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广东省惠州市2013届高三7月第一次调研考试数学(文科) 试题


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广东省惠州市 2013 届高三 7 月第一次调研考试数学(文科) 试题
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式: 1 锥体的体积公式: V ? Sh ( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高) 3 4 3 球体体积公式: V 球 ? ? R ( R 是半径) 3 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求.) 1. 已知集合 A ? ?1, 2, 3, 4? ,集合 B ? ? 2, 4? ,则 A ? B ? ( A. ? 2, 4? B. ?1, 3? C. ?1, 2, 3, 4? ) D. ? 1 )条件 C.充要 D.既不充分又不必要 ) D. ?

2. i 为虚数单位,则复数 i ? ?1 ? i ? 的虚部为( A. i B. ? i C. 1

3.若 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ a ? 1 ”的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 )

4.若 p 是真命题, q 是假命题,则( A. p ? q 是真命题 题

B. p ? q 是假命题

C. ? p 是真命题

D. ? q 是真命

C b c 5.在 ? ABC 中, a , , 分别为角 A ,B , 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是



) B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角

A.等腰直角三角形 形

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3

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6.若函数 f ( x ) ? x ( x ? R ) ,则函数 y ? f ( ? x ) 在其定义域上是( A.单调递减的偶函数 C.单凋递增的偶函数 B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数

7.阅读右图 1 所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结 果是( A. 3 ) . B. 11 C. 38 D. 123

开始
a ?1

a?a ?2
2

a ? 10 ?

8.已知实数 4, m , 9 构成一个等比数列,则圆锥曲线
x
2

否 输出 a



m

? y ? 1 的离心率为(
2

) 结束

图1

A.

30 6

B. 7

C.

30 6

或 7

5 D. 或 7 6

9.设图 2 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(



3 2 3 正视图 侧视图

A. 9? ? 42 C. ? ? 12
2 9

B. 36? ? 18 D. ? ? 18
2 9

? , 1 ?a, a b ? 10.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? : 。设 1 . ?b, a ? b ?
2 函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 1 ? ,x ? R . 若函数 y ? f ? x ? ? c 的

图2 俯视图

图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A.? ? 1,1? ? ? 2, ?? ? B.? ? 2, ? 1? ? ?1, 2 ?

). D.? ? 2, ? 1?

C.? ?? , ? 2 ? ? ?1, 2 ?

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 )
? ? ? ? 11.若向量 a ? ?1,1 ? , b ? ? ? 1, 2 ? ,则 a ? b 等于_____________.

? x , x ? 0, 12.已知函数 f ( x ) ? ? 2 则 f ( f (2)) = ? x ? 5, x ? 0,
?x ? y ? 3 ? 13.设 x 、 y 满足条件 ? y ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?y ? 0 ?



.

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第 14 题的分。 )
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14.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,则圆 C 上点到直线
l : ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 4 ? 0 的最短距离为



P C

A O ·

B

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,PAB、PCD 为⊙O 的两条割 线,若 PA=5,AB=7,CD=11, AC ? 2 ,则 BD 等于 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说 明、证明过程和演算步骤. 图3 16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 , a 3 ? ? 3 . (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)若数列 ? a n ? 的前 k 项和 S k ? ? 35 ,求 k 的值. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为偶函数,周期为 2? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 ? ? ( ? D

? ?
3 2 ,

), f (? ?

?
3

)?

1 3

,求 sin(2? ?

2? 3

) 的值.

18.(本题满分 14 分) 某中学在校就餐的高一年级学生有 440 名,高二年级学生有 460 名,高三年级学生有 500 名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取 70 名学生进行抽样 调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级: 1 级(很不满 意) 级(不满意) 级(一般) 级(满意) 级(很满意) ;2 ;3 ;4 ;5 ,其统计结果如下表(服 务满意度为 x ,价格满意度为 y ). 人数 x 服 务 满 意 度 1 2 3 4 5 y 1 1 2 3 1 0 2 1 1 7 4 1 价格满意度 3 2 3 8 6 2 4 2 4 8 4 3 5 0 1 4 1 1

(1)求高二年级共抽取学生人数; (2)求“服务满意度”为 3 时的 5 个“价格满意度”数据的方差;
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(3)为提高食堂服务质量,现从 x ? 3 且 2 ? y ? 4 的所有学生中随机抽取两人征求意 见,求至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率.

19.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC , A1
AB ? BC , D 为 AC 的中点, A1 A ? AB ? 2 , BC ? 3 .
A

(1)求证: AB1 / / 平面 BC1 D ; (2) 求四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积.
B1

D

B

C1

C

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 1 ,且经过点 ( , ) . 3 2 2

6

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P (0, 2) 的直线交椭圆 C 于 A , B 两点,求 ? AOB (O 为原点)面积的最大值.

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

a ?1 2

2 x ? bx ? a ( a , b ? R ) ,且其导函数 f ?( x ) 的图像过原点.

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x ) ? ? 9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的零点个数。

惠州市 2013 届高三第一次调研考试 文科数学参考答案与评分标准
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号
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1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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答案 A C A

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D C B B C D B

1. 【解析】由交集的定义选 A. 2. 【解析】 i ? ?1 ? i ? ? i ? i ? i ? 1 故选 C
2

3. 【解析】当 a ? 1 时,有 a ? 1 .所以“ a ? 1 ”是“ a ? 1 ”的充分条件, 反之,当 a ? 1 时, a ? ? 1 ,所以“ a ? 1 ”不是“ a ? 1 ”的必要条件.故选 A. 4. 【解析】或( ? )一真必真,且( ? )一假必假,非( ? )真假相反,故选 D 5.【解析】在 ? ABC 中,若 a ? 2b cos C ,则 sin A ? 2 sin B cos C ,即
sin( B ? C ) ? 2 sin B cos C
3

? s i nB ? C ) ( ?
3

, 0 B ? C 故选 C ?
2

6. 【解析】 y ? f ( ? x ) ? ( ? x ) ? ? x ? y ' ? ? 3 x ? 0,? y ? f ( ? x ) 在其定义域上单调递 减, f ? ? ? ? x ? ? ? ? f ( ? x ) 则 f ( ? x ) 是奇函数,故选 B。 ? ? 7. 【解析】第一步: a ? 1 ? 2 ? 3 ? 10 ,第二步: a ? 3 ? 2 ? 11 ? 10 ,输出 11 .故选 B
2 2

8. 【解析】 4, m , 9 成等比, m ? 36 ? m ? ? 6 当 m ? ? 6 时圆锥曲线为椭圆 因 则
2

x

2

6

? y ?1
2

其离心率为

30 6

;当 m ? ? 6 时圆锥曲线为双曲

线y ?
2

x

2

6

? 1 其离心率为 7 故选 C

9. 【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球 构成的组合体,其体积 4 3 3 9 V ? ? ( )+3 ? 3 ? 2= ? ? 18 。故选 D 3 2 2
? x 2 ? 2, ? 1 ? x ? 2, 10. 【解析】由题设 f ? x ? ? ? ? x ? 1, x ? ? 1或 x ? 2

画出函数的图象,函数图象的四个端点(如图)为 A ? 2,1 ? , B ? 2, 2 ? , C ? ? 1, ? 1 ? ,
D ? ? 1, ? 2 ? . 从图象中可以看出,直线 y ? c 穿过点 B ,点 A 之间时,直线 y ? c 与图

象有且只有两个公共点,同时,直线 y ? c 穿过点 C ,点 D 时,直线 y ? c 与图象有且 只有两个公共点,所以实数 c 的取值范围是 ? ? 2, ? 1? ? ?1, 2 ? .故选B 二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11. 1 ;
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12. ? 1 ;

13. 1;

14.

5 ? 1 .;

15. 6

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? ? 11. 【解析】 a ? b ? ?1,1 ? ? ? ? 1, 2 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 1 .

? x , x ? 0, 12. 【解析】因函数 f ( x ) ? ? 2 所有 f ( f (2)) ? f ( ? 1) ? ? 1 ? x ? 5, x ? 0,

13. 【解析】由题意知当直线 y ? ? x ? z 经过点 ?1, 0 ? 时, z 取的最小值 1 14. 【解析】由题意圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0
2 2

所以圆 C 上点到直线 l : 的最短距离为 5 ? 1 15.【解析】由 PA ? PB ? PC ? PD 得 PD ? 15 又? ? PAC ? ? PDB ?
PA PD ? AC DB ? BD ? 6

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)设等差数列 ? a n ? 的公差 d ,则 a n ? a1 ? ? n ? 1? d , 由题设, a 3 ? ? 3 ? a1 ? 2 d ? 1 ? 2 d ,所以 d ? ? 2 .
a n ? 1 ? ? n ? 1? ? ? 2 ? ? 3 ? 2 n .

??????????? 6 分
? k ? 2 ? k ? ? ? 35 ,

(2)因为 S k ?
2

k ? a1 ? a k ? 2

?

k ?1 ? 3 ? 2 k ? 2

所以 k ? 2 k ? 35 ? 0 ,解得 k ? 7 或 k ? ? 5 . 因为 k ? N ? ,所以 k ? 7 . 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)? T ? 2? , 则? ?
2? T ? 1.

??????????? 12 分

? f ( x ) ? sin( x ? ? ) . ? f ( x ) 是偶函数, ? ? ? k ? ?

???2 分

?
2

(k ? Z ) ,

又 0 ? ? ? ? ,? ? ?

?
2





f ( x ) ? cos x .

???5 分
1 3 ,? ? ? ( ?

(2)由已知得 cos(? ?

?
3

)?

? ?
3 2 ,

) ,? ? ?

?
3

? (0,

5? 6

).

则 sin(? ?

?
3

)?

2 2 3



???8 分

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? sin(2? ?

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) cos(? ?

2? 3

) ? 2 sin(? ?

?
3

?
3

)?

4 2 9



???12 分

18.(本题满分 14 分)
? 70 ? 23 (人)????3 分 1400 3?7?8?8? 4 ? 6 ,?????4 分 (2) “服务满意度为 3”时的 5 个数据的平均数为 5

解: (1)共有 1400 名学生,高二级抽取的人数为

460

所以方差 s ?
2

?3 ? 6?

2

? ? 7 ? 6 ? ? 2 ?8 ? 6 ? ? ? 4 ? 6 ?
2 2

2

5

? 4.4 ??????7 分

(3)符合条件的所有学生共 7 人,其中“服务满意度为 2”的 4 人记为 a , b , c , d “服务满意度为 1”的 3 人记为 x , y , z . ????????9 分 在这 7 人中抽取 2 人有如下情况: ? a , b ? , ? a , c ? , ? a , d ? , ? a , x ? , ? a , y ? , ? a , z ?

? b, c ? , ? b, d ? , ? b, x ? , ? b, y ? , ? b, z ? ? c, d ? , ? c, x ? , ? c, y ? , ? c, z ? ? d , x ? , ? d , y ? , ? d , z ? ? x , y ? , ? x , z ? , ? y , z ? 共 21 种情况.
????????11 分

其中至少有一人的“服务满意度为 1”的情况有 15 种. ????????12 分 15 5 ? ????????14 分 所以至少有一人的“服务满意度”为 1 的概率为 p ? 21 7 19. (本小题满分 14 分) (1)证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点.
D A1 A

E

∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△ AB1C 的中位线,
B1 B

∴ OD / / AB1 .

????????? 3 分
O

∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D , ∴ AB1 / / 平面 BC1 D .

C1

C

?????????????? 6 分

(2)解法 1: ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA1C1C , ∴ 平面 ABC ? 平面 AA1C1C ,且平面 ABC ? 平面 AA1C1C ? AC . 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AA1C1C , ∵ AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 ,
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????? 8 分

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在 Rt△ ABC 中, AC ?
2 2

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4 ? 9 ? 13 , BE ?
1 2
AB ?BC AC ? 6 13

AB ? BC ?
1 3

,? 10 分

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积 V ?
?

?

? A1C1 ? AD ? ?AA1 ?BE
13 ? 2 ? 6 13
A1

?? 12 分

1 6

?

3 2

? 3.
A

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 .

?? 14 分
D

解法 2: ∵ AA1 ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC ,∴ AA1 ? AB . ∵ BB1 / / AA1 ,∴ BB1 ? AB . ∵ AB ? BC , BC ? BB1 ? B ,
C1 B1

B

O C

E

∴ AB ? 平面 BB1C1C .

?? 8 分
1 2 AB ,

取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 DE / / AB , DE ? ∴ DE ? 平面 BB1C1C . 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 V ? 则
V D ? BCC1 ? 1 3 ? 1 2 ?BC ?CC1 ?DE ? 1 6 V ? 1 , V A1 ? BB1C1 ?

1 2

?AB ?BC ?AA1 ? 6 ,

?? 10 分

1

1 1 ? ?B1C1 ?BB1 ?A1 B1 ? V ? 2 . 3 2 3 ?? 12 分

而 V ? V D ? BCC1 ? V A1 ? BB1C1 ? V B ? AA1C1 D , ∴ 6 ? 1 ? 2 ?V B ? AA1C1 D . ∴ V B ? AA1C1 D ? 3 . ?? 14 分

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 . 20. (本小题满分 14 分) (1)解: 由 e ?
2

a ?b
2

2

a

2

? 1?

a b

2 2

?

2 3

,得

b a

?

1 3



?????2 分

3 1 由椭圆 C 经过点 ( , ) , 2 2 9 1 ?1 得 2 ? ② 2 4a 4b

???3 分
3

联立① ②,解得 b ? 1, a ?
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????4 分

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所以椭圆 C 的方程是
x
2 2

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3

? y ? 1 ????5 分

(2)解:易知直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? 2 . 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 y 得 (1 ? 3 k ) x ? 12 kx ? 9 ? 0 .??7 分
2 2

令 ? ? 144 k ? 36(1 ? 3 k ) ? 0 ,得 k ? 1 .
2 2
2

设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 所以 S ? AOB ? S ? POB ? S ? POA ?
1 2

12 k 1 ? 3k
2

, x 1?x2 ?

9 1 ? 3k
2

.????9 分

? 2 ? x1 ? x 2 ? x1 ? x 2

??????10 分
2

2 36 ? k ? 1 ? 12 k ? 36 2 2 ? ? ? 因为 ? x1 ? x 2 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? ? ? 2 2 ? 2 1 ? 3k ? 1 ? 3k ? ?1 ? 3 k 2 ?

设 k ? 1 ? t ( t ? 0)
2

则 ? x1 ? x 2 ? ?
2

36 t

? 3t ? 4 ?

2

? 9t ?

36 16 t

? ? 24

36 2 9t ? 16 t ? 24

?

3 4

.

?????13 分

当且仅当 9t ?

16 t

,即 t ?

4 3

时等号成立,此时 ? AOB 面积取得最大值

3 2

.????14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: f ( x ) ?
1 3 x ?
3

a ?1 2

2 2 x ? bx ? a , f ?( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? b

由 f ?(0) ? 0 得

b ? 0 , f ?( x ) ? x ( x ? a ? 1) .

---------------------2 分

(1) 当 a ? 1 时, f ( x ) ?

1 3

x ? x ? 1 , f ?( x ) ? x ( x ? 2) , f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3
3 2

所以函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3 x ? y ? 8 ? 0 ------------4 分 (2) 存在 x ? 0 ,使得 f ?( x ) ? x ( x ? a ? 1) ? ? 9 ,
9 ? x 9 (? ?) x 9 2 ( x ?) (? ? ) a?? ? 7 , ? , 6 x

? a ?1 ? ? x

( x? ? )

当且仅当 x ? ? 3 时, a ? ? 7. 所以 a 的最大值为 ? 7 . 分

--------------- -----------------9

第 9 页 共( ?? 页 11 , 0) x

0

( ?? , a ? 1)金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com ( a ? 1, ?? ) a ?1

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f ?( x )

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?
0

?

0

?

(3) 当 a ? 0 时,
x , f ?( x ), f ( x )

f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

的变化情况如下表:

----11 分
f ( x ) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,

f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ?

1 6

( a ? 1) ? ?
3

1? 3 1 2 1? ? a ? 3( a ? 2 ) ? 4 ? ? 0 6? ?

又 f ( ? 2) ? ? a ?

14 3

? 0, f ( x ) ?

1

3 3 ? 2 ? x ? x ? ( a ? 1) ? ? a , f ( ( a ? 1)) ? a ? 0 . 2 3 2 ? ? 3 2 ( a ? 1)) 内各有一个零点,

所以函数 f ( x ) 在区间 ? ? 2, 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1,

故函数 f ( x ) 共有三个零点。--------------------14 分 注:①证明 f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ? 设 g (a ) ? a ? 则 g ?( a ) ? ?
1 6 1 6 ( a ? 1) ? ?
3 2

1 6
2

( a ? 1) ? 0( a ? 0) 也可这样进行:
3

1 6

( a ? 3 a ? 6 a ? 1) ,
3

(3 a ? 6 a ? 6) ? ?

1 2

( a ? 3)( a ? 1)

当 0 ? a ? 1 时, g ?( a ) ? 0 ,当 a ? 1 时, g ?( a ) ? 0 , 函数 g ( a ) 在区间 ? 0,1? 上是增函数,在区间 ?1, ?? ? 上是减函数, 故函数 g ( a ) 在区间 ? 0, ?? ? 上的最大值为 g (1) ? 1 ? 从而 f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ?
1 6
3

1 6

(1 ? 1) ? ?
3

1 3

?0,

( a ? 1) ? 0( a ? 0) .

②证明函数 f ( x ) 共有三个零点。也可这样进行: f ( x ) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,
f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ?
第 10 页 共 11 页

1 6

( a ? 1) ? ?
3

1? 3 1 2 1? ? a ? 3( a ? 2 ) ? 4 ? ? 0 , 6? ?

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当 x 无限减小时, f ( x ) 无限趋于 ?? ; 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限趋于 ?? . 故函数 f ( x ) 在区间 ? ?? , 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1, ?? ) 内各有一个零点, 故函数 f ( x ) 共有三个 零点。

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