)在[0,a]上单调递减,在?a, ?上单调递增, ? 2? 2 ?1? 7 ?1? ? 1? 且 g(0)=3a+ ,g? ?=a+ ,g(0)-g? ?=2?a- ?. 3 ?2? 6 ?2? ? 4?

- 10 -

1 ?1? g? ?,0≤a≤ , ? ? ?2? 4 故 M(a)=? 1 1 g 0 , <a≤ , ? ? 4 2

7 1 a+ ,0≤a≤ , ? ? 6 4 =? 2 1 1 3a+ , <a≤ , ? ? 3 4 2

4 ∴当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2. 9 4 4 1 故当 0≤a≤ 时不超标,当 <a≤ 时超标. 9 9 2

……16 分

- 11 -


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