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【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.1.3 集合的基本运算(第2课时)课件 新人教A版必修1


成才之路 · 数学
人教A版 · 必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
集合与函数概念

第一章
1.1 集合

第一章 1.1.3 集合的基本运算
第二课时

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

●课标展示 1.了解全集、补集的意义. 2.正确理解补集的概念,正确理解符号“?UA”的含义.

3 .会求已知全集的补集,并能正确应用它们解决一些具
体问题.

●温故知新 旧知再现 B ,A∩B=____. A 1.若A?B,则A∪B=_____ ? A,若A∪B=B则A____ ? B. 2.若A∩B=B则B____ = B. 3.若A∪B=A∩B,则A____

4.(2013·广东)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2 -2x=0,x∈R},则M∪N=( A.{0} C.{-2,0} ) B.{0,2} D.{-2,0,2}

[答案] D
[解析] D. M={-2,0},N={2,0},M∪N={-2,0,2},故选

5 . (2013· 四川 ) 设集合 A = {x|x + 2 = 0} ,集合 B = {x|x2 - 4 =0},则A∩B=( A.{-2} C.{-2,2} ) B.{2} D.?

[答案] A
[解析] A={-2},B={-2,2},A∩B={-2,}故选A.

6.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是( A.1 C.3 [答案] D B.2 D.4

)

[解析] 由{1,3}∪A={1,3,5},知A?{1,3,5},且A中至少
有一个元素为5,从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元 素.而{1,3}有4个子集,因此满足条件的A的个数是4.它们分别

是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5},故选D.

新知导学
1.全集
定义 记法 图示 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉

所有元素 ,那么就称这个集合为全集 及的__________
通常记作 U

2.补集
不属于 集合A的所有 对于一个集合A,由全集U中________ 文字 全集U 的补集, 元素组成的集合称为集合A相对于_______ 语言 ?UA 简称为集合A的补集,记作_____ 符号 语言 图形 语言 ?UA={x|x∈U,且x____ ? A}

[归纳总结]

(1)简单地说,?UA是从全集U中取出集合A的

全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合. (2) 性质: A∪(?UA) = U , A∩(?UA) = ? , ? U(?UA) = A , ? UU = ? , ? U? = U , ? U(A∩B) = (?UA)∪(?UB) , ? U(A∪B) =

(?UA)∩(?UB).
(3)如图所示的深阴影部分是常用到的含有两个集合运算结 果的Venn图表示.

●自我检测 1.设全集U={1,2,4,8},M={1,2},则?UA等于( A.{4} C.{4,8} B.{8} D.? )

[答案] C
[解析] ?UM={4,8}.

2.设全集为U,M={0,2,4},?UM={6},则U等于( A.{0,2,4,6} C.{6} [答案] A B.{0,2,4} D.?

)

[解析] U=M∪(?UM)={0,2,4}∪{6}={0,2,4,6}.
3.已知U=R,A={x|x>15},则?UA=________. [答案] {x|x≤15}

4.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则 ?U(A∩B)=( A.{2,3} C.{4,5} ) B.{1,4,5} D.{1,5}

[答案] B
[解析] ∵A∩B={2,3}, ∴?U(A∩B)={1,4,5}.

互动课堂

●典例探究

1
1

补集的基本运算
(1)已知全集为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则

?RA=________.
(2) 已知全集 U ,集合 A = {1,3,5,7} , ? UA = {2,4,6} , ? UB = {1,4,6},求集合B. [分析] B. (1)借助数轴进行求解,(2)先求全解U,再求集合

[解析] 在数轴上画出集合 A, 由数轴得?RA={x|1≤x<5}.

(2)A={1,3,5,7},?UA={2,4,6}, ∴U={1,2,3,4,5,6,7}. 又?UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.

[答案] (1){x|1≤x<5}

规律总结: (1)如果所给集合是有限集,则先把集合
中的元素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解,另外针 对此类问题,在解答过程中也常常借助于Venn图来求解.这样

处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.
(2)在解答有关集合补集运算时,如果所给集合是无限集, 则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后 再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中 注意边界问题.

1

(2012·广东高考)(1)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},
则?UM=( A.U C.{3,5,6} {x|2≤x≤5},则a=________. [答案] (1)C (2)2 ) B.{1,3,5} D.{2,4,6}

(2) 已 知 全 集 U = {x|1≤x≤5} , A = {x|1≤x < a} , 若 ? UA =

[ 解析 ]

(1) 因为 U = {1,2,3,4,5,6} , M = {1,2,4} ,所以 ? UM

={3,5,6},所以选C. (2)∵A∪?UA=U,且A∩?UA=?,

∴A={x|1≤x<2},∴a=2.

2
2

交集、并集、补集的综合运算 (1)(2012· 辽 宁 高 考 ) 已 知 全 集 U =

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 集 合 A = {0,1,3,5,8} , 集 合 B =

{2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=(
A.{5,8} C.{0,1,3}

)

B.{7,9} D.{2,4,6}

(2) 已知全集 U = {x|x≤4} ,集合 A = {x| - 2 < x < 3} , B = {x| -3≤x≤2},求A∩B,(?UA)∪B,A∩(?UB).

[分析]

(1)有限解利用文氏图求解;(2)无限解利用数轴,

分别表示出全集U及集合A,B,先求出?UA及?UB,再求解.

[解析] (1)由图知,∵?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9}, ∴(?UA)∩(?UB)={7,9}.

(2)如图,

∵A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2}, ∴?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, ?UB={x|x<-3,或2<x≤4}. ∴A∩B={x|-2<x≤2},

(?UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4};
A∩(?UB)={x|2<x<3}. [答案] (1)B

规律总结:求集合交、并、补运算的方法

2

(1) 集 合 U = {1,2,3,4,5,6} , S = {1,4,5} , T = {2,3,4} , 则
S∩(?UT)=( ) B.{1,5} A.{1,4,5,6}

C.{4}
( ) A.{x|0≤x<1} C.{x|x<0}

D.{1,2,3,4,5}

(2) 设 U = R , A = {x|x > 0} , B = {x|x > 1} ,则 A∩(?UB) = B.{x|0<x≤1} D.{x|x>1}

[答案] (1)B (2)B

[解析] (1)∵?UT={1,5,6}, ∴S∩(?UT)={1,5}. (2)∵U=R,B={x|x>1}, ∴?UB={x|x≤1}.

又A={x|x>0},
∴A∩(?UB)={x|0<x≤1}.

3
3

补集性质的应用 已 知 集 合 A = {x|x2 - 4x + 2m + 6 = 0} , B =

{x|x<0},若A∩B≠?,求实数m的取值范围.
[分析] 求满足A∩B=? 对上述m的取值范 ―→ ―→ 结论 的m的取值范围 围在R中取补集

[解析] 先求A∩B=?时m的取值范围. (1)当A=?时, 方程x2-4x+2m+6=0无实根, 所以Δ=(-4)2-4(2m+6)<0,

解得m>-1.

(2)当 A≠?,A∩B=?时, 方程 x2-4x+2m+6=0 的根为非负实根. 设方程 x2-4x+2m+6=0 的两根为 x1,x2,则 ?Δ=?-4?2-4?2m+6?≥0, ? ?x1+x2=4≥0, ?x x =2m+6≥0, ? 1 2 解得-3≤m≤-1. 综上,当 A∩B=?时, m 的取值范围是{m|m≥-3}.
? ?m≤-1, 即? ? ?m≥-3,

又因为U=R, 所以当A∩B≠?时, m的取值范围是m<-3. 所以,A∩B≠?时,

m的取值范围是{m|m<-3}.

规律总结: “ 正难则反 ” 策略是指当某一问题从正

面解决较困难时,我们可以从其反面入手解决.已知全集U,
求子集 A ,若直接求 A 困难,可运用 “ 正难则反 ” 策略先求 ?UA,再由?U(?UA)=A求A. 补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路,今 后要有意识地去体会并运用.在顺向思维受阻时,改用逆向思

维,可能“柳暗花明”.从这个意义上讲,补集思想具有转换
研究对象的功能,这是转化思想的又一体现.

3

若集合 A = {x|ax2 + 3x + 2 = 0} 中至多有 1 个元素,求实数 a
的取值范围. [分析] 集合A中的元素可能有0个、1个或2个三种情况, 题目要求“至多有 1 个元素”,即集合 A 中包含 0 个或 1 个元 素.若采取分类讨论的策略,所分情况较多,求解比较麻烦, 可考虑构造“补集”:求集合A中含有2个元素的情况,然后再 求其补集(不论a取什么值,集合A都有意义,所以全集U=R).

[解析] 假设集合 A 中含有 2 个元素,即 ax2+3x+2=0
? ?a≠0 有两个不相等的实数根, 则? ? ?Δ=9-8a>0

9 , 解得 a<8且 a≠0, U=R 中, 集

则此时实数 a

? ? 9 的取值范围是?aa<8且a≠0?.在全集 ? ?

? ? ? ? 9 9 合?aa<8且a≠0?的补集是?aa≥8或a=0?. ? ? ? ?

所以满足题意的实数 a

? ? 9 的取值范围是?aa≥8或a=0?. ? ?

[温馨提示 ] 得到的.

补集思想是由补集的运算性质: A= ?U(?UA)

●误区警示
易错点 计算补集时忽视了边界
4

已知全集 U = R ,集合 A = {x|1≤2x + 1<9} ,求

?UA. [错解] 由题意,得A={x|0≤x<4},

∴?UA={x|x<0,x>4}
[错因分析] 求A的补集时,端点的取舍出现错误.另外, x<0与x>4之间应该用“或”连接,没有“或”连接时就隐含了 “x<0且x>4”的意思.

[思路分析]

求集合的补集运算时一定要注意不等式在端

点处是否带等号 , 以及两个不等式中间到底用 “ 或 ” 还是 “且”连接.解题时,应养成严谨的习惯. [正解] 由题意,得A={x|0≤x<4},

∴?UA={x|x<0或x≥4}.

1

已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<3},若A∪?RB=R, 求实数a的取值范围. [分析] [解析] 如下图 与集合交、并补运算有关的求参数问题一般利用 ?RB={x|x≤1或x≥3},利用数轴画出集合A与?RB, 数轴分析法分析求解.

∵A∪?RB=R,∴应满足a≥3 故a的取值范围为{a|a≥3}.

易错点二 忽视空集易出错
5

已知全集 U = {1,2,3,4,5} , A = {x|x2 - 5x + q =
当 q = 0 时, x2 - 5x + q = 0 的根为 x = 5 , x = 0 ,

0},A?U,求?UA及q的值. [ 错解 ]

5∈U,此时A={5},?UA={1,2,3,4}.
当 q≠0 时,由韦达定理知方程 x2 - 5x + q = 0 的根在 1 、 2 、 3、4、5中取时,只可能是3或2,1或4,因此

q=6时,A={2,3},?UA={1,4,5}. q=4时,A={1,4},?UA={2,3,5}. 所以q=0时,?UA={1,2,3,4}, q=4时,?UA={2,3,5},

q=6时,?UA={1,4,5}.
[ 错因分析 ] 错解中没有注意到 A?U ,当 q = 0 时, A = {0,5}?U,另外,当A=?时,?UA=U,此时方程x2-5x+q=0

无实数解.

[正解]

①若 A=?,则?UA=U,此时方程 x2-5x+q=0

25 无实数解.∴Δ<0,即 25-4q<0,∴q> 4 . ②若 A≠?,由于方程 x2-5x+q=0 的两根之和为 5,又由 于两根只能从 1,2,3,4,5 中取值,因此 A={1,4}或{2,3} 当 A={1,4}时,?UA={2,3,5},q=4; 当 A={2,3}时,?UA={1,4,5},q=6.

[点评]

本题易错点:(一)忽略A?U,求出q的值后不验证

A?U是否成立;(二)不考察A=?的情形.

2

设 U = { - 2,1,0} , A = {x∈U|x2 + mx = 0} ,求 ? UA 及 m 的
值. [解析] 方程x2+mx=0的解为x1=0或x2=-m,-m∈{-

2,1,0}
当m=0时,A={0},?UA={-2,1} 当m=-1时,A={0,1},?UA={-2} 当m=2时,A={0,-2},?UA={1}.

随堂测评

1.已知全集U={0,1,2},且?UA={2},则A=( A.{0} C.? [答案] D B.{1} D.{0,1}

)

[解析] ∵?UA={2},∴2?A,又U={0,1,2},
∴A={0,1}.

2.若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( A.P?Q C.?RP?Q [答案] C B.Q?P D.Q??RP

)

[ 解析 ]
B,D错.

由题意, ? RP = {x|x≥1} ,画数轴可知,选项 A ,

3 . (2013·重庆 ) 已知全集 U = {1,2,3,4} ,集合 A = {1,2} , B ={2,3},则?U(A∪B)=( A.{1,3,4} C.{3} ) B.{3,4} D.{4}

[答案] D
[解析] A∪B={1,2,3},?U(A∪B)={4},故选D.

4 .设全集 U = {a , b , c , d} ,集合 A = {a , b} , B = {b , c,d},则(?UA)∩B=________. [答案] {c,d} [解析] 由已知,?UA={c,d},故(?UA)∩B={c,d}.

5 .设全集 U = {2,4a ,- (a - 3)2} ,集合 A = {2 , a2 - a +
2},若?UA={-1},求实数a的值.
[解析]
? ?-1∈U, 由?UA={-1},可得? ? ?-1?A,

2 ? - ? a - 3 ? =-1, ? 所以? 2 ? ?a -a+2≠-1,

解得 a=4 或 a=2. 当 a=2 时,A={2,4},满足 A?U,符合题意. 当 a=4 时,A={2,14},不满足 A?U,故舍去. 综上可知,a 的值为 2.


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