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【随堂训练】高中数学(人教A版)必修5配套课件:2.5.2 等比数列前n项和的性质


2.5.2 等比数列前 n 项和的性质 【学习目标】 掌握等比数列{ an}前 n 项和公式的一些基本性质. 1.数列{an}是等比数列,Sn 是其前n项和,则 Sn,S2n-Sn, 等比数列 . S3n-S2n 也成__________ 练习 1:在正项等比数列{an}中,若 S2=7,S6=91,则 S4 的值为( A ) A.28 C.35 B.32 D.49 2.在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),S 偶与 S 奇分别为 S偶 q 偶数项和与奇数项和,则 =______. S奇 练习2:已知等比数列{an}中,公比q=3,a1+a3+a5+a7 =4,则a2+a4+a6+a8=_______ 12 ,a3+a5+a7+a9=_______ 36 . 【问题探究】 a1?1-qn?? ? ? ?,是否可以 q ≠ 1 1.等比数列前 n 项和公式 Sn= ? ? 1-q 写成 Sn=A(qn-1)(Aq≠0,且 q≠1)的形式?若可以,A 等于什 么? a1 答案:可以,A=- . 1-q a1-anq? ? ? ?.是否可以写成 q ≠ 1 2. 等比数列前 n 项和公式 Sn= ? ? 1-q Sn=Aan+B(AB≠0,且 A≠1)的形式? a1 q 答案:可以,A=- ,B= . 1-q 1-q 题型 1 等比数列前 n 项和性质的应用 【例 1】 已知等比数列前 n 项和为 10,前 2n 项和为 30. 求前 3n 项和. 解:方法一:设数列为{an}, 依题意,可得 Sn=10,S2n=30. 又∵在等比数列{an}中, Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, ∴(S2n-Sn)2=Sn· (S3n-S2n), 即(30-10)2=10· (S3n-30), 即S3n=70. 方法二:∵S2n≠2Sn,∴q≠1. 由已知,得 n a ? 1 - q ? ? ? 1 =10, ① ? 1-q ? 2n a ? 1 - q ? ? 1 =30. ② ? 1 - q ? 由②÷ ①,得 1+qn=3. ∴qn=2. ③ a1 将③代入①,得 =-10. 1-q a1?1-q3n? ∴S3n= =-10×(1-23)=70. 1-q 与 Sn 有关的性质主要是 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 的关系.在与 Sn 有关的运算中,经常用到两种技巧:①两式相 除法;②整体代入法.但都不要忽略对 q 的讨论. 【变式与拓展】 1 .在等比数列 {an} 中, a1 +a2 + a3 = 18, a2 + a3 +a4 = ? ? 1? ? 16? 1-?-2?n? -9,Sn=a1+a2+…+an,则Sn=_____________. ? ? ? ? 题型 2 等比数列前 n 项和的综合运算 例2:在等比数列 {an}中,a1+an=66,a2· an-1=128,且 前n项和Sn=126,求n及公比q. 思维突破:解本题的关键是利用a1· an=a2· an-1,进而求 出a1,an,要注意a1,an有两组解. 解:∵a1an=a2an-1=128,又a1+an=66, ∴a1,an是方程x2-66x+128=0的两根. 解方程,得x1=2,x2=64. ∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1. a1-anq 若 a1=2,an=64,由 =126, 1 -q 得 2-64q=126-126q. ∴q=2. 由 an=a1qn-1,得 2n

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