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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学(安徽·文科全解析版)

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绝密★启用前 4.9.11.12.19.20

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷 安徽卷) 数 文科) 学(文科 文科

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 第Ⅰ卷第 1 至第 2 页, 第Ⅱ卷第 3 至第 4 页。全卷满分 l50 分,考试时间 l20 分钟。 考生注意事项: 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的 地方填写姓名和座位号后两位。 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹 .... 清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔 ... 描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草 ............. .... . 稿纸上答题无效。 ....... 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) S 表示底面积,h 表示底面上的高 棱柱体积 V=Sh 棱锥体积 V= Sh

1 3

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 选择题
小题, 在每小题给出的四个选项中. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. (1)若 A= { x | x + 1 > 0} ,B= { x | x ? 3 < 0} ,则 A ∩ B = (A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) 1.C (C)(-1,3) (D)(1,3)

【解析】 A = (1, +∞), B = ( ?∞,3) , A ∩ B = ( ?1,3) ,故选 C. 【方法总结】先求集合 A、B,然后求交集,可以直接得结论,也可以借助数轴得交集. (2)已知 i = ?1 ,则 i( 1 ? 3i )=
2

(A) 3 ? i 2.B

(B) 3 + i

(C) ? 3 ? i

(D) ? 3 + i

【解析】 i (1 ? 3i ) = i + 3 ,选 B. 【方法总结】直接乘开,用 i = ?1 代换即可.
2

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(3)设向量 a = (1, 0) , b = ( , ) ,则下列结论中正确的是 (A) a = b (C) a / / b 3.D (B) a ib =

1 1 2 2

2 2

(D) a ? b 与 b 垂直

【解析】 a ? b = ( , ? ) , ( a ? b)ib = 0 ,所以 a ? b 与 b 垂直. 【规律总结】根据向量是坐标运算,直接代入求解,判断即可得出结论. (4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0 4.A 【解析】 设直线方程为 x ? 2 y + c = 0 , 又经过 (1, 0) , c = ?1 , 故 所求方程为 x ? 2 y ? 1 = 0 . 【 方 法 技 巧 】 因 为 所 求 直 线 与 与 直 线 x-2y-2=0 平 行 , 所 以 设 平 行 直 线 系 方 程 为

1 2

1 2

x ? 2 y + c = 0 ,代入此直线所过的点的坐标,得参数值,进而得直线方程.也可以用验证法,
判断四个选项中方程哪一个过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行. (5)设数列 {an } 的前 n 项和 S n = n ,则 a8 的值为
2

(A) 15 5.A

(B) 16

(C)

49

(D)64

【解析】 a8 = S8 ? S 7 = 64 ? 49 = 15 . 【方法技巧】直接根据 an = S n ? S n ?1 ( n ≥ 2) 即可得出结论. (6)设 abc > 0 ,二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c 的图像可能是

6.D 【解析】当 a > 0 时, b 、 c 同号, (C) (D)两图中 c < 0 ,故 b < 0, ?

b > 0 ,选项(D) 2a

符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a > 0 或 a < 0 两种情况分类考虑.另外
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还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
5 (7)设 a = ),b = ( 5 ( ) c = ) ,则 a,b,c 的大小关系是 , ( 5

3 5

2

2 5

3

2 5

2

(A)a>c>b 7.A
2

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>a

【解析】y = x 5 在 x > 0 时是增函数, 所以 a > c ,y = ( ) 在 x > 0 时是减函数, 所以 c > b 。
x

2 5

【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

?2 x + y ? 6 ≥ 0, ? (8)设 x,y 满足约束条件 ? x + 2 y ? 6 ≤ 0, 则目标函数 z=x+y 的最大值是 ? y ≥ 0, ?
(A)3 8.C (B) 4 (C) 6 (D)8

【解析】 不等式表示的区域是一个三角形, 个顶点是 (3, 0), (6, 0), (2, 2) , 3 目标函数 z = x + y 在 (6, 0) 取最大值 6。 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即 几条直线围成的区域) 则区域端点的值是目标函数取得最大或最 小值,求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值. (9)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是 (A)372 (B)360 (C)292 (D)280 9.B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长 方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。

S = 2(10 × 8 + 10 × 2 + 8 × 2) + 2(6 × 8 + 8 × 2) = 360 .
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体,画出直观图,得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和。 (10) 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线, 乙从该正方形四个顶点中任意选 择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 (A)

3 18

(A)

4 18

(A)

5 18

(A)

6 18

10.C 【解析】正方形四个顶点可以确定 6 条直线,甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件。两条 直线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线)包括 10 个基本事件,所以概率等于. 【方法技巧】对于几何中的概率问题,关键是正确作出几何图形,分类得出基本事件数,然
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后得所求事件保护的基本事件数,进而利用概率公式求概率.

非选择题共 第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 非选择题
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置· (11)命题“存在 x ∈ R ,使得 x + 2 x + 5 = 0 ”的
2

否定是 11.对任意 x ∈ R ,都有 x + 2 x + 5 ≠ 0 .
2

【解析】特称命题的否定时全称命题,“存在”对应“任意”. 【误区警示】 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存 在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意量 词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是” ,而不是“都 不是”. (12)抛物线 y 2 = 8 x 的焦点坐标是 12. (2, 0) 【解析】抛物线 y 2 = 8 x ,所以 p = 4 ,所以焦点 (2, 0) . 【误区警示】 本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求 p , 或求出 p 后, 误认为焦点 ( p, 0) , 还有没有弄清楚焦点位置,从而得出错误结论. (13)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x= 13.12 【解析】程序运行如下: x = 1, x = 2, x = 4, x = 5, x = 6, x = 8, x = 9, x = 10, x = 12 ,输出 12。 【规律总结】这类问题,通常由开始一步一步运行,根据判断条件,要么几步后就会输出结 果,要么就会出现规律,如周期性,等差或等比数列型.

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(14)某地有居民 100 000 户,其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000 户.从普通家庭中以 简单随机抽样方式抽取 990 户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取 l00 户进行调查, 发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房,其中普通家庭 50 户,高收人家庭 70 户.依 据这些数据并结合所掌握的统计知识, 你认为该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例 的合理估计是 . 14. 5.7% 【 解 析 】 该 地 拥 有 3 套 或 3 套 以 上 住 房 的 家 庭 可 以 估 计 有 :

50 70 + 1000 × = 5700 户, 990 100 所以所占比例的合理估计是 5700 ÷ 100000 = 5.7% . 99000 ×
【方法总结】本题分层抽样问题,首先根据拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占的比例,得 出 100 000 户,居民中拥有 3 套或 3 套以上住房的户数,它除以 100 000 得到的值,为该地 拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭所占比例的合理估计. 则下列不等式对一切满足条件的 a, b 恒成立的是 (15)若 a > 0, b > 0, a + b = 2 , 所有正确命题的编号). ① ab ≤ 1 ; ④a +b ≥ 3;
3 3

(写出

② a+ b≤ ⑤

2;

③ a +b ≥ 2;
2 2

1 1 + ≥2 a b

15.①,③,⑤ 【解析】令 a = b = 1 ,排除②②;由 2 = a + b ≥ 2 ab ? ab ≤ 1 ,命题①正确;

1 1 a+b 2 a 2 + b 2 = (a + b)2 ? 2ab = 4 ? 2ab ≥ 2 ,命题③正确; + = = ≥ 2 ,命题⑤正 a b ab ab
确。 【方法总结】 三、解答题:本大题共 6 小题.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡上的指定区域内。 16、 (本小题满分 12 分)

?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A =
(Ⅰ)求 AB i AC ;

12 。 13

(Ⅱ)若 c ? b = 1 ,求 a 的值。 16.【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利 用余弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】 (1)根据同角三角函数关系,由 cos A =

12 得 sin A 的值,再根据 ?ABC 面 13
2 2 2

积公式得 bc = 156 ;直接求数量积 AB i AC .由余弦定理 a = b + c ? 2bc cos A ,代入已 知条件 c ? b = 1 ,及 bc = 156 求 a 的值. 解:由 cos A =

12 2 5 12 ,得 sin A = 1 ? ( ) = . 13 13 13
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1 bc sin A = 30 ,∴ bc = 156 . 2
12 = 144 . 13
2

(Ⅰ) AB ? AC = bc cos A = 156 ×
2 2 2

(Ⅱ) a = b + c ? 2bc cos A = (c ? b) + 2bc (1 ? cos A) = 1 + 2 ?156 ? (1 ?

∴a = 5. 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求 bc 的值,考虑已知 ?ABC 的 面积是 30, cos A =

12 ) = 25 , 13

12 ,所以先求 sin A 的值,然后根据三角形面积公式得 bc 的值.第二问 13

中求 a 的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可. 17、 (本小题满分 12 分) 椭圆 E 经过点 A ( 2,3) ,对称轴为坐标轴, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e = (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 ∠F1 AF2 的角平分线所在直线的方程。 17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方 程与一般方程, 点到直线的距离公式等基础知识; 考查解析几何的基本思想、 综合运算能力. 【解题指导】 (1)设椭圆方程为

1 。 2

x2 y2 1 + 2 = 1 ,把点 A ( 2,3) 代入椭圆方程,把离心率 e = 2 a b 2

用 a, c 表示,再根据 a + b = c ,求出 a 2 , b 2 ,得椭圆方程; (2)可以设直线 l 上任一点坐
2 2 2

标为 ( x, y ) ,根据角平分线上的点到角两边距离相等得 解: (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为

| 3x ? 4 y + 6 | =| x ? 2 | . 5

x2 y2 + = 1. a 2 b2 1 c 1 x2 y2 由e = , 得 = , b 2 = a 2 ? c 2 = 3c 2 ,∴ 2 + 2 = 1. 2 4c 3c a 2 1 3 将(2,3)代入,有 2 + 2 = 1, 解得:c = 2,∴ 椭圆E的方程为 A c c 2 2 x y + = 1. 16 12 3 (∏)由(Ι)知F1 (?2, 0), F2 (2, 0), 所以直线AF1的方程为y= ( x + 2), 4 即3x ? 4 y + 6 = 0.直线AF2的方程为x = 2.由椭圆E的图形知,∠F1 AF2的角平分线所在直线的斜率为正数。 设P(x,y)为∠F1 AF2的角平分线所在直线上任一点,则有 于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0. 所以,∠F1 AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.
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3x ? 4 y + 6

5 若3x ? 4 y + 6 = 5 x ? 10, 得x + 2 y ? 8 = 0, 其斜率为负,不合题意,舍去。

= x?2

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x2 y2 【规律总结】对于椭圆解答题,一般都是设椭圆方程为 2 + 2 = 1 ,根据题目满足的条件 a b
求出 a 2 , b 2 ,得椭圆方程,这一问通常比较简单; (2)对于角平分线问题,利用角平分线的 几何意义,即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.

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18、 (本小题满分 13 分) 某市 2010 年 4 月 1 日—4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸 入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表; (Ⅱ)作出频率分布直方图; (Ⅲ)根据国家标准,污染指数在 0~50 之间时,空气质量为优:在 51~100 之间时,为良; 在 101~150 之间时,为轻微污染;在 151~200 之间时,为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 18.【命题意图】本题考查频数,频率及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问 题的能力,数据处理能力和运用意识. 【解题指导】 (1)首先根据题目中的数据完成频率分布表,作出频率分布直方图,根据污染 指数,确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。

(Ⅲ)答对下述两条中的一条即可: (1) 该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平,占当月天数的

1 ,有 26 天处于 15 13 14 良的水平,占当月天数的 ,处于优或良的天数共有 28 天,占当月天数的 。说 15 15
明该市空气质量基本良好。

(2) 轻微污染有 2 天,占当月天数的

1 。污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 17 15 天,加上处于轻微污染的天数,共有 17 天,占当月天数的 ,超过 50%,说明 30

该市空气质量有待进一步改善。 【规律总结】在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于 1,每一小组的频率 等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中,小矩形的高等于每一组的频率/组距,它
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们与频数成正比,小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的回答,要选择适当的数 据特征进行考察,根据数据特征分析得出实际问题的结论. 19.(本小题满分 13 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°, BF=FC,H 为 BC 的中点, E F (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; D C (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积;
H A B

19.【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查体积的 计算等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 【解题指导】 (1)设底面对角线交点为 G,则可以通过证明 EG∥FH,得 FH ∥平面 EDB ; (2)利用线线、线面的平行与垂直关系,证明 FH⊥平面 ABCD,得 FH⊥BC,FH⊥AC,进而 (3)证明 BF⊥平面 CDEF,得 BF 为四面体 B-DEF 的高,进 得 EG⊥AC, AC ⊥ 平面 EDB ; 而求体积.

(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG, GH,由于H 为BC的中点,故 1 GH / / AB, 2 1 又EF / / AB,∴四边形EFGH 为平行四边形 2 ∴ EG / / FH,而EG ? 平面EDB, FH / / 平面EDB ∴

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(∏)证:由四边形ABCD为正方形,有AB ⊥ BC。 又EF//AB, EF ⊥ BC。而EF ⊥ FB, EF ⊥ 平面BFG,∴ EF ⊥ FH ∴ ∴ ∴ AB ⊥ FH .又BF = FG, H 为BC的中点, FH ⊥ BC。 ∴ ∴ FH ⊥ 平面ABCD. ∴ FH ⊥ AC.又FH / / EG, AC ⊥ EG, 又AC ⊥ BD,EG ∩ BD = G ∴ ∴ AC ⊥ 平面EDB ∵ (Ⅲ)解: EF ⊥ FB, ∠BFC = 900 ,∴ BF ⊥ 平面CDEF . ∴ BF为四面体B ? DEF的高,又BC = AB = 2,∴ BF = FC = 2 1 1 1 VB ? DEF = * *1* 2 * 2 = . 3 2 3 ∴ BF

【规律总结】本题是典型的空间几何问题,图形不是规则的空间几何体,所求的结论是线面 平行与垂直以及体积,考查平行关系的判断与性质.解决这类问题,通常利用线线平行证明 线面平行,利用线线垂直证明线面垂直,通过求高和底面积求四面体体积. 20.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = sin x ? cos x + x + 1 , 0 < x <

π
2

,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。

20.【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综 合应用数学知识解决问题的能力. 【解题指导】 (1)对函数 f ( x ) = sin x ? cos x + x + 1 求导,对导函数用辅助角公式变形, 利用导数等于 0 得极值点, 通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负, 判断区间的单调 性,求极值.

解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π ,知f, ( x) = 1 + 2sin ( x + ). 4 2 3π π 令f, ( x) = 0,从面sin ( x + ) = ,得x = π ,或x = , 4 2 2 , 当x变化时,f ( x),f(x)变化情况如下表:

π

因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,π)与(

3π 3π 3π 单调递增区间是(π , ),极小值为f( )= ,极大值为f(π )=π + 2 2 2 2

3π ,π), 2 2

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【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为 0 得可能的极值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点.

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(21) (本小题满分 13 分) 设 C1 , C2 ,? , Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线

y=

3 x 相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn +1 相互外切,以 rn 表示 Cn 的半径,已知 3

{rn } 为递增数列.
(Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 = 1 ,求数列 { } 的前 n 项和.

n rn

21.【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象 概括能力以及推理论证能力. 【解题指导】 (1)求直线倾斜角的正弦,设 Cn 的圆心为 (λn , 0) ,得 λn = 2rn ,同理得

λn +1 = 2rn+1 , 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系, 得两圆半径之间的关系, {rn } 中 rn +1 即
与 rn 的关系,证明 {rn } 为等比数列; (2)利用(1)的结论求 {rn } 的通项公式,代入数列 然后用错位相减法求和.

n , rn

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3 3 1 , sin θ = , x的倾斜角记为,则有tanθ = 3 3 2 r 1 设Cn的圆心为(λn,0),则由题意得知 n = ,得λn = 2rn;同理 λn 2 解:(1)将直线y=

λn+1 = 2rn+1,从而λn+1 = λn + rn + rn+1 = 2rn+1,将λn = 2rn 代入,
解得rn+1 = 3rn 故 rn 为公比q = 3的等比数列。 (∏)由于rn = 1,q = 3,故rn = 3n ?1,从而 记Sn = n 1 2 + + ..... + , 则有 r1 r2 rn n = n *31? n , rn

Sn = 1 + 2*3?1 + 3*3?2 + ......n *31? n Sn = 1*3?1 + 2*3?2 + ...... + (n ? 1)*31? n + n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn = 1 + 3?1 + 3?2 + ... + 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 = ? n *3? n = ? (n + )*3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n + 3)*31? n ∴ S n = ? (n + ) *31? n = 4 2 2 4

【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关 于数列相邻项 an 与 an +1 之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通 项公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成 的数列时,通常是利用前 n 项和 Sn 乘以公比,然后错位相减解决.
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2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科) 第Ⅱ卷(非选择

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