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江西省宜春市2017届高三数学下学期期中试题理


江西省宜春 2016-2017 学年度高三下学期期中考试数学(理)试卷
一、选择题:(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={x|﹣2≤3x﹣2≤10,x∈R},则 A ∩B=( A.{1} B.{1,2,3,4} C.{1,3} D.{1,4} )

2.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 ? i ?1? z ? i ,则 z 的虚部为 A. ?

1 2

B.

1 2

C.

1 i 2

D. ?

1 i 2
x

3.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 3 ? m (m 为常数),则 f ? ? log3 5? 的 值为 A. 4 B. ?4 C.6 D. ?6 ,两

4.某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 次闭合后都出现红灯的概率为 概率为( A. ) B. C. D. 个单位后得到函数

,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的

5.已知 ω >0, 将函数 f (x) =cosω x 的图象向右平移 图象,则 ω 的最小值是( A. B.3 C. D. )



6.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x﹣4( x≥0),则满足 f(a﹣2)>0 的实数 a 的取值范围为( A.(2,+∞) B.(4,+∞) C.(0,4) D.(﹣∞,0)∪(4,+∞) )



7.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

1

A.12

B.15

C.18

D.21 )

8.执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 10,那么输出的 S 是(

A.2

B.

﹣1 C.

﹣1 D.2

﹣1 )

9.已知数列{an}满足 an+1=an+1(n∈N+),且 a2+a4+a6=18,则 log3(a5+a7+a9)的值为( A.﹣3 B.3 10.已知向量 C.2 , 满足 , D.﹣2 , 且关于 x 的函数 的夹角的取值范围是( D. )

在实数集 R 上单调递增,则向量 A. B.

C.

11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 为双曲线 x2﹣2y2=1 的左支上的一个动点,若点 P 到直线 x+ ﹣3 =0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为( A.1 B. C. ) D.

y

12.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1, E、F 分别是边 AA 1、CC1 的中点,点 M 是 BB1 上 的动点,过三点 E、M 、F 的平面与棱 DD1 交于点 N ,设 BM ? x ,平行四边形 EMFN 的面积为

S ,设 y ? S 2 ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ? x ? 的解析式为(
2 A. f ? x ? ? 2 x ? 2 x ?



3 , x ? ? 0,1? 2

2 B. f ? x ? ? ?2 x ? 2 x ?

3 , x ? ? 0,1? 2

C. f ? x ? ?

3 ? x, x ? ? 0,1? 2

D. f ? x ? ? x ?

3 , x ? ? 0,1? 2

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13.设数列 {an } 前 n 项和 S n ,且 a1 ? 1 , {S n ? n an } 为常数列,则 S n ?

.
2

14.已知(x ﹣

2

) 的展开式中的常数项为 15a ,则非零实数 a 的值是

6



15.如果实数 x,y 满足约束条件 16.下列命题

,则 z=3x+2y 的最大值为



①命题“事件 A 与 B 互斥”是“事件 A 与 B 对立”的必要不充分条件. ② “am <bm ”是“a<b”的充分必要条件. ③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假. ④在 ?ABC 中,“ ?B ? 60? ”是 ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列的充要条件. ⑤ ?ABC 中,若 sin A ? cos B ,则 ?ABC 为直角三角形. 判断错误的有___________ 三、解答题:(本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,角 A,B,C 对边分别为 a, b, c 满足: 2AB ? AC ? a 2 ? (b ? c) 2 , (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 2 3 cos
2
2 2

C 4 ? sin( ? ? B) 的最大值,并求取得最大值时角 B,C 的大小. 2 3

18.某加油站 20 名员工日销售量的频率分布直方图,如图所示: (Ⅰ)补全该频率分布直方图在[20,30)的部分,并分别计算日销售量在[10,20),[20,30)的 员工数; (Ⅱ)在日销量为[10,30)的员工中随机抽取 2 人, 求这两名员工日销量在[20,30)的概率.

3

19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中 点,

(Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB (Ⅱ)证明:平面 平面

20.已知椭圆 C :

x2 y 2 6 。 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?2, 0) ,离心率为 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

4

(Ⅱ)设 O 为坐标原点, T 为直线 x ? ?3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P , Q 。当四边形

OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积。

21.(本小题满分 13 分)设函数 f(x)=x2+bln(x+1),其中 b≠0. (1)如果函数 f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (2)求证对任意的 n∈N 不等式 ln(
*

1 1 1 +1) > 2 ? 3 都成立. n n n

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 22.【选修 4-4】在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). 2 ?y ? 5 ? t ? 2 ?
在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的单位长度,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴 )中, 圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (I)求圆 C 的直角坐标方程; (II)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,若点 P 的坐标为 (3, 5 ,求 |PA|+|PB| . )

23.【选修 4-5】已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 .

5

(1)解不等式 f ( x) ≥ 5 ; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 2 ? 2a 对任意的 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围.

6

参考答案 1 B 13. 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 C 9 B 10 C 11 B 12 A

2n n ?1

14. ±1 15.7 16. ②⑤ 17.略 18. 解:(Ⅰ)日销售量在[20,30)的频率为 1﹣10×(0.010+0.030+0.025+0.015)=0.2, 故销售量在[20,30)的小矩形高度为 ∴频率分布图如右图所示: 日销售量在[10,20)的员工数为:20×10×0.010=2, 日销售量在[20,30)的员工数为:20×10×0.020=4. (Ⅱ)由(Ⅰ)知日销售量在[10,30)的员工共有 6 人,在[10,20)的员工共有 2 人,在[20,30) 的员工有 4 人, 从此 6 人中随机抽 2 人,基本事件总数 n= =15, , =0.02,

这 2 名员工日销售量在[20,30)包含的基本事件个数 m= ∴这两名员工日销量在[20,30)的概率 p= .

19. 解:(1)连接



于 为

,连接 中点,∵在 中, 是 的中点,

∵底面 ABCD 是正方形,∴ ∴ ∵ ?(3 分) 平面 ,

平面

,∴

平面

7

(2)∵侧棱

⊥底面



底面

,∴

∵底面 ABC D 是正方形,∴ ∵ ∵ ∵ ∵ ∵ 与 与 平面 , 为平面 ,∴ 是 的中点,∴ 内两条相交直线,∴ 平面 平面 内两条相交直线,∴ 平面

为平面 平面

,∴平面

20. (Ⅰ)由题意可得



解得 c=2,a=

,b=



∴椭圆 C 的标准方程为



(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 F(﹣2,0), 设 T(﹣3,m),则直线 TF 的斜率 ∵TF⊥PQ,可得直线 PQ 的方程为 x=my﹣2. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2). 联立 ,化为(m2+3)y2﹣4my﹣2=0, ,

△>0,∴y1+y2=

,y1y2= .



∴x1+x2=m(y1+y2)﹣4= ∵四边形 OPTQ 是平行四边形, ∴

,∴(x1,y1)=(﹣3﹣x2,m﹣y2),

8



,解得 m=±1.

此时四边形 OPTQ 的面积 S=



=2



21. (1) 0<b<

1 2

(2)略解析:解:(1)由题意 f′(x)=2x+

b 2x 2 ? 2x ? b = =0 在(-1, x ?1 x ?1

+∞)有两个不等实 根,??????????????????????????????????2 分 即 2x2+2x+b=0 在(-1,+∞)有两个不等实根,设 g(x)=2x2+2x+b,则 △=4-8b>0 且 g(-1)>0,
2

0<b<

1 2

????????? ?.. 5 分
3 3 2

(2)对于函数 f(x)=x -ln(x+1),令函数 h(x)=x -f(x)=x -x +ln(x+1) 则 h′(x)=3x2? 2x+

1 3 x 3 ? ( x ? 1) 2 = ,当 x∈[0,+∞)时,h'(x)>0, x ?1 x ?1

所以函数 h(x)在[0,+∞)上单调递增,????????????????..9 分 又 h(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,恒有 h(x) >h(0)=0 即 x2<x3+ln(x+1)恒成立.取 x= 则有 ln(

1 ∈(0,+∞), n
? =0 在 (﹣

1 1 1 +1) > 2 ? 3 恒成立. n n n

【思路点拨】1)由于函数 f(x)在定义域内既有极大值又有极小值?f′ (x)=
2

1,+∞)有两个不等实根?g(x)=2x +2x+b=0 在(﹣1,+∞)有两个不等实根?△>0 且 g(﹣1) >0,解出即可. (2)对于函 数 f(x)=x2﹣ln(x+1),构造函数 h(x)=x3﹣f(x)=x3﹣x2+ln(x+1),利用导数 研究其单调性即可得出. 22. 解(Ⅰ) ? 2 ? 2 ? cos ?

x2 ? y 2 ? 2 5 y

x 2 ? ( y ? 5)2 ? 5

9

(Ⅱ) (3 ?

2 2 2 t) ? ( 5 ? t ? 5)2 ? 5 2 2

t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0
t A ? 2 2 , tB ? 2 | PA | ? | PB |?| t A | ? | t B |? 3 2
23.(1)当 x ? ?2 时 f ( x) ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? ?2 x ? 1 由 f ( x) ≥ 5 解得 x ≤ ?3 当 ?2 ≤ x ? 1 时, f ( x) ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ≥ 5 不成立 当 x ≥ 1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ? x ? 2 ? 2 x ? 1≥ 5 解得 x ≥ 2 综上有 f ( x) ≥ 5 的解集是 (??, ?3] ? [2, ??) ( 2)因为 x ? 1 ? x ? 2 ≥ ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 3 ,所以 f ( x) 的最小值为 3
2 要使得关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 2a 对任意的 x ? R 恒成立,只需

a 2 ? 2a ? 3 解得 ?1 ? a ? 3 ,故 a 的取值范围是 (?1,3)

10


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