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2013届高三数学(文)一轮复习:2.9 函数模型及其应用(广东专用版)


函数模型及其应用
一、选择题 1.某公司招聘员工,经过笔试确定面试对象人数,面试对象人数根据拟录用 人数分段计算,计算公式为:

?4x,1≤x≤10, y=?2x+10,10<x≤100, ?1.5x,x>100,
其中 x 代表拟录用人数,y 代表面试对象人数.若应聘的面试对象人数为 60 人,则该公司拟录用人数为( A.15 B.40 ) C.25 D.30

2.(2012· 武汉调研)某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站 的距离成反比,而每月车存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比.据测算, 如果在距离车站 10 km 处建仓库,这两项费用 y1,y2 分别是 2 万元,8 万元,那么 要使这两项费用之和最小,则仓库应建在离车站( A.5 km 处 C.3 km 处 B.4 km 处 D.2 km 处 )

3.在养分充足的情况下,细菌的数量会以指数函数的方式增加.假设细菌 A 的数量每 2 个小时可以增加为原来的 2 倍;细菌 B 的数量每 5 个小时可以增加为 原来的 4 倍.现在若养分充足,且一开始两种细菌的数量相等,要使细菌 A 的数 量是 B 的数量的两倍,需要的时间为( A.5 h B.10 h C.15 h D.30 h 4.某市 2012 年新建住房 100 万平方米,其中有 25 万平方米经济适用房,有 关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加 5%, 其中经济适用房每年增加 10 万平方米.按照此计划,当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积 一半的年份是(参考数据:1.052=1.10,1.053=1.16,1.054=1.22,1.055=1.28)( A.2014 年 C.2016 年 B.2015 年 D.2017 年 ) )

5.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x),一 种是平均价格曲线 y=g(x),如 f(2)=3 表示开始交易后 2 小时的即时价格为 3 元,
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g(2)=4 表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为 4 元,下面所给出的 四个图象中,实线表示 y=f(x),虚线表示 y=g(x),其中可能正确的是( )

二、填空题 6.某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元,并且生产量每增加一单位产 1 品,成本增加 1 万元,又知总收入 R 是单位产量 Q 的函数,即 R(Q)=4Q-200Q2, 则总利润 y 的最大值是________万元,这时产品的生产数量为________.(总利润 =总收入-成本). 7.(2012· 珠海模拟)一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障 交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超 过 0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过__________小时, 才能开车.(精确到 1 小时) 8. 某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元, 预测六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十 月份销售总额与七、 八月份销售总额相等, 若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值为________. 三、解答题 9.(2012· 韶关模拟)在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x +1)-f(x). 某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元, 成本为 C(x)元, R(x) 且 =3 000x-20x2,C(x)=500x+4 000(x∈N*).现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台. (1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x); (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.

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a ?0.1+15lna-x,x≤6, ? 10. 有时可用函数 f(x)=? x-4.4 ? x-4 ,x>6, ?

描述学习某学科知识的掌

握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握 程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2)根据经验, 学科甲、 丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121], 乙、 (121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科.(取 e0.05≈1.051)

11.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件 需另投入 2.7 万元.设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千 1 ?10.8-30x2?0<x≤10?, ? 件的销售收入为 R(x)万元,且 R(x)=? 108 1 000 ? x - 3x2 ?x>10?. ? (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本)

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答案及解析
1. 【解析】 若 x∈[1,10],则 y=4x≤40.

若 x∈(100,+∞),则 y=1.5x>150. ∴60=2x+10,∴x=25. 【答案】 2. 【解析】 C k1 设仓库建在离车站 x km 处,则 y1= x ,y2=k2x,根据已知数据 20 x ×0.8x=8,当且仅当 x

20 可得 k1=20,k2=0.8,两项费用之和 y= x +0.8x≥2 =5 时,等号成立,故仓库应建在离车站 5 km 处. 【答案】 A

3. 【解析】 假设一开始两种细菌数量为 m,则依题意经过 x 小时后,细菌 A x x 的数量是 f(x)=m·2,细菌 B 的数量是 g(x)=m·5, 2 4 x x 令 m·2=2· 45,解得 x=10. 2 m· 【答案】 4. 【解析】 bn=25+10n. 由 2bn>an 得:2(25+10n)>100(1+5%)n, 利用已知条件解得 n=4 时,不等式成立, 所以在 2016 年时满足题意. 【答案】 5. 【解析】 C f(0)与 g(0),应该相等,故排除 A,B 中开始交易平均价格高于 B 设第 n 年新建住房面积为 an=100(1+5%)n,经济适用房面积为

即时价格,D 中恰好相反,故正确选项为 C. 【答案】 6. 【解析】 C 1 ∵y=4Q-200Q2-(200+Q)

1 =-200(Q-300)2+250,

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故当 Q=300 时,ymax=250(万元). 【答案】 250 300

7. 【解析】

设 x 小时后,血液中的酒精含量不超过 0.09 mg/ml,则有

3 3 0.3·4)x≤0.09,即(4)x≤0.3, ( 估算或取对数计算得 5 小时后,可以开车. 【答案】 5

8. 【解析】 七月份的销售额为 500(1+x%), 八月份的销售额为 500(1+x%)2, 则一月份至十月份的销售总额是 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2], 根据题意,有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000, 即 25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令 t=1+x%,则 25t2+25t-66≥0, 6 11 解得 t≥5或者 t≤- 5 (舍去), 6 故 1+x%≥5,解得 x≥20.∴x 的最小值为 20. 【答案】 9. 【解】 20 (1)由题意,得 x∈[1,100],且 x∈N*.

P(x)=R(x)-C(x) =(3 000x-20x2)-(500x+4 000) =-20x2+2 500x-4 000, MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x -4 000)=2 480-40x. 125 (2)P(x)=-20(x- 2 )2+74 125, 当 x=62 或 x=63 时,P(x)取得最大值 74 120; 因为 MP(x)=2 480-40x 是减函数, 所以当 x=1 时,MP(x)取得最大值 2 440. 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71 680. 10. 【解】 (1)证明 当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)= 0.4 . ?x-3??x-4?

而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)· (x-4)>0.
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故 f(x+1)-f(x)单调递减. ∴当 x≥7,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降. (2)由题意可知 0.1+15 ln 整理得 a =e0.05, a-6 e0.05 · 6≈20.50×6=123.0, e -1
0.05

a =0.85. a-6

解得 a=

又 123.0∈(121,127]. 由此可知,该学科是乙学科. 11. 【解】 x3 (1)当 0<x≤10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-30-10;

1 000 当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- 3x -2.7x. x ?8.1x-30-10?0<x≤10?, ? ∴W=? 1 000 ?98- 3x -2.7x?x>10?. ? x2 (2)①当 0<x≤10 时,由 W′=8.1-10=0 得 x=9, 又当 x∈(0,9)时,W′>0;当 x∈(9,10)时,W′<0. 1 ∴当 x=9 时,W 取最大值,且 Wmax=8.1×9-30·3-10=38.6. 9 ②当 x>10 时, 1 000 W=98-( 3x +2.7x)≤98-2 1 000 2.7x=38, 3x ·
3

1 000 100 当且仅当 3x =2.7x,即 x= 9 时,W=38, 100 故当 x= 9 时,W 取最大值 38. 综合①②知当 x=9 时,W 取最大值 38.6 万元. 故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.

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