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高一数学平面向量期末复习试题(必修4)


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高一数学平面向量期末复习试题 高一数学平面向量期末复习试题(必修 4) 平面向量 )
(共 160 分,考试时间 120 分钟 ) 得分: 得分:

小题, 请将答案写在横线处 写在横线处) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案写在横线处) 填空题(
1.若有以下命题: . 有以下命题: 两个相等向量的模相等; ① 两个相等向量的模相等; 相等的两个向量一定是共线向量; ③ 相等的两个向量一定是共线向量; 都是单位向量, ② 若 a 和 b 都是单位向量,则 a = b ; ④ a // b , c // b ,则 a // c ;

零向量是唯一没有方向的向量 是唯一没有方向的向量; 两个非零向量的和可以是零 ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量; ⑥ 两个非零向量的和可以是零。 其中正确的命题序号是 。 的河流中, 有一艘船沿与水流垂直的方向以 的速度航行, 2. 在水流速度为 4 km / h 的河流中, 有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 km / h 的速度航行, 则船自身航行速度大小 大小为 则船自身航行速度大小为____________ km / h 。 3. 任给两个向量 a 和 b ,则下列式子恒成立的有 则下列式子恒成立的有________________。 。 ① | a + b |≥| a | + | b | ③ | a ? b |≤| a | + | b | ② | a ? b |≥| a | ? | b | ④ | a ? b |≤| a | ? | b |

考号

4. 若 AB = 3a , CD = ?5a 且 | AD |=| BC | ,则四边形 ABCD 的形状为 的形状为________。 。 姓名 5.梯形 ABCD 的顶点坐标为 A(?1,2) , B (3,4) , D ( 2,1) 且 AB // DC , AB = 2CD ,则 . 的坐标为___________。 点 C 的坐标为 。 6. ?ABC 的三个顶点坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 y 2 ) , C ( x3 y 3 ) ,若 G 是 ?ABC 的重 的三个顶点坐标分别为 点的坐标为__________, GA + GB + GC = __________________。 心,则 G 点的坐标为 , 。 7. 若向量 a = (1,1) , b = (1,?1) , c = ( ?1,2) ,则 c = ___________(用 a 和 b 表示 。 表示)。 用 8. 与向量 a = (3,4) 平行的单位向量的坐标为 ________________。 平行的单位向量的坐标 的坐标为 。 班级 9. 在 ?ABC 中,已知 AB = 7 , BC = 5 , AC = 6 ,则 AB ? BC = ________________。 。 10.设 a = (x,3) , b = ( 2,?1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 __ 设 的夹角为钝角, 的取值范围是 11. 直线 l 平行于向量 a = ( ?2,3) ,则直线 l 的斜率为 平行于 的斜率为____________。 。 12. 已知 a = (3,?4) , b = (cos θ , sin θ ) (θ ∈ R ) ,则 | a ? 2b | 的取值范围是 _________。 。 ____。 。

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13.已知向量 a 、 b 不共线,且 | a |=| b | ,则 a + b 与 a ? b 的夹角为 __________。 已知向量 不共线, 已知 。 14.在 ?ABC 中 AB = c , BC = a , CA = b ,则下列推导正确的是 在 则下列推导正确的是__ ① 若 a ? b < 0 则 ?ABC 是钝角三角形 _ 。

② 若 a ? b = 0 ,则 ?ABC 是直角三角形

③ 若 a ? b = c ? b , 则 ?ABC 是等腰三角形 ④ 若 | a |=| b ? c | ,则 ?ABC 是直角三角形 ⑤ 若 a ? b = c ? b = a ? c ,则△ABC 是正三角形

小题, 请在答题卷指定区域内作答, ... 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,请在答题卷指定区域内作答,解答应 解答题( 写出文字说明、 写出文字说明、证明过程或演算步骤) ................
15.已知 a + b + c = 0 且 | a |= 3 , | b |= 1 , | c |= 4 已知 计算 a ? b + b ? c + c ? a

16 设 D 、 E 、 F 分别是 ?ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 上的点,且 AF = 上的点,

1 AB 2

BD =

1 1 BC , CE = CA ,若记 AB = m , CA = n ,试用 m , n 表示 DE 、 EF 、 FD 。 3 4

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17. 已知 | a |= 4 , | b |= 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求 ° ⑴ ( a ? 2b) ? ( a + b) ; ⑵ | 2a ? b | ; 的夹角。 ⑶ a 与 a + b 的夹角。

18. 已知向量 a = (1,2) , b = (?3,2) 。 为何值时, 垂直? ⑴求 | a + b | 与 | a ? b | ;⑵ 当 k 为何值时,向量 k a + b 与 a + 3b 垂直? 为何值时, 平行?并确定此时它们是同向还是反向? 此时它们是同向还是反向 ⑶ 当 k 为何值时,向量 k a + b 与 a + 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向?

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19. 已知 OP = (2,1) ,OA = (1,7) ,OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点,O 是坐标原 上一点, 点 余弦值。 ⑴求使 MA ? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ∠AMB 的余弦值。 )

20. 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM = 2 上的一个动点, 的最小值。 求: OA ? (OB + OC ) 的最小值。

第二学期期末复习试题 江苏省沛县湖西中学 2007-2008 第二学期期末复习试题
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第二章平面向量参考答案 平面向量参考答案
一.填空题: 1.①④;2. 4 5 ;3.②③;4.等腰梯形;5.(4,2) ;6. (

x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 , ) ,0 ; 3 3

1 3 3 4 3 4 3 3 a ? b ; ( , ) 或 (? ,? ) ; ? 19 ; (?∞,?6) U (?6, ) ; ? ; [3,7] ; 8. 89. 10. 11. 12. 2 2 5 5 5 5 2 2 13. 90° ;14②③④⑤.
7. 二.解答题: 15.因为 ( a + b + c ) ? (a + b + c ) = a + b + c + 2a ? b + 2b ? c + 2a ? c = 0 , 由
2 2 2

| a |= 3, | b |= 1, | c |= 4







9 + 1 + 16 + 2(a ? b + b ? c + a ? c) = 0



a ? b + b ? c + a ? c = ?13 .
16. 由 题 意 可 得 AF =

1 1 1 1 m , FB = m , BD = ( AC ? AB) = ? (m + n) , 2 2 3 3 2 1 3 DC = ? (m + n) , CE = n , EA = n , 3 4 4 2 1 2 5 所以 DE = DC + CE = ? ( m + n) + n = ? m ? n; 3 4 3 12 3 1 1 1 1 1 EF = EA + AF = n + m ; FD = FB + BD = m ? (m + n) = m ? n . 4 2 2 3 6 3
2

17.由题意可得 | a | = 16 , | b |= 4 , a ? b = ?4 (1) ( a ? 2b) ? ( a + b) = a ? a ? b ? 2b = 12 ; (2) | 2a ? b | =
2

(2a ? b) 2 = 4a ? 4a ? b + b = 2 21
a ? ( a + b)
| a || a + b |

2

2

(3)设 a 与 a + b 的夹角为 θ ,则 cos θ =

=

3 ,又 0° ≤ θ ≤ 180° ,所以 2

θ = 30° , a 与 a + b 的夹角为 30° 。
18.因为 a = (1,2), b = ( ?3,2) 所以 | a | = 5 , | b |= 13 , a ? b = 1 ,
2

(1) | a + b |=

a + 2a ? b + b = 2 5 , | a ? b |= a ? 2a ? b + b = 4 ;

2

2

2

2

(2) 当 向 量 k a + b 与 a + 3b 垂 直 时 , 则 有 (k a + b) ? ( a + 3b) = 0 ,

k a + (3k + 1)a ? b + 3b = 0 ,即 5k + (3k + 1) + 39 = 0 解得 k = ?5 所以当 k = ?5 时,向
量 k a + b 与 a + 3b 垂直;
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2

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(3)当向量 k a + b 与 a + 3b 平行时,则存在 λ 使 k a + b = λ ( a + 3b) 成立,于是 ? 解得 k =

?k = λ ?3λ = 1

1 1 1 1 1 ,当 k = 时, k a + b = a + b = ( a + 3b) ,所以 k = 时向量 k a + b 与 3 3 3 3 3

a + 3b 平行且它们同向.
19.(1)设 M ( x, y ) , 则 OM = ( x, y ) , 由题意 可知 OM // OP 又 OP = ( 2,1) 。 所以

x ? 2 y = 0 即 x = 2 y ,所以 M (2 y, y ) ,
则 MA ? MB = (1 ? 2 y,7 ? y ) ? (5 ? 2 y,1 ? y ) = 5 y ? 20 y + 12 = 5( y ? 2) + 2 , 当
2 2

y = 2 时, MA ? MB 取得最小值,此时 M (4,2) ,即 OM = (4,2) 。
(2)因为 cos ∠AMB =

MA ? MB | MA || MB |

=

(?3,5) ? (1,?1) 34 × 2

=?

4 17 。 17
, 所 以

20. 因 为 OB = OM + MB

, OC = OM + MC

, 又 MB = ? MC

OA ? (OB + OC ) = 2OA ? OM = ?2 | OA || OM |≥ ?2 ? (

| OA | + | OM | 2 ) = ?2 ,当且仅当 2

| OA |=| OM | 即 O 为 AM 的中点时, OA ? (OB + OC ) 取得最小值且为 ? 2 。

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