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【步步高】(广东专用)高考数学二轮复习 专题训练三 第1讲 三角函数的图象与性质 理

第1讲
考情解读

三角函数的图象与性质

1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函

数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考 的必考点.

1.三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α =y,cos α =

x,
tan α = .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. sin α 2 2 (2)同角关系:sin α +cos α =1, =tan α . cos α (3)诱导公式:在

y x


2

+α ,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.

2.三角函数的图象及常用性质 函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象 π π 在[- +2kπ , + 2 2 单调性 2kπ ](k∈Z)上单调递增; 在 [ π 3π +2kπ , + 2 2

在[-π +2kπ , π π 2kπ ](k∈Z)上单调递增; 在(- +kπ , + 2 2 在[2kπ ,π + kπ )(k∈Z)上单调递增 2kπ ](k∈Z)上单调递减

2kπ ](k∈Z)上单调递减 π 对称中心:(kπ ,0)(k∈Z); 对称中心:( 2 +kπ , 对称性 π 对称轴:x= +kπ (k∈Z) 2 0)(k∈Z); 对称轴:x=kπ (k∈Z) 对称中心: (


2

,0)(k∈Z)

3.三角函数的两种常见变换 向左 φ 或向右 φ (1)y=sin x ― — — — — — — — ― → 平移 | φ— | 个单位

y=sin(x+φ )
纵坐标变为原来的A倍 y=sin(ω x+φ ) ― — — — — — — — ― → 横坐标不变

y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0).

(2)y=sin x

y=sin ω x

向左 φ φ φ或向右 ― — — — — — — ― → 平移 |— |个单位 ω

纵坐标变为原来的A倍 y=sin(ω x+φ ) ― — — — — — — — ― → 横坐标不变

y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0).

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系 例1 2π 2 2 (1)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x +y =1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点 3 ) B.(- D.(- 3 1 ,- ) 2 2 3 1 , ) 2 2

的坐标为( 1 3 A.(- , ) 2 2

1 3 C.(- ,- ) 2 2

(2)已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边上一点 P(-4,3),则 π +α 2 11π -α 2 -π -α 9π +α 2 的值为________.

思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义.(2)利用三角函数定义和诱导公式. 3 答案 (1)A (2)- 4 解析 (1)设 Q 点的坐标为(x,y), 2π 1 2π 3 则 x=cos =- ,y=sin = . 3 2 3 2 1 3 ∴Q 点的坐标为(- , ). 2 2

-sin α ·sin α (2)原式= =tan α . -sin α ·cos α 根据三角函数的定义,

y 3 得 tan α = =- , x 4
3 ∴原式=- . 4 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角 函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关. (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程 要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. (1)如图,以 Ox 为始边作角 α (0<α <π ),终边与单位圆相 sin 2α +cos 2α +1 ? 3 4? 交于点 P ,已知点 P 的坐标为 ?- , ? ,则 = 1+tan α ? 5 5? ________. (2)已知点 P?sin 则 θ 的值为( A. π 4 3π B. 4

? ?

3π 3π ? ,cos 落在角 θ 的终边上,且 θ ∈[0,2π ), 4 4 ? ? )

5π C. 4

7π D. 4

18 答案 (1) (2)D 25 解析 (1)由三角函数定义, 3 4 得 cos α =- ,sin α = , 5 5 2sin α cos α +2cos α 2cos α α +cos α ∴原式= = sin α sin α +cos α 1+ cos α cos α
2

? 3?2 18 2 =2cos α =2×?- ? = . ? 5? 25
cos (2)tan θ = sin 又 sin 3 π π -cos 4 4 = =-1, 3 π π sin 4 4

3π 3π >0,cos <0, 4 4

7π 所以 θ 为第四象限角且 θ ∈[0,2π ),所以 θ = . 4

热点二 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及解析式 例2 π (1)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的部分图象如图所示,则将 y= 2 π 6 )

f(x)的图象向右平移 个单位后,得到的图象解析式为(

A.y=sin 2x 2π C.y=sin(2x+ ) 3

B.y=cos 2x π D.y=sin(2x- ) 6

π (2)若函数 y=cos 2x+ 3sin 2x+a 在[0, ]上有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为 2 ________. π 思维启迪 (1)先根据图象确定函数 f(x)的解析式, 再将得到的 f(x)中的“x”换成“x- ” 6 即可. (2)将零点个数转换成函数图象的交点个数. 答案 (1)D (2)(-2,-1] 3T 11π π 2π 解析 (1)由图知,A=1, = - ,故 T=π = , 4 12 6 ω π 所以 ω =2,又函数图象过点( ,1),代入解析式中, 6 π π π 得 sin( +φ )=1,又|φ |< ,故 φ = . 3 2 6 π π 则 f(x)=sin(2x+ )向右平移 后, 6 6 π π π 得到 y=sin[2(x- )+ )=sin(2x- ),选 D. 6 6 6 π (2)由题意可知 y=2sin(2x+ )+a, 6 π π π 该函数在[0, ]上有两个不同的零点,即 y=-a,y=2sin(2x+ )在[0, ]上有两个不同 2 6 2 的交点.

结合函数的图象可知 1≤-a<2,所以-2<a≤-1. 思维升华 (1)已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象求解析式时,常采用待定系数 法, 由图中的最高点、 最低点或特殊点求 A; 由函数的周期确定 ω ; 确定 φ 常根据“五点法” 中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的 位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变 量 x 而言的,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. π (1)如图,函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0,|φ |≤ )与坐标轴的三 2 π 个交点 P、Q、R 满足 P(2,0),∠PQR= ,M 为 QR 的中点,PM=2 5,则 A 的值为( 4 )

A.

8 3 3

B.

16 3 3

C.8

D.16

π π (2)若将函数 y=tan(ω x+ )(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan(ω x+ 4 6 π )的图象重合,则 ω 的最小正值为( 6 A. C. 1 6 1 3 B. D. 1 4 1 2 )

答案 (1)B (2)D 解析 (1)由题意设 Q(a,0),R(0,-a)(a>0).

则 M( ,- ),由两点间距离公式得, 2 2

a

a

PM=



a
2

2



a
2

2

T π =2 5,解得 a=8,由此得, =8-2=6,即 T=12,故 ω = , 2 6

π 由 P(2,0)得 φ =- ,代入 f(x)=Asin(ω x+φ )得, 3

f(x)=Asin( x- ),
π 从而 f(0)=Asin(- )=-8, 3 16 得 A= 3. 3 π π π ωπ (2)y=tan(ω x+ )的图象向右平移 , 得到 y=tan(ω x+ - )的图象, 与 y=tan(ω x 4 6 4 6 π π ωπ π 1 + )重合,得 - =kπ + ,故 ω =-6k+ ,k∈Z, 6 4 6 6 2 1 ∴ω 的最小正值为 . 2 热点三 三角函数的性质 例3 设函数 f(x)=2cos x+sin 2x+a(a∈R).
2

π 6

π 3

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y=f(x)(x∈R)的对称轴方程. 6 思维启迪 先化简函数解析式,然后研究函数性质(可结合函数简图). π 2 解 (1)f(x)=2cos x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a= 2sin(2x+ )+1+a, 4 2π 则 f(x)的最小正周期 T= =π , 2 π π π 3 π 且当 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)时 f(x)单调递增, 即 kπ - π ≤x≤kπ + (k∈Z). 2 4 2 8 8 3π π 所以[kπ - ,kπ + ](k∈Z)为 f(x)的单调递增区间. 8 8 π π π 7π (2)当 x∈[0, ]时? ≤2x+ ≤ , 6 4 4 12 π π π π 当 2x+ = ,即 x= 时 sin(2x+ )=1. 4 2 8 4 所以 f(x)max= 2+1+a=2? a=1- 2. π π kπ π 由 2x+ =kπ + 得 x= + (k∈Z), 4 2 2 8

故 y=f(x)的对称轴方程为 x=



π + ,k∈Z. 2 8

思维升华 函数 y=Asin(ω x+φ )的性质及应用的求解思路 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ω x+φ )+B 的 形式; 第二步:把“ω x+φ ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ω x+φ )+B 的单调性 及奇偶性、最值、对称性等问题. 已知函数 f(x)=2sin ω xcos ω x+2 3sin ω x- 3(ω >0)的最小正周期为 π . (1)求函数 f(x)的单调增区间; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到函数 y=g(x) 6 的图象;若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 解 (1)由题意得:f(x)=2sin ω xcos ω x+2 3sin ω x- 3 π =sin 2ω x- 3cos 2ω x=2sin(2ω x- ), 3 π 由周期为 π ,得 ω =1,得 f(x)=2sin(2x- ), 3 函数的单调增区间为 2kπ - π π π ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2
2 2

π 5π 整理得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 12 12 π 5π 所以函数 f(x)的单调增区间是[kπ - ,kπ + ],k∈Z. 12 12 π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到 y=2sin 2x 6 +1 的图象, 所以 g(x)=2sin 2x+1, 7π 11π 令 g(x)=0,得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z), 12 12 所以在[0,π ]上恰好有两个零点, 若 y=g(x)在[0,b]上有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值为 11π 59π 4π + = . 12 12

1.求函数 y=Asin(ω x+φ )(或 y=Acos(ω x+φ ),或 y=Atan(ω x+φ ))的单调区间 (1)将 ω 化为正.

(2)将 ω x+φ 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 2.已知函数 y=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0)的图象求解析式 (1)A=

ymax-ymin
2 2



ymax+ymin B= .
2π (2)由函数的周期 T 求 ω ,ω = .

T

(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求 φ . 3.函数 y=Asin(ω x+φ )的对称轴一定经过图象的最高点或最低点. 4.求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为 y=Asin(ω x+φ )+B 的形式,进而结合三角函数的性质求解. (2)将三角函数式化为关于 sin x,cos x 的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求解. 5.特别提醒 进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.

真题感悟 π π 1.(2014·辽宁)将函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函 3 2 数( )

π 7π A.在区间[ , ]上单调递减 12 12 π 7π B.在区间[ , ]上单调递增 12 12 π π C.在区间[- , ]上单调递减 6 3 π π D.在区间[- , ]上单调递增 6 3 答案 B 解析

y = 3sin(2x +

π π π π ) 的图象向右平移 个单位长度得到 y = 3sin[2(x - ) + ] = 3 2 2 3

2 3sin(2x- π ). 3 π 2 π π 7 令 2kπ - ≤2x- π ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ + ≤x≤kπ + π ,k∈Z,则 y=3sin(2x 2 3 2 12 12

2 π 7 - π )的增区间为[kπ + ,kπ + π ],k∈Z. 3 12 12 π 7 令 k=0 得其中一个增区间为[ , π ],故 B 正确. 12 12 2 π π 画出 y=3sin(2x- π )在[- , ]上的简图,如图, 3 6 3 2 π π 可知 y=3sin(2x- π )在[- , ]上不具有单调性, 3 6 3 故 C,D 错误. 2.(2014·北京)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若 f(x)在区 间?

?π ,π ?上具有单调性,且 f?π ?=f?2π ?=-f?π ?,则 f(x)的最小正周期为________. ? ?2? ? 3 ? ?6? ?6 2? ? ? ? ? ? ? ?π ,π ?上具有单调性, ? ?6 2?

答案 π 解析 ∵f(x)在?

T π π ∴ ≥ - , 2 2 6
2π ∴T≥ . 3

?π ? ?2π ? ∵f? ?=f? ?, ?2? ? 3 ?
π 2π + 2 3 7π ∴f(x)的一条对称轴为 x= = . 2 12

?π ? ?π ? 又∵f? ?=-f? ?, ?2? ?6?
π π + 2 6 π ∴f(x)的一个对称中心的横坐标为 = . 2 3 1 7π π π ∴ T= - = ,∴T=π . 4 12 3 4 押题精练 1.函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图象如图,其中 M(m,0),N(n,2),P(π ,0),且

mn<0,则 f(x)在下列哪个区间中是单调的(

)

π A.(0, ) 4

π 2π B.( , ) 4 3

π 3π C.( , ) 2 4 答案 B

2π D.( ,π ) 3

解析 ∵mn<0,所以当左右移动图象,当图象过原点时,即 M 点在原点时,此时 T=π ,则 ω π 3π π =2,∴f(x)=2sin(2x),在( , )上为减函数,(0, )上为增函数;当图象的最高点在 4 4 4

y 轴上时,即 N 点在 y 轴上, T=π ,ω = ,∴f(x)=2sin( x),在(0,
( 2π π 2π ,π )上为增函数.所以 f(x)在( , )上是单调的. 3 4 3
2

3 4

3 2

3 2

2π )上是减函数, 3

2.已知函数 f(x)=sin ω x·cos ω x+ 3cos ω x- π 图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为 . 4 (1)求 f(x)的表达式;

3 (ω >0),直线 x=x1,x=x2 是 y=f(x) 2

π (2)将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后, 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来 8 π 的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,若关于 x 的方程 g(x)+k=0 在区间[0, ] 2 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 1 1+cos 2ω x 3 解 (1)f(x)= sin 2ω x+ 3× - 2 2 2 1 3 π = sin 2ω x+ cos 2ω x=sin(2ω x+ ), 2 2 3 π π 由题意知,最小正周期 T=2× = , 4 2

T=

π? 2π π π ? = = ,所以 ω =2,∴f(x)=sin?4x+ ?. 3? 2ω ω 2 ? π π 个单位长度后,得到 y=sin(4x- )的图象, 8 6

(2)将 f(x)的图象向右平移

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变, π 得到 y=sin(2x- )的图象. 6 π 所以 g(x)=sin(2x- ). 6 π π π 5π 令 2x- =t,∵0≤x≤ ,∴- ≤t≤ . 6 2 6 6

g(x)+k=0 在区间[0, ]上有且只有一个实数解,

π 2

π 5π 即函数 g(t)=sin t 与 y=-k 在区间[- , ]上有且只有一个交 6 6 点.如图, 1 1 由正弦函数的图象可知- ≤-k< 或-k=1. 2 2 1 1 ∴- <k≤ 或 k=-1. 2 2

(推荐时间:50 分钟) 一、选择题 1.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设 秒针针尖位置 P(x,y).若初始位置为 P0?

? 3 1? , ?,当秒针从 P0(此时 t= ? 2 2?
)

0)正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( A.y=sin?

?π t+π ? ? 6? ?30

π? ? π B.y=sin?- t- ? 60 6? ? π? ? π C.y=sin?- t+ ? 6? ? 30 π? ? π D.y=sin?- t- ? 3? ? 30 答案 C π π 解析 由三角函数的定义可知,初始位置点 P0 的弧度为 ,由于秒针每秒转过的弧度为- , 6 30 针尖位置 P 到坐标原点的距离为 1,故点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系可能为 y= π? ? π sin?- t+ ?. 6? ? 30 π 2.将函数 y=2cos 2x 的图象向右平移 个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短 2 1 到原来的 倍(纵坐标不变),得到的函数解析式为( 2 A.y=cos 2x C.y=-2sin 4x 答案 D B.y=-2cos x D.y=-2cos 4x )

π π 解析 函数 y=2cos 2x 的图象向右平移 个单位长度得到 y=2cos 2(x- )=2cos(2x-π ) 2 2 1 =2cos(π -2x)=-2cos 2x,再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不 2 变),得到 y=-2cos[2·(2x)],即 y=-2cos 4x. π π 2π 3.函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0 且|φ |< )在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 减小 2 6 3 到-1,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为( A. C. 1 2 3 2 B. D. 2 2 6+ 2 4 )

答案 A

T 2π π 2π π 解析 依题意知 = - ,∴T=π = ,∴ω =2,将点( ,1)代入 y=sin(2x+φ )得 2 3 6 ω 6
π π π π 1 sin( +φ )=1,又|φ |< ,φ = ,故 y=sin(2x+ ),与 y 轴交点纵坐标为 . 3 2 6 6 2 π 4.若函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )在一个周期内的图象如 2 → → 图所示,M,N 分别是这段图象的最高点与最低点,且OM·ON=0,则 A·ω 等于( A. π 6 B. ) 7π 12 C. 7π 6 D. 7π 3

答案 C

T π π 解析 由题中图象知 = - , 4 3 12
所以 T=π ,所以 ω =2.

?π ? ?7π ,-A? 则 M? ,A?,N? ? ?12 ? ? 12 ?
7π → → 2 由OM·ON=0,得 2 =A , 12 所以 A= 7π 7π ,所以 A·ω = . 12 6 π )| 对 x∈R 恒成立,且 6
2

5 .已知函数 f(x) = sin(2x + φ ) ,其中 |φ |<π ,若 f(x)≤|f(

f( )<f(π ),则下列结论正确的是(

π 2

)

11 A.f( π )=-1 12 7π π B.f( )>f( ) 10 5 C.f(x)是奇函数 π π D.f(x)的单调递增区间是[kπ - ,kπ + ](k∈Z) 3 6 答案 D π π π π 解析 由 f(x)≤|f( )|恒成立知 x= 是函数的对称轴,即 2× +φ = +kπ ,k∈Z,所 6 6 6 2 π π 以 φ = +kπ ,k∈Z,又 f( )<f(π ),所以 sin(π +φ )<sin(2π +φ ),即-sin φ <sin 6 2 φ .所以 sin φ >0,得 φ = π π ,即 f(x)=sin(2x+ ), 6 6

π π π 由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 3 6 π π 即函数的单调递增区间是[kπ - ,kπ + ](k∈Z). 3 6 π 6.已知 A,B,C,D,E 是函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ < )一个周期内的图象上的五个 2 π 点,如图所示,A(- ,0),B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个 6 π → 对称中心,B 与 D 关于点 E 对称,CD在 x 轴上的投影为 ,则 ω ,φ 的值为( 12 )

π A.ω =2,φ = 3 1 π C.ω = ,φ = 2 3 答案 A

π B.ω =2,φ = 6 1 π D.ω = ,φ = 2 6

π 解析 因为 A,B,C,D,E 是函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ < )一个周期内的图象上的五 2 π 个点,A(- ,0),B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心, 6

B 与 D 关于点 E 对称,CD在 x 轴上的投影为 ,所以 T=4×( + )=π ,所以 ω =2,
π π π π π 因为 A(- ,0),所以 f(- )=sin(- +φ )=0,0<φ < ,φ = . 6 6 3 2 3 二、填空题 π 7.(2014·安徽)若将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴 4 对称,则 φ 的最小正值是________. 答案 3π 8



π 12

π π 12 6

π π 解析 ∵函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位得到 g(x)=sin[2(x-φ )+ ] 4 4 π =sin(2x+ -2φ ), 4 π π 又∵g(x)是偶函数,∴ -2φ =kπ + (k∈Z). 4 2 ∴φ =-


2

π - (k∈Z). 8

3π 当 k=-1 时,φ 取得最小正值 . 8 π π 8.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的部分图象如图所示,若 x1,x2∈(- , 2 6 π ),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=________. 3

答案

3 2

解析 观察图象可知,A=1,T=π ,∴ω =2,

f(x)=sin(2x+φ ).
π π π π 将(- ,0)代入上式得 sin(- +φ )=0,由已知得 φ = ,故 f(x)=sin(2x+ ). 6 3 3 3 π π - + 6 3 π 函数图象的对称轴为 x= = . 2 12 π π 又 x1,x2∈(- , ),且 f(x1)=f(x2), 6 3

π π π π 3 ∴f(x1+x2)=f(2× )=f( )=sin(2× + )= . 12 6 6 3 2 π 9. 已知函数 f(x)=3sin(ω x- )(ω >0)和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象的对称中心完全相同, 6 π 若 x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是________. 2 3 答案 [- ,3] 2 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故 ω =2,所以 f(x) π π π π 5π =3sin(2x- ),那么当 x∈[0, ]时,- ≤2x- ≤ , 6 2 6 6 6 1 π 3 所以- ≤sin(2x- )≤1,故 f(x)∈[- ,3]. 2 6 2 π π 10.给出命题:①函数 y=2sin( -x)-cos( +x)(x∈R)的最小值等于-1;②函数 y= 3 6 π π sin π xcos π x 是最小正周期为 2 的奇函数;③函数 y=sin(x+ )在区间[0, ]上单调递 4 2 增的; ④若 sin 2α <0,cos α -sin α <0,则 α 一定为第二象限角.则真命题的序号是________. 答案 ①④ π π 解析 对于①,函数 y=2sin( -x)-cos( +x) 3 6 π =sin( -x),所以其最小值为-1; 3 1 对于②,函数 y=sin π xcos π x= sin 2π x 是奇函数,但其最小正周期为 1; 2 π π π π 对于③,函数 y=sin(x+ )在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减; 4 4 4 2
?sin 2α <0 ? 对于④,由? ?cos α -sin α <0 ?

? cos α <0,sin α >0,所以 α 一定为第二象限角.

三、解答题 π 11.已知函数 f(x)=Asin(3x+φ )(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ <π )在 x= 时取得最大值 12 4. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; 2 π 12 (3)若 f( α + )= ,求 sin α . 3 12 5

2π 解 (1)f(x)的最小正周期 T= . 3 (2)由函数的最大值为 4,可得 A=4. 所以 f(x)=4sin(3x+φ ). π π 当 x= 时,4sin(3× +φ )=4, 12 12 π 所以 sin( +φ )=1, 4 π 所以 φ =2kπ + ,k∈Z, 4 π 因为 0<φ <π ,所以 φ = . 4 π 所以 f(x)的解析式是 f(x)=4sin(3x+ ). 4 2 π 12 (3)因为 f( α + )= , 3 12 5 π π 3 故 sin(2α + + )= . 4 4 5 3 3 2 所以 cos 2α = ,即 1-2sin α = , 5 5 1 5 2 故 sin α = .所以 sin α =± . 5 5 12.已知函数 f(x)=sin x+2 3sin xcos x+3cos x,x∈R.求: (1)函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; π π (2)函数 f(x)在区间[- , ]上的值域. 6 3 解 (1)由二倍角的正、余弦公式及其变形,得
2 2

f(x)=

1-cos 2x + 3sin 2x+ 2

+cos 2x 2

=2+ 3sin 2x+cos 2x =2+2( 3 1 sin 2x+ cos 2x) 2 2

π =2sin(2x+ )+2. 6 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π , 2 π π π ∵- +2kπ ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2

π π 即 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z 时 f(x)为单调递增函数, 3 6 π π ∴f(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ],k∈Z. 3 6 π π (2)由题意得- ≤x≤ , 6 3 π π 5π ∴2x+ ∈[- , ], 6 6 6 π 1 ∴sin(2x+ )∈[- ,1], 6 2 π 即 1≤2sin(2x+ )+2≤4, 6 π π ∴f(x)区间[- , ]上的值域为[1,4]. 6 3