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23个求极值和值域专题(修正版)3


23 个求极值和值域专题

tobeenough 3.0 版

23 个求极值和值域专题(修正版) ----tobeenough [例 1] 求函数 f ( x ) ? x ? x 2 ? 3 x ? 2 的值域. [解析] 单调性法 A> 先求函数定义域 由根号内为非负值得: x 2 ? 3x ? 2 ? 0
3 1 3 1 即: ( x ? )2 ? ? 0 ,即: x ? ? 2 4 2 2

故有: x ?

3 1 ? 2 2

① 或 x?

3 1 ?? 2 2



B> 对①采用三角换元 设x? 若
3 1 1 1 1 1 1 ? ,即: ?1 ? ? ,则①式为: ? 2 cos ? 2 cos ? 2 2 cos ?

1 ? ? 0 ,则: cos ? ? (0 , 1] ,即: ? ? [0 , ) cos ? 2



函数变为:

f ?
?

3 1 1 1 3 1 1 1?cos 2 ? ? ? ? ? ? ? 4 cos 2 ? 4 2 2 cos ? 2 cos 2 ? 2 2 cos ?

3 3 1 1? sin ? 1 sin ? ? ? ? ? ? 2 2 cos ? 2 cos ? 2 2 cos ?

? ? 2 ? ? 3 1 1? 2 sin 2 cos 2 3 1 (cos 2 ? sin 2 ) ? ? ? ? ? ? 2 2 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? 2 2 2 2
3 1 cos 2 ? sin 2 3 1 1? tan 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 cos? ? sin? 2 2 1? tan? 2 2 2
? 3 1 2 1 ? ( ? 1) ? 1 ? ? 2 2 1? tan ? 1? tan 2 2

?

?

?



C> 利用单调性的值域

? 在③式 ? ? [0 , ) 区间,函数④式为单调递增函数. 2



1



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? 故有: f (0 ) ? f (? ) ? f ( ) 2
由④得: f (0 ) ? 1 ?



1 0 1? tan 2

? 2;

? ? ? ? 1 lim f (? ) ? lim ? 1 ? ? ?? ? ? ?? x:0 ? x:0 ? ? ? 1 ? tan 2 2 ? 2?
代入⑤式得: f (? ) ? [2, ??) D> 对②采用三角换元 设x? 若
3 1 1 1 1 1 1 ? ? ,即: ?1 ?? ? ,则②式为: ? ? 2 cos ? 2 cos ? 2 cos ? 2



1 ? ? 0 ,则: cos ? ? (0 , 1] ,即: ? ? [0 , ) cos ? 2



函数变为:

f ?
?

3 1 1 1 3 1 1 1?cos 2 ? ? ? ? ? ? ? 4 cos 2 ? 4 2 2 cos ? 2 cos 2 ? 2 2 cos ?

3 3 1 1? sin ? 1 sin ? ? ? ? ? ? 2 2 cos ? 2 cos ? 2 2 cos ?

? ? 2 ? ? 3 1 1? 2 sin 2 cos 2 3 1 (cos 2 ? sin 2 ) ? ? ? ? ? ? 2 2 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? 2 2 2 2
3 1 cos 2 ? sin 2 3 1 1? tan 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 cos? ? sin? 2 2 1? tan? 2 2 2
? 3 1 2 1 ? ( ? 1) ? 2 ? ? 2 2 1? tan ? 1? tan 2 2

?

?

?



E> 利用单调性的值域

? 在⑦式 ? ? [0 , ) 区间,函数⑧式为单调递增函数. 2

? 故有: f (0 ) ? f (? ) ? f ( ) 2





2



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由⑧得: f (0 ) ? 2 ?

1 0 1? tan 2

? 1;

f( )? 2? 2

?

1 1? tan

?
4

?

3 2

3 代入⑨式得: f (? ) ? [1, ) 2



3 综合⑥式和⑩式,函数 f ( x ) 的值域为: f (? ) ? [1, ) [ 2, ?? ) . 2

[例 2] 求函数 f ( x) ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的值域. [解析] 待定系数法用于柯西不等式 . A> 确定函数定义域 函数 f ( x ) 的定义域是: x ? [0 , 13] 由于采用柯西不等式时,系数有多种方案难以选择.
2 2 2 2 例如: [( x ? 27 ) ? ( 2 13 ? x ) ? ( x ) ][1 ? (

1 2

)2 ? 12 ] ? ( x ? 27 ? 13 ? x ? x )2
1 2 ) 2 ] ? ( x ? 27 ? 13 ? x ? x )2

[( x ? 27 )2 ? ( 3 13 ? x ) 2 ? ( 2 x ) 2 ][12 ? (

1 3

)2 ? (

[( 2 x ? 27 )2 ? ( 3 13 ? x ) 2 ? ( x ) 2 ][(

1 2

)2 ? (

1 3

) 2 ? 12 ] ? ( x ? 27 ? 13 ? x ? x )2

等等方案. 这里面哪个可以取到等号成立? B> 待定系数法用于柯西不等式 设: A, B, C ? 0 ,则柯西不等式为:
[( A x ? 27 )2 ? ( B 13 ? x )2 ? ( C x )2 ][ 1 1 1 ? ? ] ? f 2 ( x) A B C

即: f 2 ( x ) ? [( A ? B ? C ) x ? ( 27 A ? 13B )][ 令: A ? B ? C ? 0 ,即: B ? A ? C C> 柯西不等式取等号时 ①

1 1 1 ? ? ] A B C

由柯西不等式取等号,即函数取极值时条件得:

A x ? 27 ? C x B 13 ? x ? C x

② ③
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由②得:

x ? 27 C 2 27 C 2 ? A2 27 A2 ? 2 ,即: ,即: ? x ? x A x A2 C 2 ? A2



将①④代入③得: ( A ? C )2 (13 ?

27 A2 2 ) ? C ? C 2 ? A2 C 2 ? A2

27 A2

即: ( A ? C )2 (13C 2 ? 13A2 ? 27 A2 ) ? 27 A2C 2 即: ( A ? C )2 (13C 2 ? 40A2 ) ? 27 A2C 2 ,即: ( A ? C )2 ( D> 试解⑤式 由于⑤式为柯西不等式取等号的条件,故可取到极值. 试解⑤,由于 27 ? 3 ? 3 ? 3 ,则⑤式刚好也是 3 项相乘,不妨试解采用各项都是 3. 则: A ? C ? 3 ,且 代入④得: x ?
13 A
2

13 A
2

?

40 C2

) ? 27



?

40 C2

? 3 . 则: A ? 1 , C ? 2 , B ? 3

27 A2 C ?A
2 2

?

27 2 ?1
2

? 9 ,即 x ? 9 时函数取得极大值.

函数极大值为 f ( x ? 9) ? 9 ? 27 ? 13 ? 9 ? 9 ? 6 ? 2 ? 3 ? 11 E> 极值将区间 x ? [0 , 13] 分成两段单调区间 由于 x ? 9 时函数取得极大值, 故当 x ? [0, 9] 时,函数 f ( x ) 在本区间为单调递增函数 . 故: f ( x) ? f (0) ? 27 ? 13 ? 0 ? 3 3 ? 13 即:函数 f ( x ) 在 x ? [0, 9] 区间的值域是 [3 3 ? 13 , 11] F> 另一段区间 当 x ? [9, 13] 时,函数 f ( x ) 在本区间为单调递减函数 . 故: f ( x) ? f (13) ? 13 ? 27 ? 13 ? 13 ? 13 ? 40 ? 13 ? 2 10 ? 13 即:函数 f ( x ) 在 x ? [9, 13] 区间的值域是 [2 10 ? 13 , 11] 因为 (3 3 )2 ? 39 , ( 2 10 )2 ? 40 ,所以 3 3 ? 2 10 . 综上,函数 f ( x ) 的值域是 [3 3 ? 13 , 11] . 本题采用“待定系数法” 、 “柯西不等式”和“单调性法”. [例 3] 求函数 f ( x) ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域. [解析] 三角换元用于柯西不等式 A> 函数定义域和换元
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函数 f ( x ) 的定义域是: x ? [5, 8] 若令: u ? x ? 5 ? 0 , v ? 8 ? x ? 0 则: u2 ? v 2 ? 3 ①

? 则采用三角变换,令: u ? 3 cos? , v ? 3 sin? , ? ? [0 , ] 2
代入①式后为: cos2 ? ? sin2 ? ? 1 这是一个三角恒等式. B> 采用三角换元

? 令: x ? 5 ? 3 cos? , 8 ? x ? 3 sin? , ? ? [0 , ] 2
将②式代入函数得: f (? ) ? 3 cos? ? 3 sin?



1 3 即: f (? ) ? 2 3 ( cos ? ? sin ? ) 2 2
? 2 3 (sin ? 2 3 sin(

?
6

cos ? ? cos ?? )

?
6

sin ? )

?
6



C> 函数的取值范围

? ? ? 2? 由于 ? ? [0 , ] ,所以 ( ? ? ) ? [ , ] 2 6 6 3
故: sin(

?

1 ? ? ) ? [ , 1] 6 2



将④代入③式得: f (? ) ?[ 3 , 2 3 ] . 本题采用三角换元法,得到函数的值域为 [ 3 , 2 3 ] . [例 4] 求函数 f ( x ) ? [解析] 三角换元法 A> 函数的定义域为 x ? 1 的一切实数 令: x ? tan ? ,则: ? ? [0, ? ] , ? ? 则函数变为: f (? ) ?
x2 ? 1 的值域. x?1

?
4

tan 2 ? ? 1 tan? ? 1





5



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? B> 当 ? ? [0 , ) 时 4
tan 2 ? ? 1 ? 1 sin ? ? cos ? , tan ? ? 1 ? cos ? cos ?

将上式代入①式得:
f (? ) ? 1 ? sin ? ? cos ? 1 2 2 2( sin ? ? cos ? ) 2 2 ? 1 2 sin(? ?

?
4


)

? ? ? 2 当 ? ? [0 , ) 时, sin(? ? ) ? [? , 0 ) ,即: 2 sin(? ? ) ? [?1, 0 ) 4 4 4 2
代入②式得: f (? ) ? ( ??, ?1] ③

? ? C> 当 ? ? ( , ] 时 4 2
tan 2 ? ? 1 ? 1 sin ? ? cos ? , tan ? ? 1 ? cos ? cos ?

将上式代入①式得:
f (? ) ? 1 ? sin ? ? cos ? 1 2 2 2( sin ? ? cos ? ) 2 2 ? 1 2 sin(? ?

?
4


)

? ? ? ? 2 当 ? ? ( , ] 时, sin(? ? ) ? (0 , ] ,即: 2 sin(? ? ) ? (0 , 1] 4 2 4 4 2
代入④式得: f (? ) ? [1, ??) ⑤

? D> 当 ? ? ( , ? ] 时 2
tan 2 ? ? 1 ? ? 1 sin ? ? cos ? , tan ? ? 1 ? cos ? cos ?

将上式代入①式得:
f (? ) ? ? 1 ?? sin ? ? cos ? 1 2 2 2( sin ? ? cos ? ) 2 2 ?? 1 2 sin(? ?

?
4


)

? ? ? 3? ? ? 当 ? ? ( , ? ] 时, (? ? ) ? ( , ] ,包含 (? ? ) ? 2 4 4 4 4 2
故: sin(? ?

?
4

)?(

? 2 , 1] ,即: 2 sin(? ? ) ? (1, 2 ] 4 2



6



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代入⑥式得: f (? ) ? ( ?1, ?

2 ] 2



综上③⑤⑦式得:函数 f ( x ) 的值域为 ( ??, ? [例 5] 已知函数 f ( x ) ? [解析] 对比值域法 函数的定义域为 x ? R . A> 设函数 y ?
2 x 2 ? bx ? c x2 ? 1 2 x 2 ? bx ? c x2 ? 1

2 ] [1, ?? ) . 2

(其中 b ? 0 )的值域是 [1, 3] ,求实数 b , c .

则: y( x 2 ? 1) ? 2 x 2 ? bx ? c ,即: ( 2 ? y ) x 2 ? bx ? (c ? y ) ? 0 其判别式不等式为: ? ? b2 ? 4(2 ? y)(c ? y) ? (b2 ? 8c) ? 4(2 ? c) y ? 4 y 2 ? 0
b 即: [( )2 ? 2c ] ? ( 2 ? c ) y ? y 2 ? 0 2



B> 由函数 f ( x ) 的值域是 [1, 3] 即: ( y ? 1)( 3 ? y ) ? 0 ,即: ?3 ? 4 y ? y 2 ? 0 ②

b b 对比①②两式得: 2 ? c ? 4 , ( )2 ? 2c ? ?3 ,即: c ? 2 , ( ) 2 ? 1 2 2

因 b ? 0 ,故: b ? ?2 故:本题实数 b ? ?2 , c ? 2 . [例 6] 已知: x , y , z 为正实数,且 x ? y ? z ? xyz ,求函数 f ( x , y , z ) ? [解析] 均值定理法 由均值定理 Qn ? An 得:
x2 ? y2 ? z2 x? y?z 2 xyz 2 ?( ) ?( ) 3 3 3
x2 ? y2 ? z2 的最小值. xyz

即: f ?

x2 ? y2 ? z2 1 ? xyz xyz 3



由均值定理 An ? Gn 得:
x2 ? y2 ? z2 ? 33 x2 y2z2



7



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即: f ?

x2 ? y2 ? z2 ? xyz

3
3

xyz

,即: f 3 ?

27 xyz



1 27 由①×②得: f 4 ? ( xyz ) ? ( )?9 3 xyz

即: f 2 ? 3 ,即: f ? 3
x2 ? y2 ? z2 故:函数 f ( x , y , z ) ? 的最小值是 3 xyz

在 x ? y ? z ? 3 时, f ( x , y, z ) 取得最小值. [例 7] 已知: 2 x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 ? 1 ,求: f ( x, y ) ? x ? y ? xy 的最小值. [解析] 三角换元法 A> 由 2 x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 ? 1 得: 2( x ? y)2 ? 1 ? xy 即: 2( x ? y)2 ? 1 ? xy ①

令: x ? y ? cos ? , xy ? cos 2? 代入①式得到恒等式: 2 cos 2 ? ? 1 ? cos 2? . 代入 f ( x, y ) ? x ? y ? xy 得:

f (? ) ? cos? ? cos 2? ? 2 cos2 ? ? cos? ? 1
1 9 9 ? 2(cos ? ? )2 ? ? ? 4 8 8

故:当 cos ? ? ? B> 当 cos ? ? ?

1 9 时,函数达到最小值 ? 4 8

1 7 时, cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? 4 8
1 7 , xy ? ? 4 8 1 7 x ? ? 0 的两个根. 4 8

即: x ? y ? ?

即二次方程 x 2 ?

1 1 7 ? ? 4? 2 4 8 ? 1 ? 57 x, y ? 4 2 8

此时,达到函数的最小值 f ( x , y ) ? ?

9 . 8



8



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[例 8] 设函数 f ( x ) ? ?

1 2 13 x ? 在区间 [a , b] 的最小值为 2a ,最大值为 2b ,求区间 [a , b] . 2 2

[解析]函数的导数为: f '( x ) ? ? x 于是,当 x ? 0 时, f '( x ) ? 0 ,函数单调递增; 当 x ? 0 时, f '( x ) ? 0 ,函数单调递减; 当 x ? 0 时, f '( x ) ? 0 ,函数达到极大值 A> 当 a ? 0 时 函数处于单调递增区间,其最小值为 f (a ) ? 2a
1 13 ? 2a ,即: a 2 ? 4a ? 13 ? 0 即: ? a 2 ? 2 2 13 . 2

?4 ? 4 2 ? 4 ? 13 则: a ? ? ?2 ? 17 2
由于 a ? 0 ,所以取 a ? ?2 ? 17 B> 当 a ? 0 时 此时函数最大值为: 当 b ? 0 时, f M ? f (b) ? 2b
1 13 ? 2b ,即: b 2 ? 4b ? 13 ? 0 即: ? b 2 ? 2 2



则: b ? ?2 ? 17 因为 b ? a ,故: b ? ?2 ? 17 但此时, b ? 0 .故: b ? 0 时无解. 当 b ? 0 时, f M ? f (0 ) ? 即: b ?
13 4

13 ? 2b 2


13 ]. 4

故结合①②,当 a ? 0 时,区间 [a , b] 为 [?2 ? 17 , C> 当 a ? 0 时

函数处于单调递减区间,其最大值为 f (a ) ? 2b ,最小值为 f (b) ? 2a
1 13 1 13 ? 2b , ? b 2 ? ? 2a 即: ? a 2 ? 2 2 2 2
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1 两式相减得: (b 2 ? a 2 ) ? 2(b ? a ) 2

即: b ? a ? 4 ,即: b ? 4 ? a
1 13 ? 2b ? 2( 4 ? a ) ,即: ?a 2 ? 13 ? 16 ? 4a 故: ? a 2 ? 2 2

即: a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ,即: (a ? 1)(a ? 3) ? 0 故: a ? 1 , b ? 3 或 a ? 3 , b ? 1 由于 a ? b ,故 a ? 1 , b ? 3 , 故:当 a ? 0 时,区间 [a , b] 为 [1, 3] . 结合 B>C>,区间 [a , b] 为 [?2 ? 17 ,
13 ] 或 [1, 3] . 4

[例 9] 已知: x 2 ? y 2 ? 25 ,求函数 f ( x, y) ? 8 y ? 6 x ? 50 ? 8 y ? 6 x ? 50 的最大值. [解析] 均值不等式 由 x 2 ? y 2 ? 25 可知,函数 f ( x, y ) 的定义域是: x ? [?5 , 5 ] , y ? [?5 , 5 ] 有均值不等式 An ? Qn ,即:
8 y ? 6 x ? 50 ? 8 y ? 6 x ? 50 ( 8 y ? 6 x ? 50 )2 ? ( 8 y ? 6 x ? 50 )2 ? 2 2 ( 8 y ? 6 x ? 50 )2 ? ( 8 y ? 6 x ? 50 )2 ? 2 8 y ? 50 即: f ( x , y ) ? 2 2

即: f ( x, y) ? 2 8 ? 5 ? 50 ? 6 10 当 y ? 5 时, x ? 0 , f (0, 5) ? 6 10 ,即可以取到不等式的等号。 故:函数 f ( x, y ) 的最大值是 6 10 . 本题采用 An ? Qn ,称为“均值不等式”. 另解:三角换元法 A> 由 x 2 ? y 2 ? 25 可令: x ? 5 cos ? , y ? 5 sin ? , ? ? [0, 2? ) 代入 x 2 ? y 2 ? 25 得到恒等式 cos2 ? ? sin2 ? ? 1 B> 函数变为

f (? ) ? 40 sin? ? 30 cos? ? 50 ? 40 sin? ? 30 cos? ? 50
? 50 4 3 4 3 sin ? ? cos ? ? 1 ? 50 sin ? ? cos ? ? 1 5 5 5 5
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C> 设 sin ? ?

3 4 , cos ? ? 5 5

代入①式得:

f (? ) ? 50 ( cos? sin? ? sin? cos? ? 1 ? cos? sin? ? sin? cos? ? 1)
? 50[ sin(? ? ? ) ? 1 ? sin(? ? ? ) ? 1] ②
D> 由于 sin(? ? ? ) ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2
2

, sin 2

? ??
2
)2

? cos 2

? ??
2

?1

所以 sin(? ? ? ) ? 1 ? (sin

? ??

? cos

? ??
2

故: sin(? ? ? ) ? 1 ? sin

? ??
2

? cos

? ??
2
? ? ? ?

? sin

? ??
2

? cos

? ??
2

? 2 ? ?? 2 ? ?? ? 2? ? 2 sin 2 ? 2 cos 2 ?

? ? ?? ? ? ?? ?? ? 2 ? sin cos ? cos sin ? 2 4 2 4? ?
E> 当



? ??

? ? ?? ? [0 , ] 时,设 ?? 2 2 2
? ??
? ( , ? ] 时,设 ? ? 2 2



?

? ??
2

??

? ? ?? ? ?? 则: ? ? [0 , ] , sin ? sin ? , cos ? cos ? 2 2 2
代入③式得:

? ? ?? ? sin(? ? ? ) ? 1 ? 2 ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 2 sin(? ? ) 4 4 4? ?
同理:当 当 当



? ??
?

? [0 , ] 时,设 2 2

?

? ??
2

??

? ??

? ( , ? ] 时,设 ? ? 2 2 2 ? (? , 2? ) 时,设

? ??
2

??

? ??

? ??
2

?? ? ?

? 则: ? ? [0 , ] 2
sin(? ? ? ) ? 1 ? 2 sin( ? ?

?
4

)


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F> 将④⑤代入②得:
f (? ) ? 50 [ 2 sin(? ?

?
4

) ? 2 sin( ? ?

?
4

)]

? 100 [sin(? ?
? 10[ 2 sin( ? 20 sin(

?
4

) ? sin( ? ?

?
4
2

)]
)]

???
2 2 ?

?

?
4

)cos(

? ??

???

?
4

)cos(

? ??
2

)

? 20 cos(

???
2

)



G> 计算 因为 ? ? ? ? ?? ,所以 cos

???
2

? cos

?
2

1 ? cos ? cos ? ? 2 2

?

1?

4 5 ? 3 2 10



将⑦代入⑥式得:
f (? ) ? 20 cos(

???
2

) ? 20 ?

3 10

? 6 10

故当 sin( H> 若 sin(

???
2

?

?
4

) ? 1 时,函数 f ( x, y ) 的最大值为 6 10

???
2

?

?
4

) ? 1 ,则:

???
2
2 ?

?

?
4
2 ?

即: ? ? ? ? 即: ? ?

?
2

,即:

? ??

? ??

?
2

?
2



则: x ? 5 cos ? ? 0 , y ? 5 sin? ? 5

f (0, 5) ? 8 ? 5 ? 6 ? 0 ? 50 ? 8 ? 5 ? 6 ? 0 ? 50 ? 90 ? 90 ? 6 10
故当 x ? 0 , y ? 5 时,函数 f ( x, y ) 取得最大值 6 10 . [例 10] 求函数: f ( x ) ? x 2 ? 2x ? 10 ? x 2 ? 16 x ? 68 的最小值. [解析] 图数结合法 将函数写成一下形式
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f ( x ) ? [ x ? ( ?1)]2 ? (0 ? 3) 2 ? [ x ? ( ?8 )]2 ? (0 ? 2 ) 2

可见, 函数就是点 P( x, 0 ) 到点 A(?1, ?3) 的距离 PA ? [ x ? ( ?1)]2 ? (0 ? 3) 2 与点 P( x, 0 ) 到 点 B( ?8, ?2 ) 的距离 PB ? [ x ? ( ?8 )]2 ? (0 ? 2 )2 的距离之和 PA ? PB . 如 图 , 当 点 P( x, 0 ) 与 点 A(?1, ?3) 和 点
B '( ?8, 2) 三 点 共 线 时 , 则 PB ? PB ' ,

B’

PA ? PB 取得最小.
最小值就是:
AB ? ( x A ? xB ' )2 ? ( y A ? yB ' )2 .

P B

? O

故: AB ? [( ?1) ? ( ?8 )]2 ? [( ?3) ? 2]2

A

? 49 ? 25 ? 74 .
另解:向量法
f ( x ) ? ( x ? 1)2 ? 3 2 ? ( x ? 8 ) 2 ? 2 2

令: m ? (?( x ? 1), 3) , n ? ( x ? 8, 2) 则: m ? ( x ? 1)2 ? 3 2 , n ? ( x ? 8 )2 ? 2 2 , m ? n ? (7 , 5) 于是: f ( x ) ? m ? n ? m ? n ? 49 ? 25 ? 74 当 m / / n 时,
?( x ? 1) 3 ? ,即: 3( x ? 8) ? 2( x ? 1) ? 0 , x?8 2
26 26 , f ( ? ) ? 74 . 5 5

即: 5 x ? 26 ? 0 ,则: x ? ?
x2 ? x

[例 11] 求函数: f ( x ) ?

x2 ? 4 x ? 4

的值域.

[解析]先求函数的定义域. 定义域为: x ? 2 本题采用判别式法 . 由y?
x2 ? x x ? 4x ? 4
2

等价变形为: yx 2 ? 4 yx ? 4 y ? x 2 ? x

即: (1 ? y ) x 2 ? ( 4 y ? 1) x ? 4 y ? 0 式上面方程有解的判别式是: ? ? ( 4 y ? 1)2 ? 4 ? 4 y(1 ? y ) ? 0
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23 个求极值和值域专题

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即: ? ? 16 y 2 ? 8 y ? 1 ? 16 y ? 16 y 2 ? 8 y ? 1 ? 0 ,即: y ? ?
1 的值域为 [? , ?? ) . 8 x2 ? 4 x ? 4

1 8

故:函数 f ( x ) ?

x2 ? x

另解:换元法 令: t ? x ? 2 ,则 t ? 0 , x ? t ? 2 于是: f ( t ) ?

( t ? 2 )2 ? ( t ? 2 ) t2

?

t 2 ? 3t ? 2 t2

? 2(

3 1 32 32 1 ? 2 ? ? ? ? ? ) 4 t 42 42 2 t2 1

1 3 2 32 1 1 3 1 1 ? 2( ? ) ? 2( ? 2 ? ) ? 2 ( ? ) 2 ? ? ? t 4 4 2 t 4 8 8
4 2 1 当 t ? ? 时,即当 x ? 时, f ( x ) 达到极小值 ? . 3 3 8

[例 12] 已知实数 x1 , x2 , x3 满足 x1 ? [解析] 柯西不等式 由已知得: x1 ?
2 x1 ?

x2 x3 x2 x2 2 ? ? 1 和 x1 ? 2 ? 3 ? 3 ,求 x3 的最小值. 2 3 2 3

x x2 ? 1? 3 2 3



2 x2 x2 ? 3? 3 2 3


2 x2 x 1 )(1 ? ) ? ( x1 ? 2 )2 2 2 2

2 则由柯西不等式得: ( x1 ?



2 x3 x 3 将①、②代入③得: ( 3 ? ) ? (1 ? 3 )2 2 3 3

2 2 2 即: 9(9 ? x3 ) ? 2( 3 ? x3 )2 ,即: 81 ? 9 x3 ? 2 x3 ? 12 x3 ? 18
2 2 ? 2? 即: 11x3 ? 12x3 ? 63 ,即: x3

6 63 ? x3 ? 11 11

即: ( x3 ? 故: x3 ? 则: ( x3 ?

6 2 63 6 2 9 ? 7 ? 11 ? 9 ? 4 9 ? 81 27 2 ) ? ?( ) ? ? ? 2 11 11 11 112 112 11

6 27 ? 11 11
6 27 27 6 27 6 27 ) ? [? , ] ,即: x3 ? [ ? , ? ] 11 11 11 11 11 11 11
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即: x3 ? [?

21 , 3] 11


21 . 11

所以, x3 的最小值为 ?

x2 x x 21 当 x3 ? ? 时,由柯西不等式等号成立的条件得: 1 ? 2 ? 2 1 1 1 11 2

即: x1 ? x2 ,代入 x1 ? 即: x1 ? x2 ?

x x2 3x 3 x2 7 18 ? 1 ? 3 得: 1 ? ? 1? ? 2 3 2 2 11 11

12 21 . 故: x3 的最小值为 ? 11 11

[例 13] 求函数: f ( x, y) ? (1 ? y)2 ? ( x ? y ? 3)2 ? (2x ? y ? 6 )2 的最小值. [解析] 待定系数法用于柯西不等式 设: A, B, C ? R ,则柯西不等式为:

[(1 ? y)2 ? ( x ? y ? 3)2 ? (2x ? y ? 6 )2 ][ A2 ? B2 ? C 2 ]

? [ A(1 ? y) ? B( x ? y ? 3) ? C(2x ? y ? 6)]2 ? g( x, y, z)
即: f ( x, y, z)[ A2 ? B2 ? C 2 ] ? g( x, y, z ) ①

则: g( x, y, z) ? [( A ? 3B ? 6C ) ? ( B ? 2C ) x ? (? A ? B ? C ) y]2 令: B ? 2C ? 0 , (? A ? B ? C ) ? 0 则: B ? ?2C , A ? B ? C ? ?2C ? C ? ?C 故:设 C ? 1 ,则: A ? ? 1 , B ? ?2 , A2 ? B2 ? C 2 ? 1 ? 4 ? 1 ? 6 则: g( x, y, z) ? ( A ? 3B ? 6C )2 ? (?1 ? 6 ? 6 )2 ? 1
g( x , y , z ) A ? B ?C

2 2 2





将②③代入①得: f ( x , y , z ) ?

?

1 6



15



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柯西不等式①中,等号成立的条件是:

1? y x ? y ? 3 2x ? y ? 6 ? ? A B C

1 即: y ? 1 ? ? ( x ? y ? 3) ? 2 x ? y ? 6 ? k ,则: y ? k ? 1 2 1 则: ? ( x ? y ? 3) ? 2 x ? y ? 6 ,即: 3 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 12 2

即: 5 x ? ?3 y ? 15 ? ?3(k ? 1) ? 15 ? ?3k ? 12 ,即: x ? 将 y ? k ?1和 x ?

?3k ? 12 5

?3k ? 12 ?6k ? 24 ? k ? 1?6 ? k 代入 2x ? y ? 6 ? k 得: 5 5

即: ?6k ? 24 ? 25 ,即: k ? ?

1 6

1 1 5 ?3k ? 12 2 ? 12 25 5 于是,当 x ? 柯西不等式④中, 等号成立. ? ? ? ,y ? ? ? 1 ? 时, 6 6 5 5 10 2
即: f ( x, y) ? (1 ? y)2 ? ( x ? y ? 3)2 ? (2x ? y ? 6 )2 的最小值是
1 . 6

[例 14] 已知: x ? 1 ? y ? 2 ? 5 ,求函数: f ( x , y ) ? x ? y 的最小值. [解析] 均值不等式 函数 f ( x, y ) 的定义域为: x ? [?1, ?? ) , y ? [2, ??) 由均值不等式 An ? Qn 得: 即:
x?1? 2 y?2 ? ( x ? 1 )2 ? ( y ? 2 )2 ? 2
2

x? y?1 2

2 x? y?1 ? x?1? y?2 ? 25 ?5? 即: ?? ?? ? ? ? ? ? 2 2 4 ?2? ? ?

即: x ? y ? 1 ? 当 x?1 ?

25 27 ,则: f ( x , y ) ? x ? y ? 2 2 5 21 33 27 时,即: x ? 、y? 时, f ( x , y ) ? . 2 4 4 2

y?2 ?

故:函数 f ( x, y ) 的最小值是 另解:三角换元法

27 . 2



16



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令: x ? 1 ? 5 cos2 ? , y ? 2 ? 5 sin2 ? 则代入 x ? 1 ? y ? 2 ? 5 为恒等式. 于是: x ? 5 2 cos4 ? ? 1 , y ? 5 2 sin2 ? ? 2 则: f ( x, y) ? x ? y ? 5 2 (cos4 ? ? sin4 ? ) ? 1 由于: cos4 ? ? sin4 ? ? (1 ? sin2 ? )2 ? sin4 ?
? 2 sin4 ? ? 2 sin2 ? ? 1



1 1 ? 2(sin 4 ? ? sin 2 ? ? ) ? 1 ? 2 ? 4 4
1 1 ? 2(sin 2 ? ? )2 ? 2 2



将②代入①式得:
1 1 1 27 27 f ( x , y ) ? 5 2 [ 2(sin 2 ? ? )2 ? ] ? 1 ? 50(sin 2 ? ? )2 ? ? 2 2 2 2 2



当: sin 2 ? ?

1 1 , cos 2 ? ? , 2 2
21 33 27 , y ? 5 2 sin 2 ? ? 2 ? 时, f ( x , y ) ? 4 4 2

即: x ? 5 2 cos 4 ? ? 1 ?

为 f ( x , y ) ? x ? y 的最小值. [例 15] 已知点 P ( x, y) 在椭圆

x 2 y2 ? ? 1 上,求 f ( x, y) ? 2x ? y 的最大值. 4 9

[解析] 三角换元法(参数法) 令: x ? 2 cos ? , y ? 3 sin ? 代入
x 2 y2 ? ? 1 得: cos2 ? ? sin2 ? ? 1 为恒等式 4 9

则: f ( x, y) ? 2x ? y ? 4 cos? ? 3 sin? ? 5 sin(? ? ? ) ? 5 其中: sin ? ?
4 3 , cos ? ? 5 5

当 sin(? ? ? ) ? 1 时,即 ? ? ? ? 则: cos ? ? cos(? ? 故当 x ? 2 cos ? ?

?
2



?
2

) ? sin ? ?

4 ? 3 , sin ? ? sin(? ? ) ? ? cos ? ? ? 5 2 5

8 9 , y ? 3 sin ? ? ? 时, 5 5
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最大值 f ( x , y) ? 2 x ? y ? 另解:柯西不等式

16 9 ? ?5. 5 5

y ? ? x 由柯西不等式得: ( 2x ? y) 2 ? ?( ) 2 ? ( ) 2 ? ? 4 2 ? ( ?3) 2 ? ? 5 2 ? 3 ?? ? 2

即: 2x ? y ? 5 ,即: f ( x, y) ? 2x ? y ? [?5, 5] 由柯西不等式的等号成立的条件得:
x y x 4y ? ,即: ? ? 8 ?9 2 9
2

x 2 y2 16 y 2 y 2 ?5y? 代入 ? ? 1 ,即: ? ? ? 1 ? ? 1 得: 81 9 4 9 ? 9 ?

则: y ? ? ⑴ 当x?

9 8y ? ,于是, x ? ? 5 9

8 5

9 8 9 8 9 8 , y ? ? 时, f ( x ? , y ? ? ) ? 2 ? ? ( ? ) ? 5 5 5 5 5 5 5

8 9 8 9 8 9 ⑵ 当 x ? ? , y ? 时, f ( x ? ? , y ? ) ? 2 ? ( ? ) ? ? ?5 5 5 5 5 5 5

所以,函数 f ( x, y) ? 2x ? y 的最大值是 5 . 此法是用“柯西不等式”. 另解:权方和不等式

1?

x 2 y 2 ( 2x ) 2 ( ? y)2 ( 2x ? y) 2 ( 2x ? y) 2 ? ? ? ? ? 4 9 16 9 16 ? 9 52

即: 2x ? y ? 5 ,即: f ( x, y) ? 2x ? y ? [?5, 5] 此法为“权方和不等式”. [例 16] 求函数: f ( x) ? 2 ? x ? 8 ? 3x 的值域.
8 [解析]函数 f ( x ) 的定义域是: x ? [?2, ] . 3

A> 待定系数法用于柯西不等式 设: A, B ? 0 ,则柯西不等式为:
[( A 2 ? x ) 2 ? ( B 8 ? 3x ) 2 ][ 1 1 ? ] ? ( 2 ? x ? 8 ? 3x ) 2 ? f 2 ( x ) A B 1 1 1 1 ? ] ? [( 2 A ? 8B ) ? ( A ? 3B ) x ][ ? ] ① A B A B

即: f 2 ( x ) ? [ A( 2 ? x ) ? B( 8 ? 3x )][ 令: A ? 3B ? 0 ,则: A ? 3B





18



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B> 由柯西不等式的等号成立条件,即函数取极值时条件得:

A 2 ? x ? B 8 ? 3x ,即: A2 ( 2 ? x) ? B2 (8 ? 3x) ,
即: ( A2 ? 3B2 ) x ? 8B2 ? 2A2 ,则: x ? 将②代入③得: x ?

8B 2 ? 2 A2 A2 ? 3B 2



8B2 ? 18B2 9B ? 3B
2 2

??

10 5 ?? 12 6

5 5 5 7 63 2 42 函数的极值为: f ( ? ) ? 2 ? ? 8 ? 3 ? (? ) ? ? ? 6 6 6 6 6 3
5 C> 在 x ? [?2, ? ] 区间,函数 f ( x ) 单调递增,故: 6

f ( x ) ? f ( ?2 ) ? 2 ? ( ?2 ) ? 8 ? 3 ? ( ?2 ) ? 14
于是,函数 f ( x ) 在该区间的值域是 [ 14 ,

2 42 ] 3



5 8 在 x ? [ ? , ] 区间,函数 f ( x ) 单调递减,故: 6 3

8 8 8 42 f ( x) ? f ( ) ? 2 ? ( ) ? 8 ? 3 ? ( ) ? 3 3 3 3
于是,函数 f ( x ) 在该区间的值域是 [ 综上④⑤,函数 f ( x ) 的值域是 [ [例 17] 求函数: f ( x ) ? 1 ?
42 2 42 , ] 3 3



42 2 42 , ]. 3 3

x ? x 2 ? 2 x ? 2 的值域. 2

[解析]函数 f ( x ) 的定义域是: x ? R . A> 判别式法
x ? x2 ? 2 x ? 2 2

令: y ? f ( x ) ? 1 ? 则: y ?
x ? 2



x2 ? 2 x ? 2 ? 0



x x2 ? x2 ? 2 x ? 2 即: ( y ? ) 2 ? x 2 ? 2 x ? 2 ,即: y 2 ? yx ? 2 4

即:

3 2 x ? ( 2 ? y) x ? ( 2 ? y 2 ) ? 0 4



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B> 由③的判别式得: ? ? ( 2 ? y) 2 ? 4 ? 即: y 2 ? y ? 故: y ?

3 ? ( 2 ? y2 ) ? 4 y2 ? 4 y ? 2 ? 0 4

1 1 3 ,即: ( y ? ) 2 ? ( ) 2 2 2 2

1 3 1 3 或 y? ? ? ? 2 2 2 2 1 3 1 3 或y?? ? ? 2 2 2 2 1 3 x ? 0 的条件必须那满足,故 y ? ? ? . 2 2 2 1? 3 . 2

即: y ? ?

由于②式即 y ?

此时, f ( x ) ? y ? 1 ? 另解:导数法

由函数在极值点的导数为 0 得: f '( x ) ?

1 2x ? 2 ? ?0 2 2 x 2 ? 2x ? 2

即:

x?1 x 2 ? 2x ? 2

??

( x ? 1) 2 1 1 ? 且x?1? 0 ,即: 2 2 ( x ? 1) ? 1 4

即: ( x ? 1) 2 ?

1 3 3 ,即: x ? 1 ? ? ,故: x ? ?1 ? 3 3 3

函数的极值为:

f ( x) ? 1 ?

1 3 1 1 3 ? ? ?1 ? ? 2 6 3 2 2
1? 3 2

并且易证它是极小值. 故: f ( x ) ?

[例 18] 求函数: f ( x) ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? 2 ? sin x ? 2 ? sin x ? 3 ? sin x ? 3 ? sin x 的最大值. [解析] 由均值不等式 An ? Qn 得:

1 ? sin x ? 1 ? sin x ( 1 ? sin x ) ? ( 1 ? sin x ) ? ?1 2 2

2 ? sin x ? 2 ? sin x ( 2 ? sin x ) ? ( 2 ? sin x ) ? ? 2 2 2 3 ? sin x ? 3 ? sin x ( 3 ? sin x ) ? ( 3 ? sin x ) ? ? 3 2 2
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所以,两边相加得: f ( x) ? 2(1 ? 2 ? 3 ) 在 x ? 0 时, f (0) ? 2(1 ? 2 ? 3 ) ,即不等式的等号可以取到. 故: f ( x ) 的最大值为 2(1 ? 2 ? 3 ) . 另解:由柯西不等式:

( 1 ? sin x ? 1 ? sin x )2 ? (12 ? 12 )[( 1 ? sin x )2 ? ( 1 ? sin x )2 ] ? 4
即: 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? 2

( 2 ? sin x ? 2 ? sin x )2 ? (12 ? 12 )[( 2 ? sin x )2 ? ( 2 ? sin x )2 ] ? 8
即: 2 ? sin x ? 2 ? sin x ? 2 2

( 3 ? sin x ? 3 ? sin x )2 ? (12 ? 12 )[( 3 ? sin x )2 ? ( 3 ? sin x )2 ] ? 12
即: 3 ? sin x ? 3 ? sin x ? 2 3 故: f ( x) ? 2(1 ? 2 ? 3 ) . [例 19] 设: xi ( i ? 1, 2, 3, ..., 2003) 为正实数,且满足 x1 ? x2 ? ... ? x2003 ? 2003 , 试求: y ? x1 ? x2 ? x2 ? x3 ? ... ? x2002 ? x2003 ? x2003 ? x1 的最小值. [解析]由均值不等式 An ? Qn 得:

x1 ? x2 ? 2

x1 ? x2 ? 2 x1 ? x2 2

x2 ? x3 ? 2
……

x 2 ? x3 ? 2 x2 ? x3 2

x2002 ? x2003 ? 2 x2003 ? x1 ? 2

x2002 ? x2003 ? 2 x2002 ? x2003 2

x2003 ? x1 ? 2 x2003 ? x1 2

不等式两边分别相加得:

2( x1 ? x2 ? ... ? x2003 ) ? 2 ( x1 ? x2 ? ... ? x2002 ? x2003 ? x2003 ? x1 )
即: y ? 2 ? 2003 ? 2003 2 当 x1 ? x2 ? ... ? x2003 ? 1 时, y ? 2003 2 ,即不等式的等号可以取到. 故: y 的最小值是 2003 2 .
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另解:柯西不等式

( x1 ? x2 )(12 ? 12 ) ? ( x1 ? x2 )2
即: 2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 同理: 2 x2 ? x3 ? x2 ? x3 ……

2 x2003 ? x1 ? x2003 ? x1
不等式两边分别相加得:

2 ( x1 ? x2 ? x2 ? x3 ? ... ? x2003 ? x1 ) ? 2( x1 ? x2 ? ... ? x2003 )
即: y ? x1 ? x2 ? x2 ? x3 ? ... ? x2003 ? x1 ? 2 ( x1 ? x2 ? ... ? x2003 ) 即: y ? 2 ( x1 ? x2 ? ... ? x2003 ) ? 2003 2 [例 20] 已知 x , y , z 为正实数,且满足 求: f ( x, y, z ) ? [解析] 柯西不等式
? x2 y2 z2 ? ? 由3?? ? 1 ? x2 1 ? y2 1 ? z2 ? ? 1 1 1 ? 1 得: ? ? ?1 ? 2 2 2 ? 1 ? x 1 ? y 1 ? z ?
?2 x2 1 ? x2 ? y2 1 ? y2 ? z2 1 ? z2 ?2,

x 1? x
2

?

y 1? y
2

?

z 1 ? z2

的最大值.



已知:

x2 1 ? x2

?

y2 1 ? y2

?

z2 1 ? z2



由柯西不等式得:
? 1 1 1 ? ? 1 ? x2 ? 1 ? y2 ? 1 ? z2 ? ? ? x2 y2 z2 ? ? ? ? ? ? 1 ? x2 1 ? y2 1 ? z2 ??
2

? ? ? ?

? x y z ? ?? ? 1 ? x2 ? 1 ? y2 ? 1 ? z2 ? ? ? ?


2

? x y z ? 将①②代入③得: ? ? ? ? 1 ? x2 1 ? y2 1 ? z2 ? ? ?2 ? ?
即:

x 1? x
2

?

y 1? y
2

?

z 1 ? z2

? 2





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当 x ? y ? z ? a 时,由①得:

1 1? a
2

?

1 ,即: a ? 2 3

故当 x ? y ? z ? 2 时,函数值为: f ( 2 , 2 , 2 ) ?

3 2 ? 2 1? 2

于是极值点可以取到,故函数 f ( x , y, z ) 的最大值为 2 . [例 21] 设 ? 为锐角,求: f (? ) ? (1 ? [解析] 辅助角公式法
f (? ) ? (1 ? 1 1 1 1 1 )(1 ? ) ? 1? ? ? sin ? cos ? sin ? cos ? sin ? cos ?
1 1 )(1 ? ) 的最小值. sin ? cos ?



1 1 与 通分,并与最后一项合并得: sin ? cos ? f (? ) ? 1 ? sin ? ? cos ? ? 1 2(sin ? ? cos ? ? 1) ? 1? sin ? cos ? 2 sin ? cos ?



由 (sin? ? cos? )2 ? sin2 ? ? cos2 ? ? 2 sin? cos? ? 1 ? 2 sin? cos? 得:

2 sin? cos ? ? (sin? ? cos ? )2 ? 1 ? (sin? ? cos ? ? 1)(sin ? ? cos ? ? 1)
代入①式约掉 (sin ? ? cos ? ? 1) 得:
f (? ) ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? ? 1



再由辅助角公式得:
sin ? ? cos ? ? 2 ( 2 2 ? sin ? ? cos ? ) ? 2 sin(? ? ) 2 2 4

代入②式得:
f (? ) ? 1 ? 2 2 sin(? ?

?
4


)?1

由③式及 ? 为锐角,当 sin(? ? 即:当 sin(? ? 故,当 ? ? 另解:导数法

?
4

) 达到最大值 1 时, f (? ) 达到最小值,

?
4

) ? 1 时, f (? ) ? 1 ?

2 2 ?1

? 3? 2 2 .

?
4

时, f (? ) 达到最小值,最小值为 3 ? 2 2 .



23



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函数: f (? ) ? (1 ?

1 1 )(1 ? ) sin ? cos ? cos ? 1 sin ? 1 (1 ? )? (1 ? ) 2 2 sin ? cos ? cos ? sin ?

其导数为: f '(? ) ? ?

当函数在极值点时,其导数为 0 ,即在极值点: f '(? ) ? 0 即: ?
cos ? 1 sin ? 1 (1 ? )? (1 ? )?0 2 2 sin ? cos ? cos ? sin ?

即: cos 3 ? (1 ?

1 1 ) ? sin 3 ? (1 ? )?0 cos ? sin ?

即: (cos3 ? ? sin3 ? ) ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? 0 即: (cos ? ? sin? )(cos2 ? ? cos ? sin? ? sin2 ? ? cos ? ? sin? ) ? 0 即: (cos ? ? sin ? )(1 ? cos ? sin ? ? cos ? ? sin ? ) ? 0 由于 ? 为锐角, (1 ? cos ? sin ? ? cos ? ? sin ? ) ? 0 所以 cos ? ? sin ? ? 0 ,即: ? ?

?
4

, cos ? ? sin ? ?

2 2

则: fm (? ) ? (1 ? 2 )(1 ? 2 ) ? 3 ? 2 2 再取 ? ?

?
6

, cos ? ?

1 3 , sin ? ? 2 2

代入函数得:

? 2 f ( ) ? (1 ? 2 )(1 ? ) ? 3 ( 3 ? 2) ? 3 ? 2 3 ? 3 ? 2 2 6 3
故 fm (? ) ? 3 ? 2 2 为最小值. [例 22] 设 ? 为锐角,求证: 2? ? sin ? ? tan ? . [解析] 单调性法

? 因为 ? 为锐角,函数定义域为: ? ? (0 , ) ,所以, ? ,sin ? ,cos ? ,tan ? ? 0 2
构造函数: f (? ) ? sin ? ? tan ? ? 2? 则函数的导函数为:

f '(? ) ? cos ? ? f '(? ) ?

1 cos 2 ?

?2?

cos 3 ? ? 1 ? 2 cos 2 ? cos 2 ?

cos 3 ? ? (1 ? 2 cos 2 ? ? cos4 ? ) ? cos4 ? cos 2 ?
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?

cos 3 ? (1 ? cos ? ) ? (1 ? cos 2 ? )2 cos ?
2

? cos? (1 ? cos? ) ? tan2 ?

因为: cos ? ? 0 , 1 ? cos ? ? 0 , tan ? ? 0 ,所以: f '(? ) ? 0

? 即:在定义域 ? ? (0 , ) 区间,函数 f (? ) 为单调递增函数, 2
故: f (? ) ? f (0 ) ? 0 ,即: 2? ? sin ? ? tan ? . [例 23]已知 x , y , z 为正实数,求证: [解析] 待定系数法 令: x 2 ? y 2 ? z 2 ? x 2 ? a 2 y 2 ? b2 y 2 ? z 2 , ( a ? 0, b ? 0 ) 则: a 2 ? b2 ? 1 于是:
xy ? 2 yz x2 ? y2 ? z2 ?

证毕.
5 . 2

xy ? 2 yz x ? y ?z
xy ? 2 yz
2 2 2

?

xy ? 2 yz ( x ? a y ) ? (b y ? z )
2 2 2 2 2 2

?

xy ? 2 yz 1 xy ? 2 yz ? ? b ( 2axy ) ? ( 2byz ) 2a xy ? yz a

即:

x2 ? y2 ? z2

?

1 xy ? 2 yz ? b 2a xy ? yz a



令:

b 1 5 1 ? 2 ,则代入 a 2 ? b2 ? 1 得: a 2 ? 4a 2 ? 1 ,即: a ? ,即: ? a 2a 2 5



xy ? 2 yz 5 b 1 5 ? ?2, 代入①式得: 2 . ? 2 a 2a 2 x ? y2 ? z2

证毕.

另解:参数法 令: x ? my , z ? ny ,代入
2 5
xy ? 2 yz x ? y ?z
2 2 2

?

5 m ? 2n 5 得: 2 ? 2 2 m ? n2 ? 1

即证:

( m ? 2n) ? m 2 ? n2 ? 1 ,即证: m 2 ?

2 5

? m ? n2 ?

2 5

? 2n ? 1 ? 0 ,

即证: ( m ? 即证: ( m ?

1 5
1 5

)2 ? ( n ?
)2 ? ( n ?

2 5
2 5

)2 ? 1 ? (
)2 ? 0

1 5

)2 ? (

2 5

)2 ? 0

而这是显然成立的.

证毕.



25




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