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立体几何测试题成长博客CERSPBLOG教师博客


立体几何综合测试
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 第Ⅰ卷 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、线段 AB 在平面 ? 内,则直线 AB 与平面 ? 的位置关系是 A、 AB ? ? B、 AB ? ? C、由线段 AB 的长短而定 2、下列说法正确的是 A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A、平行 B、相交

D、以上都不对

D、平面 ? 和平面 ? 有不同在一条直线上的三个交点

C、异面

D、以上都有可能

4、在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,下列几种说法正确的是 A、 AC 1 1 ? AD C、 AC1 与 DC 成 45 角
?

B、 D1C1 ? AB D、 AC 1C 成 60 角 1 1与B
?

5、若直线 l ? 平面 ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 的位置关系是 A、 l ? a B、 l 与 a 异面 C、 l 与 a 相交 D、 l 与 a 没有公共点

6、下列命题中: (1) 、平行于同一直线的两个平面平行; (2) 、平行于同一平面的两个平面平行; (3) 、 垂直于同一直线的两直线平行; (4) 、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A、1 B、2 C、3 D、4 7、 在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点, 如果与 EF、GH 能 相交于点 P ,那么 A、点必 P 在直线 AC 上 B、点 P 必在直线 BD 上 C、点 P 必在平面 ABC 内 D、点 P 必在平面 ABC 外 8、a,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b;②若 b ? M, a∥b,则 a∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.其中正确命题的个数有 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是 A、 底面是正方形,有两个侧面是矩形 B、 底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 C、 底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、 每个侧面都是全等矩形的四棱柱 10、在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后, 剩下的凸多面体的体积是 A、

2 3

B、

7 6

C、

4 5

D、

5 6
A' P B' Q A B C C'

11、已知二面角 ? ? AB ? ? 的平面角是锐角 ? , ? 内一点 C 到 ? 的距离为 3,点 C 到 棱 AB 的距离为 4,那么 tan ? 的值等于

3 A、 4

3 B、 5

7 C、 7

3 7 D、 7

12、如图:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上,AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积为 A、

A1 B1 C1

D1

V 2

B、

V 3

C、

V 4

D、

V 5

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 _____ S正方体 (填”大于、小于或等于”). 14、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 和平面 BC1D 的位置关系为
A

D

C

B

15 、 已 知 PA 垂 直 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 平 面 , 若 PC ? BD , 平 行 则 四 边 形 ABCD 一 定 是 . 16、 如图, 在直四棱柱 A1B1C1 D1-ABCD 中, 当底面四边形 ABCD 满足条件_________时, 有 A1 B⊥B1 D1. (注: 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.) 第Ⅱ卷 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、 14、 15、 16、 三、解答题(共 74 分,要求写出主要的证明、解答过程) 17、 已知圆台的上下底面半径分别是 2、 5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

18、已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且EH∥FG.求证: A EH∥BD. (12 分)
E B H D F G C

19、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .(12
?

分)

S

D A C B

20、一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形 加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义 域. (12 分)

10 5 x

E

D A

O B

C F

21、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: (1) C1O ?面 AB1D1 ; (2) AC ? 面 AB1D1 . (14 分) 1

D1 A1 D O A B B1

C1

C

22、已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点, 且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1). AC AD
(Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD? (14 分)

A

E C B F D

参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) ACDDD BCBDD DB 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、 小于 14、 平行 15、 菱形 16、 对角线AC 1 1与B 1D 1互相垂直

三、解答题(共 74 分,要求写出主要的证明、解答过程)

17、解:设圆台的母线长为 l ,则 圆台的上底面面积为 S上 ? ? ? 22 ? 4? 圆台的上底面面积为 S下 ? ? ? 52 ? 25? 所以圆台的底面面积为 S ? S上 ? S下 ? 29? 又圆台的侧面积 S侧 ? ? (2 ? 5)l ? 7? l 于是 7? l ? 25? 即l ?

1分 3分 5分 6分 8分 9分 10 分

29 为所求. 7

18、证明:? EH ? FG, EH ? 面 BCD , FG ? 面 BCD

? EH ? 面 BCD
又? EH ? 面 BCD ,面 BCD ? 面 ABD ? BD ,

6分

? EH ? BD
19、证明:? ?ACB ? 90
?

12 分

? BC ? AC ? SA ? BC

1分 4分 7分 10 分

又 SA ? 面 ABC ? BC ? 面 SAC

? BC ? AD
又 SC ? AD, SC ? BC ? C

? AD ? 面 SBC
20、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为 xcm . 在 Rt ? EOF 中,

12 分

EF ? 5cm, OF ?
所以 EO ?

1 xcm , 2

3分

1 25 ? x 2 , 4

6分

于是 V ?

1 2 1 x 25 ? x 2 3 4

10 分

依题意函数的定义域为 {x | 0 ? x ? 10} 21、证明: (1)连结 AC 1 1?B 1D 1 ?O 1 1 1 ,设 AC 连结 AO1 ,? ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体

12 分

? A1 ACC1 是平行四边形
2分

? AC 1 1 ? AC 1 1 ? AC 且 AC
又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,?O1C1 ? AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形

4分

?C1O ? AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1

? C1O ? 面 AB1D1
(2)? CC1 ? 面 A1B1C1D1

6分

?CC1 ? B1D!

7分 9分 11 A1

又? AC 1 1 ?B 1D 1, ?B 1D 1 ? 面AC 1 1C

D1 B1

C1

即AC ? B1D1 1
分 同理可证 AC ? AB1 , 1 又 D1B1 ? AB1 ? B1

D
12 分

C O B

A

? 面 AB1D1 ? AC 1
22、证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC. 又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), AC AD ∴不论λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ BD ? 3分

14 分

6分 9分

2, AB ? 2 tan60? ? 6,
7 AC 7

11 分 13 分 14 分

2 ? AC ? AB2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB =AE·AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,

故当 ? ?

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7


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