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2014高中数学不等式及均值不等式的应用典型例题

一.利用重要不等式求函数最值时 典型例题一比较大小 例 1 比较 x ? 3 与 3 x 的大小,其中 x ? R . 2 比较 x ? 1 与 x ? x 的大小,其中 x ? R 3 6 4 2 2 1、 x ? R ,比较 ( x ? 1)( x ? x 1 ? 1) 与 ( x ? ) ( x 2 ? x ? 1 )的大小. 2 2 2、设 x ? R ,比较 1 18 16 与 1 ? x 的大小. 5 比较 18 与 16 的大小 1? x a b b a 3、设 a>0, b>0 ,且 a ? b ,比较: a ? b 与 a b 的大小。 [来源:学科网] 典型例题二 不等式性质的应用 2 2 例 2 判断下列各命题的真假, 并说明理由. (1) 若 ac ? bc , 则 a ? b.(2) 若a ? b, 则 1 1 ? .(3) 若 a ? b, c ? 0 , a b 则 c c 2 m m ? ( . 4) 若 a ? b, c ? d , 则 a ? c ? b ? d. (5) 若 a ? b ? 0, a ? c , 则 a ? bc. (6) 若 a ? b, m ? N ? , 则a ? b . a b 不等式的证明 典型例题三 例 3 求证: a ? b, 1 1 ? ? a ? 0, b ? 0. a b 1 若 a ? b, c ? d ,则下面不等式中成立的一个是() (A) a ? d ? b ? c (B) ac ? bd (C) a b ? c d ) (D) d ? a ? c ? b 2、若 a ? b ? c ,则一定成立的不等式是( A. a c ? b c B. ab ? ac C.a ? c ? b? c D. 1 1 1 ? ? a b c 3、已知: a>b,e>f,c ? 0 ,求证: f ? ac<e ? bc .[来源:Z, 典型例题四 与集合的综合应用 例 4 已知集合 I ? R,A ? x | x ? 5x ? 14 <0 ,B ? x | x |? y ? 2, y ? A , 求: A ? B . 2 ? ? ? ? 典型例题五 与充要条件的应用 例 5 设 a 和 b 都是非零实数,求不等式 a ? b 和 典型例题六 与现行规划的综合应用 ) 1 1 ? 同时成立的充要条件. a b 2 例 6 已知函数 f ( x) ? ax ? c 满足: ? 4 ? f (1) ? ?1,?1 ? f (2) ? 5. 则 f (3) 应满足( (A) ? 7 ? f (3) ? 26 (B) ? 4 ? f (3) ? 15 (C) ? 1 ? f (3) ? 20 (D) ? 1、已知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 ,则 3x ? y 的取值范围是______ 2、已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则 典型例题七 与函数的综合应用 28 35 ? f (3) ? 3 3 c 的取值范围是______ a (1)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较 (2)设 a ? 2 , p ? a ? 1 t ?1 log a t和 log a 的大小 2 2 2 1 , q ? 2 ? a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小 a?2 (3)比较 1+ logx 3 与 2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小 二.利用重要不等式求函数最值时:类型题:求几个正数和的最值的常用方法 1 技巧一:求最值 例 1:求下列函数的值域 (1)y=3x 2+2x 2 技巧二:凑项:例 1:已知 x ? 技巧三:凑系数 例 1. 当 1 (2)y=x+x 5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 2 3 2 y 变式:1、设 0 ? x ? ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。2、已知 x,y 为正实数,且 x + 2 =1,求 x 1+y 2 的 2 2 最大值. 3. 0 ? x ? ,求函数 y ? x(2 ? 3x) 的最大值. 3 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 技巧四: 分离 例 3. 求 y ? x ?1 x 2 ? 7 x ? 10 x2 ? 5 ( x ? ?1) 的值域。 技巧五:换元 例 3. 求 y ? 求函数 y ? 的值域。 x ?1 x2 ? 4 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. 1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? (1) y ? x ?3 x 技巧六:求几个正数积的最大值 2 例 2、求下列函数的最大值:① y ? x (3 ? 2 x )(0 ? x ? (3) y ? 2sin x ? 1 , x ? (0, ? ) sin x ? 2 ) 3 ) 2 ② y ? sin x cos x(0 ? x ? 2 技巧七:带条件最值问题(1 的代换) x y 例 4、1、已知正数 x、y 满足 8 ? 1 ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。2、若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______ x y 1 3、正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 1 ? 1 的最小值为__4、已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求 y=ab 的最小值. x y 技巧八:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、1、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。 2、如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是___