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星源外国语中学2015-2016学年高一期中考试数学试题


星源外国语中学 2015—2016 学年度下学期期中考试

高一数学试题
考试时间:2016 年 4 月 日 时间:2 小时 试卷满分:150 分钟

一、 选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中 只有一项是符合题目要求的。 ) ???? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ? 1、在四边形 ABCD 中,设 AB ? a , AD ? b 且 AC ? a ? b , | a ? b |?| a ? b | ,则四边形 ABCD 的形状是( A.梯形 ) B. 矩形

C. 菱形 D. 正方形 ??? ? ??? ? ???? 2、O 是 ? ABC 内一点,且 | OA |?| OB |?| OC | ,则 O 是 ? ABC 的( ) A.重心 B. 内心 C. 外心 ) D. 垂心

3、 cos 263? cos 203? ? sin 83? sin 23? 的值为( A.

1 2

B. ?

4、已知 a ? (2, 1) , b ? (1, ? 2) 若 ma ? nb ? (9, ? 8)(m, n ? R) ,则 m ? n 的值为 (

?

?

1 2

C.

?

?

3 2

D. ?

3 2


3 ? ) ) ? ,则 sin (? ? ) =( 6 5 12 2 2 4 4 A. B. ? C. D. ? 10 10 5 5 ? ? ? 6、若向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = (?4, ?2) ,则下列说法中错误 的是( ..
5、设 ? 为锐角,若 cos(? ? A. a ? b

A. 2

B. ?2

?

C.3

D. ? 3



?

?

B. b ∥ c

?

?

C. 向量 a 与向量 c 的夹角为 90? D.对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k1 , k2 ,使得 d ? k1 b + k2 c 7、为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 cos3 x 的图象( A. 向右平移 C. 向 左平移 )

?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

4

个单位 个单位
1

B. 向右平移

?
12

个单位 个单位

4

D. 向左平移

?

12

8、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( A. 锐 角三角形 C. 钝角三角形 B. 直 角三角形 D. 由增加的长度决定



9、 设函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin2 x ? a ( a 为常实数)在区间 [0, 的值等于( A. 4 ) B. -6 C. -3 D. -4

?

2

则a ] 上的最小值为-4,

10、若 ? ? ( , A. x ? y

? ?

4 2

) , x ? (sin? )log? cos? , y ? (cos? )log? sin? ,则 x 与 y 的大小关系为(



B. x ? y C. x ? y D.不确定 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11、已知向量 a , b 满足 | a |? 1 ,a与b 的夹角为 ,若对一切实数 x,| xa ? 2b |?| a ? b | 恒

3

成立,则 | b | 的取值范围是(

?

) C. ?1, ? ? ? D. ?1, ? ? ?

?1 ? A. ? , ? ? ? 2 ? ?

?1 ? B. ? , ? ? ? 2 ? ?

12、如图是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正 方形,若直角三角形中较小的内角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正 方形的面积是 A.1

1 ,则 sin 2 ? ? cos2 ? 的值是( 25 24 7 B. ? C. 25 25
3 ? ?

) D. ?

7 25

二、填空题: (本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 。 13、若 ? ? ? ? , ? ? ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为 4 2 14、设 0 ? ? ?
?5 ?



?
4

, 若 sin ? ? cos ? ?

6 1 ? tan ? ,则 ? ___________ 2 1 ? tan ?

15、 将函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) 图象沿 x 轴向左平移 m 个单位( m ? 0 ),所得函数的图象

关于 y 轴对称,则 m 的最小值为 ________.

16、给出下列命题:
2

①若 ?,? 是锐角△ ABC 的内角,则 sin ? > cos ? ; ②函数 y ? sin( x ?

2 3

7 ? ) 是偶函数; 2

③函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

? ? 个单位,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 4 4

其中正确的命题的序号是____________. 三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 。 17、 (10分)已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ? 18.(12 分) π? 19 已知函数 f(x)= 2sin? ?2x+4? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)在所给坐标系中用五点法作出它在区间 ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

? ? 9? ? 上的图象. , ?8 8 ? ?

π? (3)说明 y=sin x 的图像可由 y= 2sin? ?2x+4?的图像经过怎样的变换而得到.

x x x 19.已知函数 f ( x ) ? 2sin cos ? 2 3 sin2 ? 3 . 4 4 4
3

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; ? (2)令 g( x ) ? f ( x ? ) ,判断函数 g( x ) 的奇偶性,并说明理由。 3 20、 (12 分) 2 ? π 21、 (12 分)已知定义在区间? ?-π,3π?上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-6对称,当 π 2 ? π π? ? x∈? ?-6,3π?时,函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,-2<φ<2?的图象如图所示.

2 ? (1)求函数 y=f(x)在? ?-π,3π?上的表达式; (2)求方程 f(x)= 2 的解. 2

22、 (12 分)A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、二象限.C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,△ AOB 为正三角形.记∠AOC=α. 3 4? 3 ? cos 2 ? ? sin ? cos ? , ,求 (1)若 A 点的坐标为? 的值; 2 ?5 5?

1 ? sin ?

(2)求 BC 的取值范围.

2

高一数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 A 6 D 7 B 8 A 9 D 10 C 11 C 12 D

二、填空题: 13 、 2cos? 三、解答题:
4

14、 3

15、

?
12

,

16、②③

x 2x 17、解: (1)? f ( x) ? sin ? 3(1 ? 2sin ) 2 4 x ?sin ? 2 x 3 cos 2 )
2? ? 4? 1 2

x ? ? 2 s i n (? 2 3

(3 分) (4 分)

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

x 2 ?? 2 当 s i n ( ? ?)? 时, 1 f (x ) m i n 2 3 x ? ? 2 当s i n (? . ?) 时, 1 f (x ) m a x 2 3

(5 分) (6 分)

? ?? ?1 (2)由(1)知 g ( x ) ? 2sin ? ( x ? ) ? ?
?2 3 3?

1 ? = 2sin( x ? ) 2 2

= 2cos

x 2

(9 分)
x 2c ?o gs x 2 ( )

x ? g(? x )? 2 c o ?s ( ? ) 2 ? g ( x ) 是偶函数.

(10 分)

18、 (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数

y ? 2 cos(? x ? ? ) 得 cos ? ?
因为 0 ≤ ? ≤

3 , 2

? ? ,所以 ? ? .又因为该函数的最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 ,因此 2 6

?? ? y ? 2 cos ? 2 x ? ? . 6? ?
( 2 )因为点 A? , 0 ? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的 中 点 , y0 ?

?? ?2

? ?

3 ,所以点 P 的坐标为 2

5

? ?? ? ? ? ? 2 x0 ? ,3 ? . 又 因 为 点 P 在 y ? 2 cos ? 2 x ? ? 的 图 象 上 , 所 以 2 6? ? ? ?

5? ? 3 ? 7? 5? 19? ? . 因 为 ≤ x0 ≤ ? , 所 以 ,从而得 cos ? 4 x0 ? ? ? ≤ 4 x0 ? ≤ 2 6 6 6 6 ? 2 ?
4 x0 ? 5? 11? 5? 13? 2? 3? 或 4 x0 ? .即 x0 ? 或 x0 ? . ? ? 6 6 6 6 3 4

π? ? 2π 18.(1)y= 2sin? ?2x+4?的振幅 A= 2,周期 T= 2 =π,初相 φ= 4 . 列表: π 2x+ 4 x π 2x+ ? f(x)= 2sin? 4? ? 描点连线得图象如图: π 3π 8 0 3 π 2 5π 8 - 2 2π 7π 8 0 5 π 2 9π 8 2

(3)略. π 2 ? T 2π π 20、解:(1)当 x∈? ?-6,3π?时,A=1,4= 3 -6,T=2π,ω=1. 2π ? 且 f(x)=sin(x+φ)过点? ? 3 ,0?, 则 2π π +φ=π,φ= . 3 3

π? f(x)=sin? ?x+3?.
6

π π π 2π 当-π≤x<- 时,- ≤-x- ≤ , 6 6 3 3 π? π π? ? f? ?-x-3?=sin?-x-3+3?, π 而函数 y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称, 6 π? 则 f(x)=f? ?-x-3?, π π? π 即 f(x)=sin? ?-x-3+3?=-sin x,-π≤x<-6.

? ? ? ?sin? ?x+3?,x∈?-6, 3 ?, ∴f(x)=? π? ?-sin x,x∈? ?-π,-6?.
π 2π π π (2)当- ≤x≤ 时, ≤x+ ≤π, 6 3 6 3 π? 2 由 f(x)=sin? ?x+3?= 2 , π π 3π π 5π 得 x+ = 或 ,x=- 或 . 3 4 4 12 12 π 2 2 当-π≤x<- 时,由 f(x)=-sin x= ,sin x=- , 6 2 2 π 3π 得 x=- 或- . 4 4 π 3π π 5π ∴x=- 或- 或- 或 . 4 4 12 12

π

π 2π

21.整理得: a ? ? sin x ? sin x ? 1, x ? (0, 2? ) ,设 t ? ?? 1,1?
2

5 或a ? ?1, 无解; a ? ?1, 一解;?1 ? a ? 1, 二解; 4 5 a ? 1, 三解;1 ? a ? ,四解。 4 a?

7

3 4? 22、(1)∵A 点的坐标为? ?5,5?, 4 ∴tanα= , 3
原式= 78 41

(2)设 A 点的坐标为(cosα,sinα), ∵△AOB 为正三角形, π π ∴B 点的坐标为(cos(α+ ),sin(α+ )),且 C(1,0), 3 3 π π ∴|BC|2=[cos(α+ )-1]2+sin2(α+ ) 3 3 π =2-2cos(α+ ). 3 而 A、B 分别在第一、二象限, π π ∴α∈( , ). 6 2 π π 5π ∴α+ ∈( , ), 3 2 6 π 3 ∴cos(α+ )∈(- ,0). 3 2 ∴|BC|2 的取值范围是(2,2+ 3).

8


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