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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案:第二章 2.1 2.1.1 合情推理 Word版含答案

合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 预习课本 P70~77,思考并完成下列问题 (1)归纳推理的含义是什么?有怎样的特征? (2)类比推理的含义是什么?有怎样的特征? (3)合情推理的含义是什么? [新知初探] 1.归纳推理和类比推理 [点睛] (1)归纳推理与类比推理的共同点:都是从具体事实出发,推断猜想新的结论. (2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的,结论不一定正确;而类比推理的结 果具有猜测性,不一定可靠,因此不一定正确. 2.合情推理 [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)统计学中, 从总体中抽取样本, 然后用样本估计总体, 这种估计属于归纳推理. ( ) 1 (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( (3)由个别到一般的推理为归纳推理.( 答案:(1)√ (2)× (3)√ ) ) 2.由“若 a>b,则 a+c>b+c”得到“若 a>b,则 ac>bc”采用的是( A.归纳推理 C.类比推理 答案:C 3.数列 5,9,17,33,x,…中的 x 等于________. 答案:65 B.演绎推理 D.数学证明 ) 归纳推理在数、式中的应用 [典例] (1)观察下列各式: ) a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+b10=( A.28 C.123 (2)已知 f(x)= B.76 D.199 x ,设 f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且 n∈N*),则 f3(x)的表 1- x 达式为________,猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式为________. [解析] (1)利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=3+1=4,a4+b4=4+3=7,a5 +b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9 =47+29=76,a10+b10=76+47=123,规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和. (2)∵f(x)= x ,∴f1(x)= . 1-x 1-x x 又∵fn(x)=fn-1(fn-1(x)), x ∴f2(x)=f1(f1(x))= 1-x 1- x = , 1-2x x 1-x x f3(x)=f2(f2(x))= 1-2x 1-2× 1-2x x = , 1-4x x 2 x f4(x)=f3(f3(x))= 1-4x 1-4× 1-4x x f5(x)=f4(f4(x))= 1-8x 1-8× 1-8x x = , 1-16x x x = , 1-8x x ∴根据前几项可以猜想 fn(x)= . 1-2n-1x x [答案] (1)C (2)f3(x)= x x fn(x)= - 1-4x 1-2n 1x 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律; (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征; (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点; (4)运用归纳推理得出一般结论. 2.数列中的归纳推理 在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和. (1)通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和; (2)根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解; (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式. [活学活用] 1.观察下列等式: ?sin π?-2+?sin 2π?-2=4×1×2; 3? 3? ? ? 3 ?sin π?-2+?sin 2π?-2+?sin 3π?-2+?sin 4π?-2=4×2×3; 5? 5? 5? 5? ? ? ? ? 3 ?sin π?-2+?sin 2π?-2+?sin 3π?-2+…+?sin 6π?-2=4×3×4; 7? 7? 7? 7? ? ? ? ? 3 ?sin π?-2+?sin 2π?-2+?sin 3π?-2+…+?sin 8π?-2=4×4×5; 9? 9? 9? 9? ? ? ? ? 3 …… 3 照此规律, ?sin π ?-2+?sin 2π ?-2+?sin 3π ?-2+…+?sin 2nπ ?-2=________. 2n+1? 2n+1? 2n+1? 2n+1? ? ? ? ? 4 4 解析:通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的 是个固定数, 后面第一个数是等 3 3 4 式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系数的一半, 后面第二个数是第一个数的下一 3 4 4 个自然数,所以,所求结果为 ×n×(n+1),即 n(n+1). 3 3 4 答案: n(n+1) 3 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3,满足 Sn=6-2an+1(n∈N*). (1)求 a2,a3,a4 的值. (2)猜想 an 的表达式. 解:(1)因为 a1=3,且 Sn=6-2an+1(n∈N*), 3 所以 S1=6-2a2=a1=3,解得 a2= , 2 3 3 又 S2=6-2a3=a1+a2=3+ ,解得 a3= , 2 4 3 3 又 S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+ + , 2 4 3 解得 a4= . 8 3 3 3 3 3 (2)由(1)知 a1=3= 0,a2= = 1,a3= = 2, 2 2 2 4 2 3 3 3 a4= = 3,…,猜想 an= n 1(n∈N*). 8 2 2- 归纳推理在几何中的应用 [典例] 有两种花色的正六边形地面砖, 按下图的规律拼成若干个图案, 则第六个图案 ) 中有菱形纹的正六边形的个数是( A.26 B.31 C.32 D.36 [解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表: 4 图案 个数 1 6 2 11 3 16 … … 由表

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