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2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标(理科数学)


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6 月 7 日 15:00——17:00

2015 年 普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填 写在答题卡。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的 4 个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A ? ??2, ?1,0,1,2? , B ? ?x (x ? 1)(x ? 2) ? 0? ,则 A ? B ? (A)

0? ??1,

(B) ?0,1 ?

(C) ??1 , 0, 1?

(D) ?0,1 , 2?

(2) 若 a 为实数,且 (2 ? ai)(a ? 2i) ? ?4i ,则 a ? (A) ?1 (B) 0 (C)1 (D) 2 (3) 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨) 柱形图,以下结论中不正确 的是 ...

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果显著 (B)2007 年我国治理二氧化硫排放量显现成效 (C)2006 年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势 (D)2006 年以来我国二氧化硫年排量与年份正相关 (4)已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a1 ? a3 ? a5 ? 21,则 a3 ? a5 ? a7 ? (A) 21 (5)设函数 f ( x) ? ? (B) 42
x ?1 ?2 , x ? 1, (B) 6

(C) 63

(D) 84

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,

则 f (?2) ? f (log2 12) ?

(A) 3 (C) 9 (D)12 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图所示,
1

则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 (A)

1 8 1 6

(B)

1 7 1 5

(C)

(D)

(7)过三点 A(1,3), B(4,2), C(1, ?7) 的圆交 y 轴于 M , N 两点,则 MN ? (A) 2 6 (B) 8 (C) 4 6 (D)10

(8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相 减损术”.执行该程序框图,若输入的 a, b 分别为14,18 ,则输出的 a ? (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 14 (9)已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? , C 为球面上的动点。若 三棱锥 O ? ABC 体积最大值为 36 ,则球 O 的表面积为 (A) 36? (B) 64? (C)144? (D) 256?

(10)如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2, BC ? 1, O 是 AB 的中点,点 P 沿着边

BC, CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x .将动点 P 到 A, B 两点的距离之和表示为 x
的函数 f ( x) .则 y ? f ( x) 的图像大致为
y y y y

2

2

2

2

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

(A)

(B)

(C)

(D)

(11)已知 A, B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上. ?ABM 为等腰三角形, 顶角为 120 ? ,则 E 的离心率为 (A) 5 (B) 2 (C) 3 (D) 2

) x ? R) (12)设函数 f ?( x ) 是奇函数 f ( x( 导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时,
2

xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是

(A) (??, ?1) ? ? 0,1? (C) (??, ?1) ? ? ?1,0 ?

(B) (?1,0) ? (1, ??) (D) (0,1) ? (1, ??)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求做答.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
(13)设向量 a, b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ?
? x ? y ? 1 ? 0, ? (14)若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?

(15) (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32 ,则 a ? (16)设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 ,an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn ?

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分) ?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC , ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍 sin ?B (Ⅰ)求 ; sin ?C (Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ? (18) (本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A, B 两地区分别随机调查了 20 个 用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较 两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)
A地区 4 5 6 7 8 B地区

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

3

9

(Ⅱ)根据用户满意评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C : “ A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”.假设两地 区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发 生的概率,求 C 的概率. (19)(本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 16,BC ? 10,AA 1 ? 8 ,点 E , F 分 别在 A1B1,D1C1 上, A1E ? D1F ? 4 ,过点 E , F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交
D1 E F

C1

线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. (20)(本小题满分 12 分)

A1

B1

D A B

C

已知椭圆 C : 9 x 2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行与坐标轴,
l 与 C 有两个交点 A, B ,线段 AB 的中点为 M .

(Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; m ( , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P .四边形 OAPB 能否为平行四 (Ⅱ)若 l 过点 3 边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? emx ? x 2 ? mx .
? ?) 单调递增; (Ⅰ)证明: f ( x) 在 ?? ?, 0? 单调递减,在 (0,

(Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ? ??1,1? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ,求 m 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做第一题记分, 做答时请写清题号. (22)(本题满分 10 分)选修 4-1:几何选讲
O 为等腰三角形 ABC 内一点, 如图, ⊙ O 与 ?ABC 的底边 BC 交于 M , N

两点,与底边上的高 AD 交于点 G ,且与 AB, AC 分别相切于 E , F 两点. (Ⅰ)证明: EF // BC ; (Ⅱ)若 AG 等于⊙ O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积. (23)(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? t cos? , t ? 0) 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1: ( t 为参数, , 其中 0 ? ? ? ? ? y ? t sin ? , ?
4

在 以 O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 中 , 曲 线 C2:? ? 2 sin ? ,

C3:? ? 2 3 cos?
(Ⅰ)求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A , C1 与 C3 相交于点 B ,求 AB 的最大值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (Ⅰ)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

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